北京大學(xué)2026年研究生入學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題(含答案)一、填空題（每空4分，共32分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則P【答案】【解析】P2.設(shè),,…,獨(dú)立同分布于UE【答案】θ【解析】的密度為(x)E從而E[]=θ，即3.設(shè)(Xf則X的邊緣密度為―.【答案】/【解析】對(duì)y積分時(shí)，siny為奇函數(shù)，含sin(4.設(shè)X~N(0,1)，Y【答案】0【解析】E[X]=0=5.設(shè),,…,獨(dú)立同分布于NV【答案】【解析】令=(?XV6.設(shè)X~BiP【答案】(【解析】X+7.設(shè),,…,P【答案】【解析】min服從Ex8.設(shè)X~E【答案】【解析】E二、計(jì)算題（共68分）9.（12分）設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于Exp(（1）求(U（2）證明U與V獨(dú)立，并指出各自的分布.【答案與解析】（1）變換(xJ聯(lián)合密度(（2）邊緣密度(即U~(即V~U(0,1)10.（14分）設(shè),,…,獨(dú)立同分布于N(μ:（1）寫出水平α的最優(yōu)勢(shì)檢驗(yàn)（MP檢驗(yàn)）的拒絕域；（2）求該檢驗(yàn)的功效函數(shù)β(（3）若要求β()≥0.90且【答案與解析】（1）由奈曼–皮爾遜引理，似然比Λ拒絕域?yàn)棣?gt;k，等價(jià)于(其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)上α分位數(shù).（2）功效β（3）令Φ(?代入數(shù)值即可得最小n.11.（14分）設(shè),,f（1）求θ的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)；（2）計(jì)算的漸近分布；（3）構(gòu)造θ的一個(gè)漸近水平1?【答案與解析】（1）矩估計(jì)：E[似然函數(shù)L令(θ=（2）費(fèi)雪信息量I故(（3）由Slutsky定理，±為漸近水平1?12.（14分）設(shè)線性模型Y其中X為n×p列滿秩矩陣，β為p×（1）證明H為冪等對(duì)稱矩陣，且ra（2）求殘差向量e=（3）證明=為的無偏估計(jì)；（4）寫出檢驗(yàn):=【答案與解析】（1）直接驗(yàn)證=H，=H；（2）e=（3）E[E（4）令C=T13.（14分）設(shè),,…,獨(dú)立同分布于NT（1）證明T~（2）利用t分布的對(duì)稱性，證明E（3）計(jì)算E[【答案與解析】（1）經(jīng)典結(jié)果：Xˉ與獨(dú)立，~，故T（2）令W==其中Z~N(E相乘即得.（3）取k=E三、證明題（共50分）14.（16分）設(shè),,…為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，E[]=→【證明】經(jīng)典Lindeberg–Lévy中心極限定理：特征函數(shù)(即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)特征函數(shù)，依分布收斂得證.15.（16分）設(shè),,…,獨(dú)立同分布于U(0（1）證明為θ的充分統(tǒng)計(jì)量；（2）證明為θ的完全統(tǒng)計(jì)量；（3）求θ的UMVUE.【證明】（1）聯(lián)合密度(由因子分解定理，為充分統(tǒng)計(jì)量.（2）對(duì)任意可測(cè)函數(shù)g，若E[g(g故完全.（3）E[16.（18分）設(shè),,f（1）求θ的最大似然估計(jì)；（2）計(jì)算的密度，并證明其漸近分布不是正態(tài)；（3）證明為θ的強(qiáng)相