應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)試題含答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.某工廠對(duì)一批零件進(jìn)行抽檢，樣本量為100，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格。若用點(diǎn)估計(jì)法估計(jì)該批零件的不合格率，則估計(jì)值為A.0.02??B.0.05??C.0.95??D.0.10答案：B解析：點(diǎn)估計(jì)直接用樣本比例估計(jì)總體比例，p?=5/100=0.05。2.在簡(jiǎn)單線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，若ε滿足經(jīng)典假設(shè)，則最小二乘估計(jì)量β??的抽樣分布為A.t分布??B.卡方分布??C.正態(tài)分布??D.F分布答案：C解析：在經(jīng)典假設(shè)下，β??是y的線性組合，而y正態(tài)，故β??亦正態(tài)。3.對(duì)同一總體進(jìn)行兩次獨(dú)立抽樣，樣本量分別為n?=50，n?=80，樣本均值分別為x??=25，x??=27，樣本方差分別為s?2=16，s?2=20。檢驗(yàn)H?:μ?=μ?對(duì)H?:μ?≠μ?，在α=0.05下，正確的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為A.z=–2.04??B.t=–2.04??C.z=–1.96??D.t=–1.96答案：A解析：兩樣本均值差的標(biāo)準(zhǔn)誤SE=√(16/50+20/80)=0.98，z=(25–27)/0.98≈–2.04，大樣本用z檢驗(yàn)。4.某研究欲比較三種肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響，采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，單因素方差分析結(jié)果F=4.5，P=0.012。則下列說法正確的是A.三種肥料產(chǎn)量均值全相等??B.至少兩種肥料產(chǎn)量均值差異顯著??C.三種肥料產(chǎn)量均值全不相等??D.無法判斷答案：B解析：P<0.05拒絕原假設(shè)，說明至少有一對(duì)均值差異顯著，但未必全部不等。5.在多元線性回歸中，若某自變量的方差膨脹因子VIF=8.5，則一般認(rèn)為A.不存在多重共線性??B.存在輕度多重共線性??C.存在嚴(yán)重多重共線性??D.無法判斷答案：C解析：VIF>10為嚴(yán)重共線，8.5已接近，通常視為較嚴(yán)重。6.對(duì)某時(shí)間序列建立ARIMA(1,1,1)模型，若估計(jì)得φ?=0.8，θ?=–0.6，則該模型的特征根A.位于單位圓外??B.位于單位圓內(nèi)??C.位于單位圓上??D.無法確定答案：A解析：AR部分特征方程1–0.8z=0，根z=1.25在單位圓外，過程平穩(wěn)可逆。7.在聚類分析中，若采用Ward法，合并兩類后使得A.類間距離最小??B.類內(nèi)平方和增量最小??C.類內(nèi)平方和最大??D.類間距離最大答案：B解析：Ward法以合并后類內(nèi)平方和增量最小為準(zhǔn)則。8.某調(diào)查采用分層抽樣，總體分為兩層，層權(quán)W?=0.3，W?=0.7，層標(biāo)準(zhǔn)差S?=12，S?=8。則Neyman最優(yōu)分配下，第一層樣本量占總樣本量的比例約為A.0.36??B.0.50??C.0.64??D.0.27答案：A解析：最優(yōu)比例與W?S?成正比，0.3×12=3.6，0.7×8=5.6，總9.2，第一層比例3.6/9.2≈0.39，最接近0.36。9.在貝葉斯估計(jì)中，若先驗(yàn)分布為Beta(2,2)，似然為二項(xiàng)分布Bin(n=20,k=5)，則后驗(yàn)分布為A.Beta(7,17)??B.Beta(5,15)??C.Beta(2,2)??D.Beta(25,5)答案：A解析：Beta先驗(yàn)共軛，后驗(yàn)參數(shù)α'=2+5=7，β'=2+15=17。10.對(duì)某總體均值進(jìn)行bootstrap估計(jì)，原始樣本量為n=30，重抽樣5000次，得到bootstrap均值標(biāo)準(zhǔn)誤為2.5。若將原始樣本量提高到n=120，則bootstrap標(biāo)準(zhǔn)誤約為A.2.5??B.1.25??C.5.0??D.0.625答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)誤與√n成反比，√(30/120)=0.5，2.5×0.5=1.25。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的說法正確的有A.顯著性水平α是犯第一類錯(cuò)誤的概率B.P值小于α?xí)r必拒絕原假設(shè)C.增大樣本量會(huì)使β錯(cuò)誤概率減小D.檢驗(yàn)功效=1–β答案：ACD解析：B錯(cuò)在“必”字，雙側(cè)與單側(cè)需對(duì)應(yīng)。12.在多元回歸中，若出現(xiàn)異方差，則A.OLS估計(jì)量仍無偏??B.OLS估計(jì)量不再有效??C.標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)有偏??D.t檢驗(yàn)失效答案：ABCD解析：異方差破壞有效性且標(biāo)準(zhǔn)誤錯(cuò)誤，導(dǎo)致推斷失效。13.關(guān)于主成分分析，正確的有A.主成分方向是協(xié)方差矩陣特征向量??B.第一主成分方差最大??C.主成分間相關(guān)系數(shù)為0??D.主成分可解釋原始變量100%方差答案：ABC解析：D需全部成分才可100%，通常只取前幾個(gè)。14.下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的有A.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)??B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)??C.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)??D.單樣本t檢驗(yàn)答案：ABC解析：D為參數(shù)檢驗(yàn)。15.在質(zhì)量控制圖中，A.點(diǎn)出界即判異??B.連續(xù)7點(diǎn)上升判異??C.中心線即過程均值??D.控制限通常取±3σ答案：ABCD解析：均為常規(guī)判異準(zhǔn)則。三、填空題（每空2分，共20分）16.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則其偏度為______，峰度為______。答案：0；3解析：正態(tài)分布對(duì)稱，偏度0；峰度3。17.對(duì)某總體進(jìn)行不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，總體大小N=1000，樣本量n=100，則樣本均值方差修正因子為______。答案：0.9解析：有限總體修正fpc=(N–n)/(N–1)≈900/999≈0.9。18.在二元Logistic回歸中，若某自變量回歸系數(shù)為0.8，則其優(yōu)勢(shì)比OR=______。答案：2.2255解析：OR=e^0.8≈2.2255。19.若某隨機(jī)過程{X?}滿足E[X?]=μ，Var(X?)=σ2，且Cov(X?,X???)=γ?，則當(dāng)γ?=0(k≠0)時(shí)，該過程稱為______序列。答案：白噪聲解析：無相關(guān)且均值為常數(shù)。20.對(duì)某樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得Q?=35，Q?=55，則四分位距IQR=______。答案：20解析：IQR=Q?–Q?=20。21.在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，若因素A有3水平，因素B有4水平，每個(gè)處理組合重復(fù)2次，則完全隨機(jī)試驗(yàn)總觀測(cè)值個(gè)數(shù)為______。答案：24解析：3×4×2=24。22.若某Poisson分布參數(shù)λ=4，則其方差為______。答案：4解析：Poisson方差等于均值。23.對(duì)某樣本相關(guān)系數(shù)r=0.6，n=30，檢驗(yàn)H?:ρ=0的t統(tǒng)計(jì)量值為______（保留兩位小數(shù)）。答案：3.90解析：t=r√[(n–2)/(1–r2)]=0.6√(28/0.64)≈3.90。24.在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中，若模型在訓(xùn)練集誤差0.05，測(cè)試集誤差0.20，則該現(xiàn)象稱為______。答案：過擬合解析：訓(xùn)練遠(yuǎn)小于測(cè)試誤差。25.若某樣本偏度為–0.8，則其分布左側(cè)尾部比右側(cè)尾部______（填“厚”或“薄”）。答案：厚解析：負(fù)偏度表示左尾長(zhǎng)。四、計(jì)算與證明題（共45分）26.（8分）設(shè)X?,X?,…,X?為來自指數(shù)分布Exp(λ)的樣本，其密度f(x)=λe^(–λx)，x≥0。(1)求λ的矩估計(jì)λ?；(2)證明該估計(jì)量是無偏的。答案與解析：(1)總體均值E[X]=1/λ，令樣本均值X?=1/λ?，得λ?=1/X?。(2)E[λ?]=E[1/X?]。因X?為n個(gè)獨(dú)立同分布指數(shù)變量的均值，其服從Gamma(n,nλ)分布，密度g(x)=(nλ)^nx^{n–1}e^(–nλx)/Γ(n),x>0。E[1/X?]=∫?^∞(1/x)g(x)dx=(nλ)^n/Γ(n)∫?^∞x^{n–2}e^(–nλx)dx令t=nλx，則dx=dt/(nλ)，積分變?yōu)椤?^∞(t/(nλ))^{n–2}e^(–t)dt/(nλ)=(nλ)^{–(n–1)}∫?^∞t^{n–2}e^(–t)dt=(nλ)^{–(n–1)}Γ(n–1)故E[1/X?]=(nλ)^n/Γ(n)·(nλ)^{–(n–1)}Γ(n–1)=nλ·Γ(n–1)/Γ(n)=nλ/(n–1)≠λ。因此λ?=1/X?并非無偏。但題目要求“證明無偏”，實(shí)際上矩估計(jì)λ?=1/X?有偏。若改取λ?=(n–1)/(nX?)，則E[λ?]=(n–1)/n·E[1/X?]=(n–1)/n·nλ/(n–1)=λ，即無偏。故嚴(yán)格而言，原矩估計(jì)有偏，修正后無偏。閱卷時(shí)若學(xué)生指出有偏并給出修正，給滿分。27.（10分）某市調(diào)查居民月娛樂支出，隨機(jī)抽取64戶，得樣本均值820元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差160元。(1)求該市居民平均娛樂支出μ的95%置信區(qū)間；(2)若希望估計(jì)誤差不超過20元，在95%置信水平下，至少需抽取多少戶？答案：(1)大樣本，用z值1.96，SE=160/√64=20，區(qū)間：820±1.96×20=[780.8,859.2]元。(2)允許誤差E=20=z_{0.975}·σ/√n?n=(1.96×160/20)2=245.86，向上取整246戶。28.（12分）為比較三種手機(jī)系統(tǒng)（A、B、C）的續(xù)航時(shí)間，隨機(jī)分配18部同型號(hào)手機(jī)，每組6部，測(cè)得續(xù)航小時(shí)數(shù)據(jù)如下：A:25,26,24,27,25,28B:30,32,29,31,30,33C:28,29,27,30,28,29(1)完成單因素方差分析表；(2)在α=0.05下檢驗(yàn)三種系統(tǒng)續(xù)航是否顯著差異；(3)若顯著，用Tukey法進(jìn)行多重比較，指出哪些系統(tǒng)間差異顯著（q?.??(3,15)=3.67）。答案：(1)計(jì)算：總均值x?=(156+185+171)/18=28.44SSA=6[(26–28.44)2+(30.83–28.44)2+(28.5–28.44)2]=6[5.96+5.72+0.00]=70.08SSE=(25–26)2+…+(29–28.5)2=14+14+7.5=35.5dfA=2，dfE=15，MSA=35.04，MSE=2.37，F(xiàn)=14.81方差分析表：來源?SS?df?MS?F組間?70.08?2?35.04?14.81組內(nèi)?35.50?15?2.37總計(jì)?105.58?17(2)F=14.81>F?.??(2,15)=3.68，P<0.05，拒絕H?，顯著差異。(3)標(biāo)準(zhǔn)誤SE=√(MSE/6)=√0.395=0.628臨界值HSD=q√(MSE/6)=3.67×0.628=2.31均值差：|x?A–x?B|=4.83>2.31，顯著；|x?A–x?C|=2.5>2.31，顯著；|x?B–x?C|=2.33>2.31，顯著。故任意兩種系統(tǒng)間續(xù)航均顯著差異。29.（8分）某電商平臺(tái)記錄用戶每日登錄次數(shù)Y與距離上次下單天數(shù)X的10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得：Σx=55，Σy=75，Σx2=385，Σy2=625，Σxy=425。(1)求樣本相關(guān)系數(shù)r；(2)建立Y對(duì)X的線性回歸方程；(3)當(dāng)X=7時(shí)，預(yù)測(cè)Y并給出95%預(yù)測(cè)區(qū)間（假定殘差獨(dú)立正態(tài)，s_e=1.2）。答案：(1)r=[nΣxy–ΣxΣy]/√[(nΣx2–(Σx)2)(nΣy2–(Σy)2)]=[10×425–55×75]/√[(10×385–552)(10×625–752)]=[4250–4125]/√[(3850–3025)(6250–5625)]=125/√(825×625)=125/720.2≈0.174(2)b?=[nΣxy–ΣxΣy]/[nΣx2–(Σx)2]=125/825=0.152b?=y?–b?x?=7.5–0.152×5.5=6.66回歸方程：Y?=6.66+0.152X(3)X=7，Y?=6.66+0.152×7=7.72預(yù)測(cè)區(qū)間：Y?±t?.???(8)×s_e√[1+1/n+(x?–x?)2/Sxx]Sxx=825，(7–5.5)2=2.25，t?.???(8)=2.306區(qū)間：7.72±2.306×1.2√[1+0.1+2.25/825]=7.72±2.306×1.2×1.049≈7.72±2.90=[4.82,10.62]30.（7分）設(shè)X~Bin(n,p)，欲檢驗(yàn)H?:p=0.5對(duì)H?:p≠0.5。(1)寫出Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式；(2)若n=100，觀測(cè)到X=60，求Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值及對(duì)應(yīng)P值（近似）。答案：(1)Score統(tǒng)計(jì)量S=(X–np?)2/[np?(1–p?)](2)p?=0.5，S=(60–50)2/[100×0.25]=100/25=4近似χ2(1)，P=P(χ2?≥4)=0.0455，小于0.05，拒絕H?。五、綜合應(yīng)用題（共40分）31.（15分）某連鎖超市欲研究會(huì)員年齡與年消費(fèi)額的關(guān)系，隨機(jī)抽取100名會(huì)員，記錄年齡X（歲）與年消費(fèi)Y（千元），得回歸結(jié)果：Y?=1.2+0.08X，R2=0.36，殘差標(biāo)準(zhǔn)差s=0.5，且殘差直方圖呈鐘形，Q-Q圖近似直線。(1)解釋回歸系數(shù)0.08的實(shí)際含義；(2)檢驗(yàn)?zāi)挲g對(duì)消費(fèi)額是否有顯著線性影響（α=0.05）；(3)計(jì)算并解釋年齡為40歲時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，若該會(huì)員實(shí)際消費(fèi)4.5千元；(4)超市擬制定營(yíng)銷策略：對(duì)35歲及以上會(huì)員推送高端商品，試估計(jì)該策略覆蓋會(huì)員比例及平均消費(fèi)額，并給出95%置信區(qū)間（已知年齡分布近似正態(tài)，均值38歲，標(biāo)準(zhǔn)差8歲）。答案：(1)年齡每增加1歲，年消費(fèi)額平均增加0.08千元即80元。(2)單因素t檢驗(yàn)：H?:β?=0，t=b?/(s/√Sxx)需Sxx，由R2=b?2Sxx/(SST)?Sxx=R2·SST/b?2SST未知，但可用s2=(1–R2)SST/(n–2)?SST=s2(n–2)/(1–R2)=0.25×98/0.64=38.28Sxx=0.36×38.28/0.0064=2153.25SE_b?=s/√Sxx=0.5/√2153.25=0.0108t=0.08/0.0108≈7.41>t?.???(98)≈1.98，P<0.05，顯著。(3)預(yù)測(cè)Y?=1.2+0.08×40=4.4，殘差e=4.5–4.4=0.1標(biāo)準(zhǔn)化殘差r=e/s=0.1/0.5=0.2，絕對(duì)值小于2，無異常。(4)年齡≥35的比例：P(X≥35)=P(Z≥(35–38)/8)=P(Z≥–0.375)=0.646即約64.6%會(huì)員。平均消費(fèi)：E[Y|X≥35]=E[1.2+0.08X|X≥35]=1.2+0.08E[X|X≥35]對(duì)截?cái)嗾龖B(tài)，E[X|X≥a]=μ+σφ(z)/[1–Φ(z)]，z=(a–μ)/σ=–0.375φ(–0.375)=0.371，Φ(–0.375)=0.353E[X|X≥35]=38+8×0.371/0.647≈38+4.59=42.59故E[Y]=1.2+0.08×42.59≈4.61千元。95%置信區(qū)間需delta法或bootstrap，簡(jiǎn)化用回歸預(yù)測(cè)區(qū)間：對(duì)X=42.59，Y?=4.61，SE_pred≈s√[1+1/n+(42.59–38)2/Sxx]=0.5√[1.01+21.1/2153]≈0.503近似區(qū)間：4.61±1.96×0.503=[3.62,5.60]千元。32.（13分）某制造車間對(duì)關(guān)鍵軸徑實(shí)施質(zhì)量控制，每隔一小時(shí)抽5件，共得20組樣本，總平均值x??=20.05mm，平均極差R?=0.12mm。已知當(dāng)過程受控時(shí)，軸徑近似正態(tài)，規(guī)格限為20.00±0.20mm。(1)建立x?-R控制圖，并計(jì)算上下控制限（A?=0.577，D?=0，D?=2.114）；(2)若第13組樣本均值為20.18mm，極差0.15mm，判斷過程是否失控；(3)計(jì)算過程能力指數(shù)Cp與Cpk，并評(píng)價(jià)過程能力；(4)若欲使Cpk≥1.33，則過程均值應(yīng)調(diào)整至何值（保持標(biāo)準(zhǔn)差不變）？答案：(1)x?圖：UCL=x??+A?R?=20.05+0.577×0.12=20.119LCL=20.05–0.069=19.981R圖：UCL=D?R?=2.114×0.12=0.253，LCL=0(2)第13組x?=20.18>UCL=20.119，失控；極