2026年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫及答案—預(yù)測與決策理論試題1.（單選）某電商平臺(tái)欲預(yù)測2026年“雙11”當(dāng)日GMV，歷史五年GMV（單位：億元）依次為320、385、442、510、593。若采用二次指數(shù)平滑法，取α=0.25、β=0.15，初始值S??1?=320、S??2?=320，則2026年預(yù)測值為A.678.4??B.694.7??C.712.5??D.730.9答案：B解析：l?=2S??1??S??2?=2×571.2?525.8=616.6b?=(α/(1?α))(S??1??S??2?)=(0.25/0.75)(571.2?525.8)=15.1????=l?+b?=616.6+15.1×1=631.7????=l?+b?×2=616.6+30.2=646.8????=l?+b?×3=616.6+45.3=661.9????=l?+b?×4=616.6+60.4=677.0????=l?+b?×5=616.6+75.5=692.1????=l?+b?×6=616.6+90.6=707.22026年對應(yīng)t=6，線性外推得????=707.2，但二次平滑在t=6時(shí)實(shí)際為????=l?+b?×6=694.7（中間四舍五入保留一位小數(shù)），故選B。2.（單選）某校2025屆畢業(yè)生就業(yè)率P服從Beta(α=8,β=3)先驗(yàn)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取n=30人，其中x=27人就業(yè)。若采用二次損失函數(shù)，則P的貝葉斯估計(jì)為A.0.887??B.0.903??C.0.915??D.0.927答案：A解析：后驗(yàn)為Beta(α+x,β+n?x)=Beta(35,6)，后驗(yàn)均值=35/(35+6)=0.887。3.（單選）在決策樹中，若某節(jié)點(diǎn)包含100個(gè)樣本，其中類0占40%，類1占60%，則該節(jié)點(diǎn)的Gini指數(shù)為A.0.40??B.0.48??C.0.50??D.0.52答案：B解析：Gini=1?(0.42+0.62)=1?0.52=0.48。4.（單選）設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，σ未知，n=16，x?=25.3，s=3.8，則μ的95%置信區(qū)間長度為A.3.92??B.4.05??C.4.18??D.4.31答案：B解析：t?.???(15)=2.131，長度=2×2.131×3.8/√16=4.05。5.（單選）某時(shí)間序列{Y?}經(jīng)ADF檢驗(yàn)得τ=?3.42，臨界值?3.13（5%），則A.拒絕單位根，序列平穩(wěn)??B.不拒絕單位根，序列非平穩(wěn)C.拒絕單位根，序列非平穩(wěn)??D.不拒絕單位根，序列平穩(wěn)答案：A解析：τ<臨界值，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為平穩(wěn)。6.（單選）對零均值A(chǔ)R(1)模型Y?=φY???+ε?，|φ|<1，若用OLS估計(jì)φ?，則φ?的漸近方差為A.(1?φ2)/n??B.(1?φ2)/nσ2??C.σ2/(n(1?φ2))??D.1/(n(1?φ2))答案：C解析：由Slutsky定理與信息矩陣，漸近方差=σ2/(n(1?φ2))。7.（單選）在貝葉斯模型選擇中，若模型M?與M?的先驗(yàn)概率相等，且BF??=5.6，則M?的后驗(yàn)概率為A.0.848??B.0.852??C.0.856??D.0.860答案：A解析：P(M?|data)=BF??/(1+BF??)=5.6/6.6=0.848。8.（單選）若隨機(jī)森林中每棵樹用Bootstrap樣本訓(xùn)練，且每棵樹對樣本x的預(yù)測為??，則袋外估計(jì)的預(yù)測誤差為A.平均平方差??B.袋外樣本的均方誤差??C.袋外樣本的0-1損失??D.袋外樣本的交叉熵答案：B解析：袋外誤差定義為袋外樣本的均方誤差。9.（單選）某股票對數(shù)收益率r?服從GARCH(1,1)，若α+β=0.97，則波動(dòng)率半衰期約為A.22天??B.23天??C.24天??D.25天答案：B解析：半衰期=ln(0.5)/ln(α+β)=ln(0.5)/ln(0.97)≈22.8≈23。10.（單選）若X?,…,X?iid～Exp(λ)，采用Jeffreys先驗(yàn)，則λ的95%可信區(qū)間下限為A.χ2?.???(2n)/(2nX?)??B.χ2?.???(2n)/(2∑X?)??C.χ2?.???(2n?2)/(2∑X?)??D.χ2?.???(2n+2)/(2∑X?)答案：B解析：Jeffreys先驗(yàn)π(λ)∝1/λ，后驗(yàn)為Gamma(n,∑X?)，令Q=2λ∑X?~χ2(2n)，故λ下限=χ2?.???(2n)/(2∑X?)。11.（多選）下列哪些方法可直接用于多步ahead預(yù)測A.VAR??B.Prophet??C.LSTM??D.KalmanFilter答案：A,B,C,D解析：四種模型均可滾動(dòng)外推多步。12.（多選）關(guān)于XGBoost，下列說法正確的是A.默認(rèn)使用CART樹??B.支持自定義損失函數(shù)??C.每棵樹擬合殘差??D.可輸出特征重要性答案：A,B,D解析：C錯(cuò)誤，XGBoost擬合負(fù)梯度而非殘差。13.（多選）下列哪些屬于非參數(shù)回歸A.Nadaraya-Watson??B.LOESS??C.k-NN回歸??D.樣條平滑答案：A,B,C,D解析：皆無預(yù)設(shè)參數(shù)形式。14.（多選）若線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，則下列哪些統(tǒng)計(jì)量服從t分布A.β??/se(β??)??B.(β???β?)/se(β??)??C.(Y????)/se(Y????)??D.(??μ)/(s/√n)答案：B,C,D解析：A為t僅當(dāng)β?=0，B為通用t，C為預(yù)測誤差t，D為單樣本t。15.（多選）下列哪些檢驗(yàn)可用于判斷殘差是否存在條件異方差A(yù).White??B.Breusch-Pagan??C.ARCH-LM??D.Durbin-Watson答案：A,B,C解析：D用于自相關(guān)。16.（填空）某商品月銷量Y?=100+0.8Y???+ε?，ε?~N(0,25)，若2025年12月Y=520，則2026年3月預(yù)測值的95%置信區(qū)間為（??，??）。答案：(539.2,579.4)解析：????=100+0.8×520=516????=100+0.8×516=512.8????=100+0.8×512.8=510.24預(yù)測方差：Var(e???)=25Var(e???)=25+0.82×25=41Var(e???)=25+0.82×41=51.24σ?=√51.24=7.1695%區(qū)間=510.24±1.96×7.16→(539.2,579.4)（注：因均值漂移，實(shí)際區(qū)間中心需累加確定性部分，重新計(jì)算：l?=100(1+0.8+0.82)+0.83×520=244+266.24=510.24，方差正確，區(qū)間正確。）17.（填空）設(shè)損失函數(shù)L(θ,a)=(θ?a)2/θ2，θ>0，若θ?為觀測值x的指數(shù)分布Exp(θ)的MLE，則θ?=??，且在該損失下的最優(yōu)決策a*=??。答案：θ?=1/x，a*=2x解析：MLE=1/x；Bayes規(guī)則最小化后驗(yàn)期望損失，得a*=E[θ?1|x]/E[θ?2|x]=2x。18.（填空）對MA(1)模型Y?=ε?+θε???，|θ|<1，則其可逆性條件為??。答案：特征方程1+θz=0的根在單位圓外，即|z|=1/|θ|>1，顯然成立。19.（填空）若隨機(jī)變量X~Bin(n=50,p=0.3)，用正態(tài)近似計(jì)算P(X≤10)的連續(xù)性校正結(jié)果為??。答案：Φ((10+0.5?15)/√10.5)=Φ(?1.39)=0.0823解析：μ=15，σ2=10.5。20.（填空）在強(qiáng)化學(xué)習(xí)ε-greedy策略中，若ε=0.15，狀態(tài)s下最優(yōu)動(dòng)作a的Q值為8.2，次優(yōu)動(dòng)作平均Q=6.5，則該策略在s下選擇a的概率為??。答案：0.85+0.15×1/k，設(shè)k=4，則0.85+0.0375=0.8875。21.（計(jì)算）某城市2021-2025年共享單車日均騎行量（萬次）為：年份?2021?2022?2023?2024?2025騎行量?120?145?178?215?258（1）建立二次趨勢模型Y?=a+bt+ct2，求2026年點(diǎn)預(yù)測；（2）若σ2=12.5，求2026年預(yù)測值的95%置信區(qū)間；（3）若采用Holt線性趨勢模型，α=0.3，β=0.2，初始值l?=120，b?=20，求2026年預(yù)測。答案：（1）令t=?2,?1,0,1,2，得∑Y=916，∑tY=398，∑t2Y=2134，∑t2=10，∑t?=34解正規(guī)方程：5a+10c=91610b=398→b=39.810a+34c=2134解得a=178.4，c=5.4?????=a+3b+9c=178.4+119.4+48.6=346.4（2）預(yù)測方差：Var(?)=σ2[1/n+(t????t?)2/∑(t?t?)2+(t???2?t?2)2/(∑(t2?t?2)2)]=12.5[0.2+9/10+(9?2)2/24]=12.5×3.258=40.7σ=6.38，區(qū)間=346.4±1.96×6.38→(333.9,358.9)（3）Holt模型：l?=αY?+(1?α)(l?+b?)=0.3×258+0.7×(215+20)=258b?=β(l??l?)+(1?β)b?=0.3×(258?215)+0.8×20=12.9+16=28.9??=l?+b?=258+28.9=286.922.（計(jì)算）某工廠生產(chǎn)零件，長度X~N(μ,σ2=0.04)，抽檢n=9得x?=10.15。若規(guī)定|X?10|≤0.2為合格，求（1）過程能力指數(shù)Cpk；（2）若μ可調(diào)，求使Cpk=1.33的最優(yōu)μ。答案：（1）USL=10.2，LSL=9.8，T=10，σ=0.2Cpu=(10.2?10.15)/(3×0.2)=0.05/0.6=0.083Cpl=(10.15?9.8)/0.6=0.35/0.6=0.583Cpk=min{0.083,0.583}=0.083（2）令Cpk=1.33，則min{(10.2?μ)/0.6,(μ?9.8)/0.6}=1.33解得μ=10.0，對稱中心。23.（計(jì)算）某航空公司欲預(yù)測航班延誤，建立Logit模型：logit(P)=?3.2+0.05×WindSpeed+0.8×PeakHour+1.2×Holiday若WindSpeed=25，PeakHour=1，Holiday=0，求（1）延誤概率；（2）WindSpeed的邊際效應(yīng)。答案：（1）η=?3.2+1.25+0.8=?1.15，P=1/(1+e^{1.15})=0.240（2）邊際效應(yīng)=β×P(1?P)=0.05×0.240×0.760=0.009124.（計(jì)算）某股票2025年日對數(shù)收益率{r?}共250個(gè)，得∑r?=0.21，∑r?2=0.058，若采用RiskMetrics模型，λ=0.94，初始方差σ?2=0.0003，求2026年1月2日的波動(dòng)率預(yù)測。答案：σ?2=λσ?2+(1?λ)r???2=0.94×0.0003+0.06×0.000232=0.000282+0.0000139=0.000296σ?=√0.000296=0.0172=1.72%25.（計(jì)算）某電商平臺(tái)A/B測試，對照組轉(zhuǎn)化率p?=0.12，實(shí)驗(yàn)組p?=0.15，樣本量n?=n?=2000，求（1）Z統(tǒng)計(jì)量；（2）p值；（3）若要求power=0.8，α=0.05，雙側(cè)，求最小樣本量。答案：（1）p?=(0.12+0.15)/2=0.135Z=(0.15?0.12)/√[0.135×0.865×(1/2000+1/2000)]=0.03/0.0108=2.78（2）p=2×(1?Φ(2.78))=0.0054（3）δ=0.03，σ=√[2×0.135×0.865]=0.484n=2×(Z_{0.975}+Z_{0.8})2σ2/δ2=2×(1.96+0.84)2×0.234/0.0009=2×7.84×260=4077→每組407726.（綜合）某市2025年啟動(dòng)共享電動(dòng)車試點(diǎn)，前12周周騎行量（萬）如下：周次?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12騎行量?35?42?51?63?78?95?115?140?170?205?245?295（1）畫出時(shí)序圖并判斷趨勢類型；（2）建立ARIMA(0,2,1)模型，給出參數(shù)估計(jì)；（3）用該模型預(yù)測第13-15周騎行量，并給出95%置信區(qū)間；（4）若政府設(shè)定周騎行量超過300萬即需擴(kuò)容，求第13周需擴(kuò)容的概率。答案：（1）呈指數(shù)增長，取對數(shù)后線性趨勢明顯。（2）令Z?=ln(Y?)，差分兩次得w?=?2Z?，樣本ACF在lag1顯著，PACF截尾，擬合MA(1)：w?=ε?+θε???，θ?=?0.71，σ?2=0.0083（3）???(1)=Z??+?Z??+θ?ε??=5.686+0.219?0.71×0.015=5.894???=e^{5.894}=362.3方差：Var(e?)=σ2(1+θ2)=0.0083×1.504=0.012595%區(qū)間：5.894±1.96×√0.0125→(5.675,6.113)換算：(290,450)同理：???(2)=5.894+0.219=6.113→???=451.7，區(qū)間(340,600)???(3)=6.332→???=562.1，區(qū)間(410,770)（4）P(???>300)=P(ln?>5.704)=P(Z>(5.704?5.894)/√0.0125)=Φ(1.70)=0.95527.（綜合）某金融機(jī)構(gòu)構(gòu)建信用卡違約預(yù)測模型，變量含年齡、收入、歷史逾期次數(shù)、額度使用率、征信查詢次數(shù)。采用5折交叉驗(yàn)證，結(jié)果如下：模型?AUC?LogLoss?BrierLogit?0.814?0.318?0.165RF??0.857?0.292?0.151XGB?0.869?0.281?0.146LGB?0.872?0.278?0.144（1）基于AUC與Brier，選擇最優(yōu)模型并說明理由；（2）若業(yè)務(wù)要求precision@top10%=0.6，求對應(yīng)recall；（3）若采用Stacking融合，第一層用RF、XGB、LGB，第二層用Logit，簡述實(shí)現(xiàn)步驟；（4）若違約率僅2%，如何調(diào)整采樣策略以提升模型性能。答案：（1）LGB在AUC最高且Brier最低，校準(zhǔn)度與區(qū)分度均優(yōu)，故選LGB。（2）precision@k=0.6，設(shè)k=0.1n，TP=0.6×0.1n=0.06n，實(shí)際違約數(shù)=0.02n，recall=0.06n/0.02n=3.0→不可達(dá)，需降低precision或提高k。（3）步驟：a.5折劃分，每折用其余4折訓(xùn)練RF、XGB、LGB，預(yù)測該折，生成meta特征；b.合并meta特征，訓(xùn)練第二層Logit；c.測試集重復(fù)以上過程，最終輸出概率。（4）采用SMOTE過采樣少數(shù)類至10%，或采用代價(jià)敏感學(xué)習(xí)，將違約類權(quán)重設(shè)為49。28.（綜合）某風(fēng)電場欲預(yù)測次日24小時(shí)發(fā)電量，數(shù)據(jù)包括：歷史功率（15min粒度）數(shù)值天氣預(yù)報(bào)（NWP）風(fēng)速、風(fēng)向、溫度、壓強(qiáng)日歷變量（節(jié)假日、工作日）（1）給出特征工程方案；（2）建立Seq2Seq模型，編碼器用LSTM，解碼器用Attention，寫出模型結(jié)構(gòu)；（3）若采用分位數(shù)回歸，給出pinball損失函數(shù)；（4）若實(shí)際發(fā)電量低于預(yù)測10%以上需啟動(dòng)備用機(jī)組，求該概率的估計(jì)方法。答案：（1）特征：a.滯后功率：lag1-96（24h）b.滾動(dòng)統(tǒng)計(jì)：mean/std/max/min（窗口6h,12h,24h）c.NWP差分：風(fēng)速梯度、風(fēng)向sin/cos編碼d.時(shí)間編碼：hour-of-day,day-of-week,monthe.交互：風(fēng)速×溫度、風(fēng)速3（2）結(jié)構(gòu)：編碼器：LSTM(hidden=128,layers=2,dropout=0.2)，輸入序列長度=96，輸出最后隱藏狀態(tài)解碼器：LSTMCell(hidden=128)，初始隱藏=編碼器輸出，每一步輸入上一時(shí)刻預(yù)測值與NWP未來值，Attention機(jī)制對編碼器所有隱藏狀態(tài)加權(quán)輸出層：全連接→1節(jié)點(diǎn)，線性激活（3）Pinball(u,τ)=max((τ?1)u,τu)，u=y??（4）在驗(yàn)證集上計(jì)算誤差分布，擬合誤差~N(μ,σ2)，則P(實(shí)際<0.9預(yù)測)=Φ((0.9預(yù)測?預(yù)測?μ)/σ)=Φ(?0.1預(yù)測?μ)/σ，用核密度估計(jì)非參分布更穩(wěn)健。29.（綜合）某零售連鎖企業(yè)計(jì)劃2026年在新區(qū)域開設(shè)30家門店，需預(yù)測單店月銷售額?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)：已開100店2025年月銷門店特征：面積、租金、周邊人口密度、競爭店數(shù)量、地鐵距離促銷次數(shù)、節(jié)假日天數(shù)（1