統(tǒng)計(jì)期末試題題庫(kù)(附答案)1.（單選）某市調(diào)查1000名居民的月網(wǎng)購(gòu)支出，記錄“0元”“1–500元”“501–1000元”“1000元以上”四檔，該變量屬于A(yíng).數(shù)值型連續(xù)變量B.數(shù)值型離散變量C.有序分類(lèi)變量D.無(wú)序分類(lèi)變量答案：C解析：雖然原始金額是數(shù)值，但調(diào)查時(shí)進(jìn)行了分段并賦予順序，因此屬于有序分類(lèi)變量。2.（單選）為估計(jì)某高校學(xué)生平均每日刷手機(jī)時(shí)間，隨機(jī)抽取36人，得樣本均值200min，標(biāo)準(zhǔn)差60min。若要求95%置信區(qū)間寬度不超過(guò)20min，至少應(yīng)追加多少人？A.52B.139C.196D.554答案：B解析：寬度=2×z×s/√n≤20，z?.???=1.96，解得n≥(2×1.96×60/20)2≈138.3，向上取整139。3.（單選）下列關(guān)于p值的陳述正確的是A.p值是原假設(shè)為真的概率B.p值越小，樣本量一定越大C.p值＜α?xí)r，拒絕原假設(shè)可能犯第一類(lèi)錯(cuò)誤D.p值與效應(yīng)量大小成正比答案：C解析：p值是“在原假設(shè)成立下獲得當(dāng)前或更極端結(jié)果”的概率；拒絕時(shí)可能犯第一類(lèi)錯(cuò)誤，其概率被α控制。4.（單選）對(duì)同一批數(shù)據(jù)分別做線(xiàn)性回歸y=β?+β?x與對(duì)數(shù)回歸lny=β?+β?x，若兩模型的R2分別為0.81與0.85，則A.可直接比較R2說(shuō)明對(duì)數(shù)模型更好B.需將對(duì)數(shù)模型R2換算為y尺度后再比較C.線(xiàn)性模型一定解釋力更高D.兩個(gè)R2含義相同答案：B解析：因變量尺度不同，R2不可直接比較，需用“換算后的y尺度R2”或交叉驗(yàn)證誤差。5.（單選）在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計(jì)量=0，則A.組間平方和為0B.組內(nèi)平方和為0C.各組樣本均值相等D.各組總體均值相等答案：A解析：F=MSB/MSW，若F=0則MSB=0，即組間平方和為0，說(shuō)明樣本均值全相等。6.（單選）設(shè)X~N(μ,σ2)，σ未知，n=16，檢驗(yàn)H?:μ=μ?，若采用t檢驗(yàn)，顯著性水平α=0.05，則拒絕域?yàn)锳.|t|>1.753B.|t|>2.131C.|t|>2.602D.|t|>1.746答案：B解析：自由度15，雙側(cè)臨界值t?.???,15=2.131。7.（單選）對(duì)某2×2列聯(lián)表做卡方檢驗(yàn)，得χ2=6.25，則Cramér’sV為A.0.25B.0.50C.0.177D.0.354答案：D解析：V=√(χ2/(n×min(r-1,c-1)))，此處min=1，若n=50，則V=√(6.25/50)=0.354。8.（單選）在時(shí)間序列加法模型Y=T+S+C+I中，若采用移動(dòng)平均法估計(jì)T，則季節(jié)成分S一般用A.原始減TB.原始減T再平均C.原始減T再平均后做中心化處理D.原始除T答案：C解析：加法模型中S=Y?T?C?I，實(shí)際估計(jì)時(shí)先對(duì)Y?T按季節(jié)平均，再使各季節(jié)和為0。9.（單選）若隨機(jī)變量X的期望存在，則A.其方差一定存在B.其中位數(shù)一定等于期望C.其所有階矩都存在D.其方差不一定存在答案：D解析：期望存在僅要求一階絕對(duì)矩有限，方差涉及二階矩，可不存在，如柯西分布。10.（單選）Bootstrap置信區(qū)間的“百分位法”是指A.用正態(tài)近似求區(qū)間B.用bootstrap標(biāo)準(zhǔn)誤乘t臨界值C.直接用bootstrap抽樣分布的α/2與1?α/2分位數(shù)D.對(duì)bootstrap均值做偏差校正答案：C解析：百分位法直接取bootstrap統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)，無(wú)需正態(tài)假設(shè)。11.（單選）在多元線(xiàn)性回歸中，若某自變量x?的VIF=10，則A.該變量一定不顯著B(niǎo).該變量系數(shù)符號(hào)一定錯(cuò)誤C.存在嚴(yán)重多重共線(xiàn)性D.應(yīng)直接刪除該變量答案：C解析：VIF=10說(shuō)明1/(1?R2?)=10，即該變量與其他變量復(fù)相關(guān)R2=0.9，共線(xiàn)嚴(yán)重，但未必需刪除。12.（單選）對(duì)同一數(shù)據(jù)做K均值與層次聚類(lèi)，若K均值SSE=120，層次聚類(lèi)SSE=150，則A.K均值結(jié)果一定更優(yōu)B.層次聚類(lèi)結(jié)果一定更優(yōu)C.僅說(shuō)明K均值在SSE準(zhǔn)則下更好D.SSE不可比較答案：C解析：SSE是K均值目標(biāo)函數(shù)，層次聚類(lèi)不直接最小化SSE，不能直接比“優(yōu)劣”。13.（單選）設(shè)X?,…,X?i.i.d.來(lái)自U(0,θ)，則θ的矩估計(jì)為A.2X?B.max(X?)C.min(X?)D.X?答案：A解析：E(X)=θ/2，令X?=θ?/2，得θ?=2X?。14.（單選）在貝葉斯框架中，若先驗(yàn)為Beta(2,2)，似然為二項(xiàng)分布Bin(n=10,x=3)，則后驗(yàn)均值為A.0.3B.0.333C.0.375D.0.4答案：C解析：后驗(yàn)Beta(2+3,2+7)=Beta(5,9)，均值5/(5+9)=0.357≈0.375（四舍五入）。15.（單選）若某指數(shù)平滑模型α=0.8，則A.對(duì)歷史數(shù)據(jù)衰減較慢B.對(duì)最近觀(guān)測(cè)權(quán)重高C.等價(jià)于簡(jiǎn)單移動(dòng)平均D.平滑序列方差一定減小答案：B解析：α大則權(quán)重集中在最近，衰減快。16.（單選）在分類(lèi)問(wèn)題中，ROC曲線(xiàn)下面積AUC=0.85表示A.隨機(jī)抽一個(gè)正類(lèi)得分高于負(fù)類(lèi)的概率0.85B.準(zhǔn)確率85%C.召回率85%D.F1值0.85答案：A解析：AUC定義即為該概率。17.（單選）對(duì)泊松過(guò)程，單位時(shí)間事件數(shù)λ的MLE為A.樣本中位數(shù)B.樣本均值C.樣本眾數(shù)D.樣本方差答案：B解析：泊松均值=λ，MLE=樣本均值。18.（單選）若兩變量秩相關(guān)系數(shù)ρ?=0，則A.兩變量獨(dú)立B.兩變量無(wú)線(xiàn)性相關(guān)C.兩變量無(wú)單調(diào)關(guān)系D.兩變量無(wú)斯皮爾曼單調(diào)關(guān)系答案：D解析：ρ?=0僅說(shuō)明無(wú)單調(diào)關(guān)系，不排除非單調(diào)關(guān)聯(lián)。19.（單選）在正態(tài)總體方差已知時(shí)，關(guān)于均值μ的檢驗(yàn)，若n增大，則A.第二類(lèi)錯(cuò)誤概率一定增大B.檢驗(yàn)功效一定減小C.第一類(lèi)錯(cuò)誤概率不變D.置信區(qū)間寬度一定增大答案：C解析：α由研究者設(shè)定，不隨n變；功效增大，區(qū)間變窄。20.（單選）對(duì)某數(shù)據(jù)集做主成分分析，第一主成分方差貢獻(xiàn)率45%，第二主成分25%，則前兩個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率A.45%B.70%C.25%D.無(wú)法計(jì)算答案：B解析：45%+25%=70%。21.（多選）下列哪些方法可用于檢驗(yàn)正態(tài)性A.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)B.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)C.Q-Q圖D.Anderson-Darling檢驗(yàn)E.Levene檢驗(yàn)答案：A,B,C,D解析：Levene檢驗(yàn)用于方差齊性，不檢驗(yàn)正態(tài)。22.（多選）關(guān)于多重比較校正，正確的有A.Bonferroni法控制族錯(cuò)誤率B.FDR法比Bonferroni更寬松C.TukeyHSD適用于所有兩兩比較D.Scheffe法可用于任意線(xiàn)性對(duì)比E.不校正時(shí)第一類(lèi)錯(cuò)誤率膨脹答案：A,B,C,D,E解析：全對(duì)。23.（多選）下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的有A.Mann-WhitneyUB.Kruskal-WallisC.Wilcoxon符號(hào)秩D.符號(hào)檢驗(yàn)E.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)答案：A,B,C,D解析：卡方雖無(wú)分布假設(shè)，但通常歸為列聯(lián)表方法，非嚴(yán)格非參數(shù)。24.（多選）若隨機(jī)變量X服從幾何分布，則A.具有無(wú)記憶性B.期望為1/pC.方差為(1?p)/p2D.屬于指數(shù)族E.其和服從負(fù)二項(xiàng)答案：A,B,C,D,E解析：幾何分布是負(fù)二項(xiàng)r=1特例，和即負(fù)二項(xiàng)；屬指數(shù)族；無(wú)記憶；期望方差如上。25.（多選）在線(xiàn)性回歸中，若殘差呈現(xiàn)“漏斗形”，則A.存在異方差B.可用加權(quán)最小二乘C.可用對(duì)數(shù)變換D.標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)有偏E.系數(shù)估計(jì)有偏答案：A,B,C,D解析：系數(shù)仍無(wú)偏，但標(biāo)準(zhǔn)誤錯(cuò)，t檢驗(yàn)失效。26.（填空）設(shè)X~N(0,1)，則E(|X|)=____。答案：√(2/π)解析：利用積分∫?^∞xφ(x)dx=1/√(2π)。27.（填空）若樣本偏度為0，峰度為3，則該分布最接近____分布。答案：正態(tài)解析：正態(tài)偏度0峰度3。28.（填空）對(duì)某AR(1)模型X?=0.7X???+ε?，其平穩(wěn)方差為_(kāi)___（ε?~iidN(0,1)）。答案：1/(1?0.72)=1/0.51≈1.9608解析：Var(X)=σ2/(1?φ2)。29.（填空）若Logistic回歸系數(shù)β?=0.8，則x每增加1單位，優(yōu)勢(shì)比變?yōu)樵璤___倍。答案：e^0.8≈2.2255解析：OR=e^β。30.（填空）對(duì)某樣本n=100，樣本比例p?=0.15，則其99%置信區(qū)間半寬為_(kāi)___（保留三位小數(shù)）。答案：2.576×√(0.15×0.85/100)=0.092解析：z?.???=2.576。31.（計(jì)算）某工廠(chǎng)兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同型號(hào)零件，分別抽取n?=50，n?=60，測(cè)得平均長(zhǎng)度120mm與122mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為4mm與5mm。假定方差不相等，試在α=0.05下檢驗(yàn)兩臺(tái)機(jī)器是否顯著差異，并求均值差的95%置信區(qū)間。答案：t=(120?122)/√(42/50+52/60)=?2.309，df≈103.9，|t|>1.983，拒絕H?。差值?2±1.983×√(16/50+25/60)=?2±1.983×0.896=?2±1.777→(?3.777,?0.223)mm。32.（計(jì)算）對(duì)某完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，四組樣本量均為8，組均值分別為10,12,15,18，組內(nèi)平方和480，試完成方差分析表并給出結(jié)論（α=0.01）。答案：SSB=8×[(10?13.75)2+(12?13.75)2+(15?13.75)2+(18?13.75)2]=8×24.75=198，SST=198+480=678，dfB=3，dfW=28，MSB=66，MSW=17.14，F(xiàn)=3.85，F(xiàn)?.??,3,28≈4.57，3.85<4.57，不拒絕，尚不能認(rèn)為四組均值不同。33.（計(jì)算）某連鎖超市記錄10家門(mén)店促銷(xiāo)前后一周銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）如下：門(mén)店：12345678910前：30283540293231333436后：33303842313534363739試用非參數(shù)方法檢驗(yàn)促銷(xiāo)是否有效（α=0.05）。答案：取差值：3,2,3,2,2,3,3,3,3,3，符號(hào)檢驗(yàn)正符號(hào)10/10，p=2×(0.5)^10=0.00195<0.05，拒絕，促銷(xiāo)顯著有效。34.（計(jì)算）設(shè)X?,…,X?來(lái)自密度f(wàn)(x)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0，求θ的MLE及其漸近方差。答案：L=θ?∏x?^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx?，令導(dǎo)數(shù)得θ?=?n/∑lnx?，I(θ)=n/θ2，漸近方差θ2/n。35.（計(jì)算）對(duì)某2×3列聯(lián)表，卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)得χ2=12.5，n=200，求列聯(lián)系數(shù)C與Cramér’sV，并解釋。答案：C=√(χ2/(n+χ2))=√(12.5/212.5)=0.242，V=√(12.5/(200×1))=0.25，二者均顯示中等強(qiáng)度關(guān)聯(lián)。36.（綜合）某電商想預(yù)測(cè)日銷(xiāo)量Y，收集30天數(shù)據(jù)，變量：x?=廣告費(fèi)(萬(wàn)元)，x?=周末虛擬(0/1)，x?=促銷(xiāo)強(qiáng)度(1–5)。用最小二乘得：Y?=50+12x?+30x?+8x?，R2=0.75，殘差診斷：DW=1.8，殘差Q-Q圖基本直線(xiàn)，但x?與x?相關(guān)系數(shù)0.85。（1）解釋系數(shù)12；（2）是否存在多重共線(xiàn)？如何改進(jìn)？（3）若廣告費(fèi)增加1萬(wàn)元，周末且促銷(xiāo)強(qiáng)度為4，銷(xiāo)量變化？（4）給出DW=1.8的結(jié)論。答案：（1）控制其他變量，廣告費(fèi)每增1萬(wàn)元，日銷(xiāo)量平均增12件。（2）x?與x?高相關(guān)，VIF可能高，存在共線(xiàn)；可中心化交互、主成分、嶺回歸或剔除一個(gè)。（3）ΔY=12×1+30×0+8×0=12件（僅廣告效應(yīng)）。（4）DW≈2無(wú)自相關(guān)，1.8接近2，尚不能認(rèn)為存在顯著自相關(guān)。37.（綜合）某醫(yī)學(xué)試驗(yàn)測(cè)量20名患者治療前后血壓，得平均差值?8mmHg，差值標(biāo)準(zhǔn)差10mmHg。（1）給出差值均值μd的95%置信區(qū)間；（2）若臨床認(rèn)為降低5mmHg才有效，請(qǐng)檢驗(yàn)；（3）若n增至80，區(qū)間寬度如何變化？答案：（1）?8±2.093×10/√20=?8±4.68→(?12.68,?3.32)；（2）H?:μd=?5，t=(?8+5)/(10/√20)=?1.34，|t|<2.093，不拒絕，尚不能認(rèn)為達(dá)到臨床有效；（3）寬度與√n成反比，n×4，寬度/2，新寬≈2.34。38.（綜合）設(shè)X~Exp(λ)，Y~Exp(μ)獨(dú)立，求P(X<Y)。答案：P(X<Y)=∫?^∞∫x^∞λe^{?λx}μe^{?μy}dydx=λ/(λ+μ)。39.（綜合）對(duì)某數(shù)據(jù)集做K均值聚類(lèi)，K從2到8，繪制“肘部圖”發(fā)現(xiàn)SSE下降緩慢，且silhouette均值在K=3時(shí)最大0.55，K=4時(shí)0.54，K=5時(shí)0.52，請(qǐng)給出建議并說(shuō)明理由。答案：選K=3；silhouette最高且肘部圖無(wú)顯著下降，兼顧解釋性與聚類(lèi)質(zhì)量。40.（綜合）某質(zhì)量控制圖設(shè)置X?圖，中心線(xiàn)50，標(biāo)準(zhǔn)差2，n=5，試計(jì)算3σ上下控制限，并說(shuō)明若連續(xù)7點(diǎn)同側(cè)是否報(bào)警。答案：UCL=50+3×2/√5=52.68，LCL=47.32；連續(xù)7點(diǎn)同側(cè)為典型“游程”準(zhǔn)則，應(yīng)報(bào)警，提示過(guò)程可能偏移。41.（證明）設(shè)X?,…,X?i.i.d.N(μ,σ2)，證明樣本方差S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)。答案：E(S2)=E(1/(n?1)∑(X??X?)2)=σ2，經(jīng)典結(jié)論，利用E(∑(X??X?)2)=(n?1)σ2。42.（證明）對(duì)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸y?=β?+β?x?+ε?，證明β?的OLS估計(jì)可寫(xiě)為β??=∑(x??x?)(y???)/∑(x??x?)2。答案：最小化RSS，對(duì)β?求導(dǎo)并令0即得。43.（軟件應(yīng)用）用R語(yǔ)言寫(xiě)一段代碼：生成1000個(gè)服從N(3,4)的隨機(jī)數(shù)，繪制直方圖并疊加密度曲線(xiàn)，計(jì)算95%置信區(qū)間。答案：set.seed(123)x<-rnorm(1000,mean=3,sd=2)hist(x,freq=FALSE,col="skyblue",border="white")curve(dnorm(x,3,2),add=TRUE,col="red",lwd=2)t.test(x)$44.（軟件應(yīng)用）用Python完成：對(duì)iris數(shù)據(jù)做PCA，輸出解釋方差比，并繪制前兩個(gè)主成分散點(diǎn)圖，顏色按品種區(qū)分。答案：importseabornassnsfromsklearn.decompositionimportPCAimportmatplotlib.pyplotaspltiris=sns.load_dataset('iris')X=iris.drop('species',axis=1)pca=PCA(n_components=2)X2=pca.fit_transform(X)print(pca.explained_variance_ratio_)plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],c=iris.species.astype('category').cat.codes)plt.show()45.（案例）某市交通部門(mén)想評(píng)估限行政策對(duì)PM2.5的影響，收集政策前后各40天數(shù)據(jù)，已知前后平均濃度差?5μg/m3，標(biāo)準(zhǔn)差差值12μg/m3，但數(shù)據(jù)呈右偏。（1）應(yīng)選t檢驗(yàn)還是非參數(shù)？（