橢圓考試題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的長軸長為（）A.5B.10C.3D.62.橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的焦距為2，則m的值為（）A.3B.5C.3或5D.63.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{1}{2}$，則$\frac{a}$的值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$4.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2B.3C.5D.75.橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(±5,0)$B.$(0,±5)$C.$(±\sqrt{7},0)$D.$(0,±\sqrt{7})$6.橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的離心率是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{16}{25}$7.橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距為2，則m的值為（）A.5B.3C.5或3D.28.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，過$F_1$作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若$\triangleABF_2$為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{1}{2}$9.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，點(diǎn)P在橢圓上，若$|PF_1|=3$，則$|PF_2|$等于（）A.1B.3C.5D.710.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{a^2+b^2}{a^2}$的值為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于橢圓的說法正確的有（）A.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)$F_1,F_2$的距離之和等于常數(shù)（大于$|F_1F_2|$）的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，$a$表示長半軸長，$b$表示短半軸長C.橢圓的離心率$e$越大，橢圓越扁D.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦點(diǎn)在x軸上2.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，則（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(±3,0)$B.長軸長為10C.離心率為$\frac{3}{5}$D.短軸長為83.橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距為2，則m的值可能為（）A.3B.5C.6D.74.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(0,\frac{1}{2})$C.$(\frac{1}{2},1)$D.$[\frac{1}{2},1)$5.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則（）A.P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6B.橢圓的焦距為$2\sqrt{7}$C.橢圓的長軸長為8D.橢圓的短軸長為66.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的性質(zhì)有（）A.范圍是$-a\leqx\leqa$，$-b\leqy\leqb$B.關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(±a,0)$，$(0,±b)$D.離心率$e=\frac{c}{a}$（$c$為半焦距）7.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$，則（）A.當(dāng)$m>4$時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上B.當(dāng)$m<4$時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上C.當(dāng)$m=4$時(shí)，是圓D.離心率可能為$\frac{1}{2}$8.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，若$a=2b$，則（）A.離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$B.短軸長是長軸長的一半C.焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(±\sqrt{3}b,0)$D.頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(±2b,0)$，$(0,±b)$9.下列橢圓中，離心率相同的有（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$D.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}=1$10.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$F_1,F_2$為焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則（）A.$|PF_1|+|PF_2|=2a$B.$\trianglePF_1F_2$的周長為$2a+2c$C.當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，$\angleF_1PF_2$最大D.若$\angleF_1PF_2=90^{\circ}$，則$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2$判斷題（每題2分，共20分）1.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)$F_1,F_2$的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。（）2.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦點(diǎn)在y軸上。（）3.橢圓的離心率越大，橢圓越圓。（）4.橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的長軸長為10。（）5.橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$，當(dāng)$m>4$時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上。（）6.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，$a$越大，橢圓越扁。（）7.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5。（）8.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e\in(0,1)$。（）9.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(±a,0)$，$(0,±b)$。（）10.橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$和$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率相同。（）簡答題（每題5分，共20分）1.簡述橢圓的定義。平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)$F_1,F_2$的距離之和等于常數(shù)（大于$|F_1F_2|$）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)距離為焦距。2.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，求其長軸長、短軸長、焦距和離心率。由橢圓方程知$a=5$，$b=3$，則$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$。長軸長$2a=10$，短軸長$2b=6$，焦距$2c=8$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$。3.橢圓的離心率有什么意義？離心率$e=\frac{c}{a}$反映橢圓扁平程度，$e$越接近1，橢圓越扁；$e$越接近0，橢圓越圓。4.已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距為2，求m的值。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，$a^2=m$，$b^2=4$，$2c=2$，$c=1$，$m-4=1$，$m=5$；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，$a^2=4$，$b^2=m$，$4-m=1$，$m=3$。所以m為3或5。討論題（每題5分，共20分）1.討論橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置的關(guān)系。焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$；焦點(diǎn)在y軸時(shí)，方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$，可根據(jù)$x^2$與$y^2$分母大小判斷焦點(diǎn)位置。2.談?wù)剻E圓離心率的變化對橢圓形狀的影響。離心率$e=\frac{c}{a}$，$e$越接近1，$c$越接近$a$，$b$越小，橢圓越扁；$e$越接近0，$c$越接近0，$b$越接近$a$，橢圓越圓。3.若橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為$b^2$，討論點(diǎn)P的位置。當(dāng)$\angleF_1PF_2=90^{\circ}$時(shí)，$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2$，此時(shí)點(diǎn)P在以$F_1F_2$為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)上。4.討論橢圓與圓的關(guān)系。當(dāng)橢圓的長半軸$a$等于短半軸$b$時(shí)，橢圓方程變?yōu)?x^2+y^2=a^2$，此時(shí)橢圓就變成了圓，圓可看作特殊