第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年上海二中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共有4題，滿分14分，第1、2題每題3分，第3、4題每題4分。1.在以下調(diào)查中，適合用普查的是(

)A.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力 B.調(diào)查一批LED燈的壽命

C.調(diào)查某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu) D.調(diào)查一個(gè)班級(jí)學(xué)生的身高情況2.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則“kA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)10天測(cè)得該地PM2.5的日均值(單位為μg/m3)，依次為36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(

)

①前4天的極差大于后4天的極差；

②前4天的方差小于后4天的方差；

③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為31或33；

④A.0 B.1 C.2 D.34.對(duì)于一個(gè)四棱錐P?ABCD，已知二面角A?PB?C、B?PC?D、C?PD?A、D?PA?B大小都相等，有下列兩個(gè)命題：①底面ABCD可以是等腰梯形；②若底面ABCD是平行四邊形，則ABCD是矩形.下列說法正確的是(

)A.①②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題 D.①②都是假命題二、填空題：本題共12題，第5-10題每題4分,第11-16題，每題5分，共54分。5.半徑為3的球的表面積為

．6.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，如果P(A)=0.5，P(AB)=0.4，那么P(B)=

．7.直線2x?y?3=0與直線x?3y?5=0的夾角大小為______．8.現(xiàn)從編號(hào)為01，02，?，50的50支水筆中抽取10支水筆進(jìn)行書寫長度檢測(cè)，若從以下隨機(jī)數(shù)表第1個(gè)數(shù)字開始由左向右讀取，則抽取的第4支水筆的編號(hào)為

(以下隨機(jī)數(shù)表第7行)．

39832276?39918535?32591131?40469235?04982212?206712639.用“市”、“二”、“中”、“學(xué)”、“頂”、“呱”、“呱”這七個(gè)字可以組成多少種不同的七字短語

.(不考慮短語的含義)10.某校高二年級(jí)為選拔參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生組織了一次考試，最后選出13名男生和7名女生，這20名學(xué)生的考試成績?nèi)缜o葉圖所示(單位：分)，學(xué)校規(guī)定：成績不低于130分的人到A班培訓(xùn)，低于130分的人到B班培訓(xùn)，如果用分層抽樣的方法從到A班的人和到B班的人中共選取5人，則5人中到A班的有

人.11.在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為

(結(jié)果用數(shù)值表示)．12.已知A(?5,2)，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y?10=0對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

．13.當(dāng)一個(gè)不均勻的骰子滾動(dòng)的時(shí)候，出現(xiàn)偶數(shù)的概率是奇數(shù)的3倍.骰子滾動(dòng)了兩次則出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是

．14.一盒子里有編號(hào)1，2，3的紅球和編號(hào)1，2，3的白球各一個(gè)，隨機(jī)取出4個(gè)球排成一列，則相同顏色和相同編號(hào)均不相鄰的排法有

種.15.如圖，有一邊長為2cm的正方形ABCO，D，E分別為AO、AB的中點(diǎn).按圖中的虛線翻折，使得A，B，O三點(diǎn)重合，制成一個(gè)三棱錐，并得到以下四個(gè)結(jié)論：

①三棱錐的表面積為4；

②三棱錐的體積為13；

③三棱錐的外接球表面積為6π；

④三棱錐的內(nèi)切球半徑為1．

則以上結(jié)論中，正確結(jié)論是

.(請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào))

16.已知直線l1：mx?y+m=0，l2：x+my?m(m+1)=0，l3：(m+1)x?y+(m+1)=0，三條直線圍成△ABC，則當(dāng)△ABC面積取得最大時(shí)m的值為

三、解答題：本題共5小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題13分)

已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x18.(本小題15分)

已知直線l1：ax+2y+6=0和直線l2：x+(a?1)y+a2?1=0．

(Ⅰ)當(dāng)l1//l2時(shí)，求a的值；

19.(本小題16分)

為了了解某校高二年級(jí)學(xué)生的體育成績，隨機(jī)選取100名學(xué)生參加考核，將考核的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)若落在[50,60)學(xué)生的平均成績是54.4，方差是5.2，落在[60,70)學(xué)生的平均成績?yōu)?6.4，方差是9.2，求落在[50,70)的學(xué)生的成績的平均數(shù)和方差.(結(jié)果精確到0.1)20.(本小題18分)

在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為12，收到0的概率為12；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為13，收到1的概率為23．

(Ⅰ)重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次，計(jì)算至少收到兩次1的概率；

(Ⅱ)依次發(fā)送1，1，0，判斷以下兩個(gè)事件：①事件A：至少收到一個(gè)正確信號(hào)；②事件B：至少收到兩個(gè)21.(本小題20分)

如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN將△CMN翻折到△PMN的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐P?ABMND．

(1)在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)四棱錐P?MNDB體積最大時(shí)，求直線PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，在線段PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q?MN?P的平面角的余弦值為1010？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.36π

6.0.8

7.π48.32

9.2520

10.2

11.120

12.(8,15)

13.5814.12

15.①②③

16.1

17.18.解：(I)由a(a?1)?2=0，解得a=2或?1.經(jīng)過驗(yàn)證a=2時(shí)兩條直線重合，舍去．∴a=?1．

(II)a=1時(shí)，兩條直線不垂直，舍去．

a≠1時(shí)，由l1⊥l2時(shí)，∴?19.20.解：(Ⅰ)重復(fù)發(fā)信號(hào)1三次，“至少收到兩次1”的可能情況為：

(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

∵信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，

∴“至少收到兩次1”的概率為P=23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027．

(Ⅱ)事件A與事件B不互相獨(dú)立，證明如下：

若依次發(fā)送1，1，0，則三次都沒改到正確信號(hào)的概率為：

P=13×13×12=118，

∴至少收到一個(gè)正確信號(hào)的概率為P(A)=1?118=1721.(1)在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，

證明：∵點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴BD/?/MN，

又因?yàn)榱庑蜛BCD中∠DAB=60°，∴△PMN是等邊三角形，

∵G是MN的中點(diǎn)，∴MN⊥PG，

∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，

∵AC∩PG=G，AC?平面PAG，PG?平面PAG，

∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．

(2)解：由題意知，四邊形MNDB為等腰梯形，且DB=4，MN=2，O1G=3，

所以等腰梯形MNDB的面積S=(2+4)×32=33，

要使得四棱錐P?MNDB體積最大，只要點(diǎn)P到平面MNDB的距離最大即可，

∴當(dāng)PG⊥平面MNDB時(shí)，點(diǎn)P到平面MNDB的距離的最大值為3，

此時(shí)四棱錐P?MNDB體積的最大值為V=13×33×3=3，

連接BG，則直線PB和平面MNDB所成角的為∠PBG，

在Rt△PBG中，PG=3，BG=7，由勾股定理得：PB=PG2+BG2=10．

∴sin∠PBG=PGP