第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年浙江省寧波市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線的點(diǎn)斜式方程是y+2=3(x+1)，則直線在y軸上的截距為A.?2 B.2 C.3?2 2.若圓的一般方程為x2+y2A.(1,?2)；r=11 B.(2,?1)；r=11

C.(1,?2)；r=11 3.已知a=(1,?2,3)，b=(?1,2,?1),c=(3,5,2)，則(A.1 B.2 C.3 D.44.曲線y=x3+lnx+1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為A.3x?y?1=0 B.4x?y?2=0 C.4x+y?6=0 D.3x+y?5=05.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A.233 B.32 6.已知等差數(shù)列{an}滿足a1=2，a4+a6=12，數(shù)列{bnA.12 B.24 C.48 D.967.設(shè)F是橢圓x29+y25=1的右焦點(diǎn)，A是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是直線A.2 B.3 C.4 D.58.已知0<x<y<π2，則下列不等式恒成立的是(

)A.sinx?siny<x?y B.x?y<tanx?tany

C.xsiny<ycosx D.tany>xy二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=13x3+xA.f′(2)=5

B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,9]

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上為增函數(shù)

D.關(guān)于x的方程f(x)=a有2個(gè)不同的根當(dāng)且僅當(dāng)a∈(?10.已知直線l：kx+y?2k?1=0與圓C：(x?3)2+yA.直線l過定點(diǎn)(2,1)

B.直線l與圓C截得弦長的最小值為6

C.當(dāng)k=?1時(shí)，圓C上有且僅有3點(diǎn)到直線l的距離為2

D.(m,n)是圓C上的點(diǎn)，則n11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=my+1過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，l為拋物線C的準(zhǔn)線，則(

)A.p=2

B.以AB為直徑的圓與l相切

C.當(dāng)m=3時(shí)，|AB|=163

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a3=4，a13.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，其中一條漸近線與圓(x?14.已知函數(shù)f(x)=ex?3，g(x)=lnx+12?ln2，若f(a)=g(b)成立，則b?a的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(?1,2)，B(1,0)，C(2,?2)．

(1)求邊AC的垂直平分線的方程；

(2)若直線BC與圓(x?1)2+(y?b)16.(本小題15分)

已知各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3=6，且log2a1+log2a9?2log2a17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AB/?/CD，AD⊥DC，AD⊥PD，AD=DC=PD=2AB，M為PC中點(diǎn)．

(1)求證：PC⊥平面ADM；

(2)若PC=3CD，求二面角B?PC?D18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線Γ：y2=4x的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，且橢圓C和拋物線Γ的準(zhǔn)線在第二象限交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為32．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aex(ex+1)，g(x)=2ex+x．

(1)求證：g(x)≥3x+2；

(2)記函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)．

(i)若h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.AC

11.ABD

12.613.314.ln2?1

15.解：(1)已知A(?1,2)，C(2,?2)，

則A、C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)，kAC=2?(?2)?1?2=?43，

則邊AC的垂直平分線的方程為y=34(x?12)；

(2)由題意可得直線BC的方程為y=?2(x?1)，

又圓(x?1)2+(y?b)216.解：(1)因?yàn)楦黜?xiàng)均不相等的正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，

又S3=6，且log2a1+log2a9?2log2a3=0，

所以3a1+3d=6a1(a1+8d)=(17.(1)證明：因?yàn)锳D⊥DC，AD⊥PD，DC∩PD=D，且PD，DC?平面PCD，

所以AD⊥平面PCD，

而PC?平面PCD，所以AD⊥PC，

又因?yàn)镈C=PD，M為PC中點(diǎn)，可得DM⊥PC，

又因?yàn)镈M∩AD=D，且DM，AD?平面ADM，

所以PC⊥平面ADM；

(2)解：AD⊥DC，AD⊥PD，AD=DC=PD=2AB，PC=3CD，

設(shè)AB=1，則PD=DC=AD=2，可得AC=22，PA=22，PC=23，

cos∠PDC=PD2+CD2?PC22PD?CD=4+4?122×2×2=?12，可得∠PDC=2π3，

所以∠PCD=∠CPD=π6，

取CD的中點(diǎn)N，可得BN//AD，且NB=AD=2，

由(1)可得BN⊥平面PCD，

所以△PCN為△PBC在平面PCD內(nèi)的投影，

設(shè)二面角B?PC?D的平面角為θ，且θ為銳二面角，

可得cosθ=S△PNCS△PBC，

18.解：(1)由題，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線x=?1，

所以c=1，橢圓C和拋物線Γ的準(zhǔn)線在第二象限交點(diǎn)為(?1,32)，

所以1a2+94b2=1，a2?b2=1，

解得a2=4，b2=3，

所以x24+y23=1；

(2)由題意可知直線l的斜率不為0，

設(shè)直線l的方程：x=my+1，Q(x1,y1)，P(x2,y2)，則Q1(x1,?y1)，

聯(lián)立x=my+1,x24+y23=1，化簡得(3m2+4)y2+6my?9=019.解：(1)證明：要證g(x)≥3x+2，即證2ex+x≥3x+2，即證2ex?2x?2≥0，

令p(x)=2ex?2x?2，求導(dǎo)得p′(x)=2ex?2，

令p′(x)=0，解得x=0，

當(dāng)x<0時(shí)，p′(x)<0，p(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，p′(x)>0，p(x)單調(diào)遞增，

因此p(x)在x=0處取得最小值p(0)=2e0?0?2=0，

所以p(x)≥0，即g(x)≥3x+2．

(2)(i)函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)=aex(ex+1)?2ex?x=a(e2x+ex)?2ex?x，

求導(dǎo)得h′(x)=a(2e2x+ex)?2ex?1=(2ex+1)(aex?1)，

當(dāng)a≤0時(shí)，aex?1<0，2ex+1>0，可得h′(x)<0，

所以h(x)在R上單調(diào)遞減，h(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，令h′(x)=0，可得aex?1=0，解得x=?lna，

當(dāng)x∈(?∞,?lna)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(?lna,+∞)時(shí)，h′(x)