第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年重慶市西南大學附中高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=xlnx，則f′(1)=(

)A.1+e B.e C.1 D.02.方程x2m?4+y25?mA.4<m<5 B.4<m<92或92<m<5

C.3.已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，則A.2 B.4 C.8 D.164.已知兩條異面直線的方向向量分別是m=(3,?2,?1)，n=(1,2,3)，則這兩條異面直線所成的角θ滿足(

)A.cosθ=27 B.cosθ=?27 C.5.已知圓C：(x?6)2+y2=36，AB是圓C的一條動弦，|AB|=63A.(x?6)2+y2=3 B.(x+66.已知函數(shù)f(x)=(x2?4x?m)ex在[2,3]上單調遞增，則實數(shù)A.m<?4 B.m≤?4 C.m<?1 D.m≤?17.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2nA.5 B.4 C.3 D.28.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c，左、右頂點分別為A1，A2，過A1作x軸的垂線與A.[233,2] B.[2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l1：(a+1)x?(2a?2)y+4=0，l2：x+y?1=0，則下列說法正確的是(

)A..直線l1過定點(?2,?1) B.直線l2的傾斜角為π4

C.若l1⊥l2，則10.設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2A.S1=1 B.Sn?11.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，O為坐標原點，過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，分別過點A，B作l的垂線，垂足分別為D，E，則(

)A.以AB為直徑的圓與l相切

B.若|AB|=8，則直線AB的斜率的絕對值為1

C.△DEF為銳角三角形

D.|DF|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(4,x,6)，向量b=(2,5,y)，且a//b，則x+y=

13.已知點P為拋物線y2=4x上的動點，點A(3,4)，過P作y軸的垂線，垂足為點M，則|PM|+|PA|的最小值為

．14.已知數(shù)列{an}滿足an=4n+(?1)n?1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知公差大于1的等差數(shù)列{an}滿足a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)16.(本小題15分)

已知曲線f(x)=alnx?12x2+52x在點(1,f(1))處的切線與直線3x?y+2=0平行．

(1)求17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=4，AD=DC=2，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，連接BD．

(1)證明：BD⊥AP；

(2)求平面APB與平面CPB所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，點A(0,2)在C上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作兩條互相垂直的直線，與橢圓C的另一個交點分別為E，F(xiàn)，證明：直線EF過定點；

(3)以原點O為圓心且過點19.(本小題17分)

設n∈N?，點An(xn,yn)、Bn(sn,tn)滿足xn2+yn2=n2，sn2+tn2=n2，若線段AnBn的中點Cn滿足OAn?OBn=?2OCn2．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=xlnx，

所以f′(x)=lnx+x?1x=lnx+1，

故f′(1)=ln1+1=1．

故選：C．2.【答案】B

【解析】解：方程x2m?4+y25?m=1表示橢圓，

可得m?4>05?m>0m?4≠5?m，解得4<m<5且m≠3.【答案】B

【解析】解：數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，則a9+a11a4.【答案】A

【解析】解：因為兩條異面直線的方向向量分別是m=(3,?2,?1)，n=(1,2,3)，

可得m?n=3×1+(?2)×2+(?1)×3=?4，|m|=9+4+1=14，|n|=5.【答案】D

【解析】解：已知圓C：(x?6)2+y2=36，

則圓心C(6,0)，半徑為6，

又AB是圓C的一條動弦，|AB|=63，

則|CM|=36?(632)2=3，

則AB的中點M6.【答案】B

【解析】解：因為f(x)=(x2?4x?m)ex，

所以f′(x)=(2x?4)ex+(x2?4x?m)ex=(x2?2x?4?m)ex，

因為y=f(x)在[2,3]上單調遞增，

所以f′(x)≥0在[2,3]上恒成立，

即x2?2x?4?m≥0在[2,3]上恒成立，

由二次函數(shù)的性質，可知y=x2?2x?4?m在[2,3]上單調遞增，7.【答案】C

【解析】解：由an+1=an+2n，a1=4，

可得an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+...+(an?8.【答案】A

【解析】解：雙曲線E：x2a2?y2b2=1的漸近線方程為x2a2?y2b2=0，A1(?a,0)，A2(a,0)，

直線MN：x=?a與漸近線方程聯(lián)立得|y|=b，則|MN|=2b，S△MNA2=12|MN||A1A2|=2ab，

由9.【答案】ACD

【解析】解：直線l：(a+1)x?(2a?2)y+4=0，化簡得到a(x?2y)+(x+2y+4)=0，

令x?2y=0x+2y+4=0，所以x=?2，y=?1，所以直線l1過定點(?2,?1)，故A正確；

直線l2的斜率為?1，對應傾斜角為3π4，故B錯誤；

因為直線l2的斜率為?1，若l1⊥l2，則直線l1的斜率為1，

所以a+12a?2=1，所以a=3，故C正確；

因為直線l2的斜率為?1，若l1//l2，則直線l1的斜率為?1，

所以a+12a?2=?1，所以a=13，故D正確．

故選：ACD．

直線10.【答案】ACD

【解析】解：由2anSn=an2+1(n∈N?)，且an>0，

可得n=1時，2a1S1=a12+1=2a12，解得a1=1，

當n≥2時，由2Sn=an+1an=Sn?Sn?1+1Sn?Sn?1，

可得Sn+Sn?1=11.【答案】ABD

【解析】解：拋物線C：y2=4x的焦點F(1,0)，準線l：x=?1，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

對于A，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，以AB為直徑的圓半徑r=12|AB|=x1+x22+1，

線段AB中點(x1+x22,y1+y22)到直線l的距離為x1+x22+1=r，因此該圓與l相切，A正確；

對于B，設直線AB：x=ty+1，由x=ty+1y2=4x消去x得y2?4ty?4=0，則y1+y2=4t，

x1+x2=t(y1+y2)+2=4t212.【答案】13

【解析】解：因為向量a=(4,x,6)，向量b=(2,5,y)，且a/?/b，

所以存在實數(shù)λ，使得a=λb，

即(4,x,6)=λ(2,5,y)=(2λ,5λ,λy)，

所以4=2λx=5λ6=λy，解得λ=2x=10y=3，

所以x+y=13．

故答案為：13．

由a/?/13.【答案】2【解析】解：由拋物線y2=4x，則焦點為F(1,0)，準線為x=?1，

則|PM|+|PA|=|PF|?1+|PA|=|PF|+|PA|?1≥|AF|?1=(3?1)2+(4?0)2?1=25?1，

當且僅當P在線段AF上時等號成立，

所以|PM|+|PA|的最小值為214.【答案】(?48【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足an=4n+(?1)n?1(n+1)t，

當n≥1時，有an+1?an=4n+1+(?1)n(n+2)t?[4n+(?1)n?1(n+1)t]=4n+1?4n+(?1)n(n+2)t?(?1)n?1(n+1)t=3×4n+t(?1)n(2n+3)，

若數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，則an+1?an=3×4n+t(?1)n15.【答案】an=2n?1

設bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，【解析】解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d(d>1)，

由a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比數(shù)列，

得(d+2)2=1?(7d+2)，即d2?3d+2=0，

而d>1，解得d=2，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n?1)d=2n?1；

證明：(2)設bn=1a16.【答案】32

f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,3)，單調遞減區(qū)間為(3,+∞)【解析】解：(1)已知f(x)=alnx?12x2+12，所以f′(x)=ax?x+52，

曲線f(x)=alnx?12x2+52x點(1,f(1))處的切線與直線3x?y+2=0平行，

所以f′(1)=3，即a1?1+52=3，解得a=32．

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(?x)=32x?x+52=?2x2+5x+32x．

令f′(x)=0，即?2x2+5x+32x=0，又x>0，所以?2x2+5x+3=0，17.【答案】證明：在四棱錐P?ABCD中，取AB中點Q，連接DQ，

因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB/?/CD，AB=4，AD=DC=2，

所以BQ//CD，BQ=CD，則四邊形BCDQ是平行四邊形，

則DQ=BC=2=12AB，△ABD是直角三角形，且AD⊥BD，

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又PA?平面PAD，

所以BD⊥AP【解析】解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，取AB中點Q，連接DQ，

因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB/?/CD，AB=4，AD=DC=2，

所以BQ//CD，BQ=CD，則四邊形BCDQ是平行四邊形，

則DQ=BC=2=12AB，△ABD是直角三角形，且AD⊥BD，

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又PA?平面PAD，

所以BD⊥AP．

(2)取AD的中點O，連接OP，OQ，由(1)知，OQ//BD，OQ⊥平面PAD，

由△PAD為等邊三角形，得PO⊥AD，

則直線OA，OQ，OP兩兩垂直，

以O為原點，直線OA，OQ，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則P(0,0,3)，A(1,0,0)，B(?1,23,0)，C(?2,3,0)，

PA=(1,0,?3)，PB=(?1,23,?3)，PC=(?2,3,?3)，

設平面PBC的一個法向量m=(x,y,z)，

則m?PB=?x+23y?3z=0m?PC=?2x+3y?3z=0，

令y=1，得m=(?3,1,3)，

18.【答案】x216+y24=1

證明：由題意可知，直線AE的斜率顯然存在且不為0，

設直線AE的方程為y=kx+2，

聯(lián)立y=kx+2x216+y24=1，消去y得x[(4k2+1)x+16k]=0，

所以xE=?16k4k2+1，yE=k?(?16k4k2+1)+2=?8k2+24k【解析】解：(1)由題可得ca=324b2=1a2=b2+c2，解得a=4b=2c=23，

所以橢圓C的方程為x216+y24=1；

(2)證明：由題意可知，直線AE的斜率顯然存在且不為0，

設直線AE的方程為y=kx+2，

聯(lián)立y=kx+2x216+y24=1，消去y得x[(4k2+1)x+16k]=0，

所以xE=?16k4k2+1，yE=k?(?16k4k2+1)+2=?8k2+24k2+1，

即E(?16k4k2+1,?8k2+24k2+1)，因為AE⊥AF，

所以同理可得xE=xF=?16?(?1k)4(?1k)2+1=16kk2+4，yF=?8(?1k)2+24(?1k)2+1=2k2