高等數(shù)學線性代數(shù)應用考試題及真題考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學號：__________得分：__________試卷名稱：高等數(shù)學線性代數(shù)應用考試題及真題考核對象：高等院校理工科專業(yè)學生、相關專業(yè)從業(yè)人員題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。2.若向量組線性無關，則其中任意向量都不能由其余向量線性表示。3.齊次線性方程組一定有零解。4.實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)。5.若A為可逆矩陣，則det(A)≠0。6.非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。7.行列式的值等于其任意一行（列）的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和。8.矩陣的轉置運算滿足det(A?)=det(A)。9.若向量組{v?,v?,v?}線性相關，則v?,v?,v?中至少有一個向量可由其余兩個向量線性表示。10.特征向量對應的特征值唯一。二、單選題（每題2分，共20分）1.設A為3階矩陣，若det(A)=5，則det(2A)等于（）。A.10B.20C.40D.802.下列哪個向量組是線性無關的？（）A.{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B.{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)}C.{(1,1,1),(1,2,3),(2,3,4)}D.{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}3.矩陣A的秩為2，則其3階子式（）。A.一定為0B.一定不為0C.可能為0也可能不為0D.無法判斷4.若Ax=0只有零解，則矩陣A的（）。A.秩為0B.秩等于未知數(shù)個數(shù)C.秩小于未知數(shù)個數(shù)D.秩等于0或等于未知數(shù)個數(shù)5.實對稱矩陣A的特征值必為（）。A.虛數(shù)B.有理數(shù)C.實數(shù)D.整數(shù)6.若向量組{v?,v?,v?}線性無關，則向量組{v?+v?,v?+v?,v?+v?}（）。A.線性無關B.線性相關C.無法判斷D.可能線性無關也可能線性相關7.行列式det(A)的值等于其任意一行（列）的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和，這是（）。A.行列式的展開定理B.矩陣乘法定理C.特征值定義D.向量組線性相關性判定8.若A為n階矩陣，且存在非零向量x使Ax=0，則（）。A.A可逆B.A不可逆C.det(A)=0D.det(A)≠09.矩陣的轉置運算滿足det(A?)=det(A)，這是（）。A.行列式的性質(zhì)B.矩陣乘法性質(zhì)C.特征值性質(zhì)D.向量組線性相關性性質(zhì)10.若A為可逆矩陣，則其逆矩陣A?1的秩等于（）。A.0B.1C.A的秩D.A的秩+1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些是矩陣秩的性質(zhì)？（）A.秩等于行向量組的極大無關組個數(shù)B.秩等于列向量組的極大無關組個數(shù)C.秩小于矩陣階數(shù)時，矩陣不可逆D.秩等于0時，矩陣所有元素為0E.秩等于矩陣階數(shù)時，矩陣可逆2.齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是（）。A.系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)個數(shù)B.系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)C.存在非零向量x使Ax=0D.增廣矩陣的秩小于系數(shù)矩陣的秩E.det(A)=03.實對稱矩陣的特征值具有哪些性質(zhì)？（）A.必為實數(shù)B.可以是復數(shù)C.不同特征值對應的特征向量正交D.可以有重根E.對應不同特征值的特征向量線性無關4.矩陣的初等行變換不改變（）。A.矩陣的秩B.矩陣的行列式C.線性方程組的解D.矩陣的轉置E.矩陣的特征值5.下列哪些向量組是線性相關的？（）A.{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)}B.{(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)}C.{(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0)}D.{(1,1,1),(1,2,3),(2,3,5)}E.{(1,2,3),(1,3,4),(2,4,5)}6.行列式det(A)的值等于其任意一行（列）的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和，這是（）。A.行列式的展開定理B.矩陣乘法定理C.特征值定義D.向量組線性相關性判定E.矩陣可逆性判定7.若A為可逆矩陣，則（）。A.det(A)≠0B.A的行向量組線性無關C.A的列向量組線性無關D.A的轉置矩陣A?也可逆E.A的逆矩陣A?1唯一8.非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是（）。A.增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩B.系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)C.存在解向量x使Ax=bD.增廣矩陣的秩小于系數(shù)矩陣的秩E.det(A)≠09.特征值與特征向量的性質(zhì)包括（）。A.特征向量對應的特征值唯一B.不同特征值對應的特征向量線性無關C.特征值可以是零D.特征向量必須是非零向量E.特征值對應的特征向量可以有多組10.矩陣的秩與其子式的關系包括（）。A.秩等于最大非零子式的階數(shù)B.秩小于矩陣階數(shù)時，所有階數(shù)子式均為0C.秩等于矩陣階數(shù)時，矩陣可逆D.秩小于矩陣階數(shù)時，矩陣不可逆E.秩等于0時，矩陣所有元素為0四、案例分析（每題6分，共18分）1.案例：某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品A、B、C，每種產(chǎn)品需要消耗兩種原材料M?和M?，消耗量如下表所示：|產(chǎn)品|M?消耗量|M?消耗量||--------|----------|----------||A|2|1||B|1|2||C|3|1|若工廠每周可供應M?總量為100單位，M?總量為80單位，問每周最多能生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品A、B、C？2.案例：已知矩陣A和向量b如下：A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]b=[1,2,3]求非齊次線性方程組Ax=b的解。3.案例：已知矩陣A的特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3，對應的特征向量分別為v?=[1,0,1]?,v?=[0,1,1]?,v?=[1,1,0]?。求矩陣A。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述矩陣的秩與其線性方程組解的關系，并舉例說明。2.論述實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)及其應用。---標準答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×解析：1.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)，這是行列式秩的定義。2.向量組線性無關的定義即任意向量不能由其余向量線性表示。3.齊次線性方程組Ax=0的解集必包含零向量。4.實對稱矩陣的特征值必為實數(shù)，這是線性代數(shù)的基本定理。5.矩陣可逆的充要條件是det(A)≠0。6.非齊次線性方程組有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。7.行列式的值等于其任意一行（列）的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和，這是行列式展開定理。8.矩陣的轉置運算滿足det(A?)=det(A)，這是行列式的性質(zhì)。9.向量組線性相關的定義即至少有一個向量可由其余向量線性表示。10.特征向量對應的特征值唯一，但不同特征值可以對應相同特征向量（如重根）。二、單選題1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.A8.B9.A10.C解析：1.det(2A)=23det(A)=40。2.A是標準單位向量組，線性無關。B中(2,4,6)=2(1,2,3)，線性相關。C中(3,6,9)=3(1,2,3)，線性相關。D中(1,1,0)+(1,0,1)=(2,1,1)≠0，線性無關。3.秩為2，則所有3階子式均為0。4.Ax=0只有零解，則系數(shù)矩陣行列式非零，秩等于未知數(shù)個數(shù)。5.實對稱矩陣的特征值必為實數(shù)。6.{v?+v?,v?+v?,v?+v?}可表示為[v?,v?,v?]的線性組合，原向量組線性無關則新向量組線性無關。7.這是行列式的展開定理。8.存在非零向量x使Ax=0，則det(A)=0，矩陣不可逆。9.這是行列式的性質(zhì)。10.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。三、多選題1.A,C,E2.A,C,E3.A,C,E4.A,C5.A,B,C6.A7.A,B,C,E8.A,C9.A,B,C,D10.A,C,D解析：1.秩等于行向量組或列向量組的極大無關組個數(shù)，秩等于矩陣階數(shù)時矩陣可逆。2.齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣秩小于未知數(shù)個數(shù)，或存在非零解向量，或det(A)=0。3.實對稱矩陣的特征值必為實數(shù)，不同特征值對應的特征向量正交，可以有重根。4.初等行變換不改變矩陣的秩和線性方程組的解。5.A中存在零向量，B中向量成比例，C中(1,1,0)+(1,1,1)=(2,2,1)≠0，D中(1,1,1)+(1,2,3)=(2,3,4)≠0，E中(1,2,3)+(1,3,4)=(2,5,7)≠0。6.這是行列式的展開定理。7.可逆矩陣det(A)≠0，行向量組線性無關，列向量組線性無關，轉置矩陣也可逆，逆矩陣唯一。8.非齊次線性方程組有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，或存在解向量。9.特征值唯一，不同特征值對應的特征向量線性無關，特征值可以是零，特征向量必須非零。10.秩等于最大非零子式的階數(shù)，秩小于矩陣階數(shù)時所有階數(shù)子式均為0，秩等于矩陣階數(shù)時矩陣可逆。四、案例分析1.解：設每周生產(chǎn)A、B、C的數(shù)量分別為x?、x?、x?，則約束條件為：2x?+x?≤100x?+2x?≤80x?,x?,x?≥0目標函數(shù)為max(x?+x?+x?)。解得x?=20,x?=30,x?=任意值，最大產(chǎn)量為50單位。2.解：(1,2,3)|(1)(4,5,6)|(2)(7,8,9)|(3)化簡后得x?=-1,x?=1,x?=0。3.解：A=[v?,v?,v?][λ?,λ?,λ?]=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]][[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]]=[[1,0,3],[0,2,3],[1,2,0]]五、論述題