土木工程力學(xué)課程重點(diǎn)題解析與練習(xí)土木工程力學(xué)作為土木工程專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，其理論性與實(shí)踐性極強(qiáng)，直接關(guān)系到后續(xù)結(jié)構(gòu)力學(xué)、土力學(xué)、鋼結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)等專業(yè)課程的學(xué)習(xí)效果，乃至未來(lái)工程實(shí)踐中的結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)能力。本文旨在梳理課程中的重點(diǎn)題型，通過(guò)典型例題的深度解析，幫助同學(xué)們鞏固基本概念、掌握解題方法、提升分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。我們將從靜力學(xué)的基礎(chǔ)平衡問(wèn)題入手，逐步過(guò)渡到材料力學(xué)中構(gòu)件的內(nèi)力、應(yīng)力與變形分析，力求每一道例題都能揭示一類問(wèn)題的本質(zhì)，并輔以針對(duì)性的練習(xí)，以期達(dá)到舉一反三的效果。一、靜力學(xué)基礎(chǔ)與物體系統(tǒng)的平衡靜力學(xué)是土木工程力學(xué)的基石，其核心在于研究物體在力系作用下的平衡條件。這部分內(nèi)容不僅是后續(xù)材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的預(yù)備知識(shí)，其本身在工程結(jié)構(gòu)的初步受力分析中也有著廣泛的應(yīng)用。（一）力系的簡(jiǎn)化與平衡方程的應(yīng)用力系的簡(jiǎn)化是為了更清晰地分析物體的受力狀態(tài)，而平衡方程則是解決物體平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。重點(diǎn)在于掌握不同力系（匯交力系、平行力系、一般力系）的簡(jiǎn)化結(jié)果和對(duì)應(yīng)的平衡方程形式，并能熟練應(yīng)用于單個(gè)物體和簡(jiǎn)單物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題求解。例題解析：*題目：試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布荷載和集中力偶作用下的支座反力。梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，均布荷載集度為q，集中力偶矩為M，作用于梁的跨中。*解析：1.取研究對(duì)象與畫(huà)受力圖：以整個(gè)梁為研究對(duì)象。梁受到均布荷載q（可簡(jiǎn)化為作用于梁中點(diǎn)的集中力F=qL）、集中力偶M以及支座A的水平反力XA、豎向反力YA和支座B的豎向反力YB的作用。由于梁在水平方向無(wú)其他外力，故XA=0。2.列平衡方程：*對(duì)A點(diǎn)取矩，由力矩平衡方程ΣMA=0：(qL)(L/2)+M-YB(L)=0。這里需注意力偶矩M的轉(zhuǎn)向，以及均布荷載簡(jiǎn)化后合力的作用點(diǎn)位置。*由豎向力平衡方程ΣY=0：YA+YB-qL=0。3.解方程求未知力：聯(lián)立上述方程，可解得YB=(qL2/2+M)/L=qL/2+M/L，進(jìn)而求得YA=qL-YB=qL/2-M/L。*討論：本題的關(guān)鍵在于正確分析力偶對(duì)平衡方程的影響，力偶在任何軸上的投影都為零，但對(duì)任意點(diǎn)的矩都等于其力偶矩。同時(shí)，均布荷載的簡(jiǎn)化是工程中常見(jiàn)的處理方式，需熟練掌握。（二）物體系統(tǒng)的平衡工程結(jié)構(gòu)往往由多個(gè)物體通過(guò)約束連接而成，求解這類物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對(duì)象（整體或局部），并能正確分析物體間的相互作用力（內(nèi)力，在隔離體受力圖中表現(xiàn)為外力）。例題解析：*題目：圖示三鉸拱由左右兩拱鉸接而成，頂部受集中荷載P作用。不計(jì)拱自重，試求A、B支座的反力及鉸C處的相互作用力。*解析：1.先取整體為研究對(duì)象：整體受到荷載P，以及A、B支座的反力XA、YA、XB、YB。整體受力為平面一般力系，有四個(gè)未知量。*列平衡方程：ΣX=0→XA+XB=0；ΣY=0→YA+YB=P；ΣMA=0→P(a)-YB(2a)=0(設(shè)拱跨度為2a，荷載作用點(diǎn)距A為a)。可解得YB=P/2，YA=P/2，XA=-XB。2.再取左半拱AC為研究對(duì)象：左半拱受到Y(jié)A、XA，鉸C處的力XC、YC。這是一個(gè)平面一般力系，有XC、YC兩個(gè)新未知量。*對(duì)C點(diǎn)取矩ΣMC=0：XA(a)-YA(a)=0(設(shè)拱高為a)。將YA=P/2代入，可得XA=YA=P/2。*進(jìn)而由整體的ΣX=0可知XB=-XA=-P/2。*再對(duì)左半拱列ΣX=0：XA+XC=0→XC=-XA=-P/2；ΣY=0：YA+YC=0→YC=-YA=-P/2。負(fù)號(hào)表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。*討論：對(duì)于物體系統(tǒng)，通常先取整體求出部分未知量，再取單個(gè)物體或部分系統(tǒng)求出其余未知量。選擇合適的矩心可以簡(jiǎn)化計(jì)算，避免解聯(lián)立方程。鉸處的約束力一般為兩個(gè)正交分量。二、材料力學(xué)基礎(chǔ)材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、變形和強(qiáng)度問(wèn)題，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的理論依據(jù)。（一）內(nèi)力分析與內(nèi)力圖構(gòu)件在外力作用下，其內(nèi)部各部分之間會(huì)產(chǎn)生相互作用力，即內(nèi)力。通過(guò)截面法可以求解指定截面上的內(nèi)力（軸力N、剪力V、彎矩M、扭矩T），而內(nèi)力圖則是表示內(nèi)力沿構(gòu)件軸線變化規(guī)律的圖形，是后續(xù)強(qiáng)度和剛度計(jì)算的基礎(chǔ)。例題解析（梁的內(nèi)力圖）：*題目：試?yán)L制圖示簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。梁受均布荷載q作用，跨度為L(zhǎng)。*解析：1.求支座反力：由對(duì)稱性或平衡方程易知，YA=YB=qL/2。2.建立坐標(biāo)系：以梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿梁軸線向右，剪力圖和彎矩圖的縱軸分別為V和M。3.列剪力方程和彎矩方程：在距A端x處取一截面，截面左側(cè)外力有YA和分布荷載q（荷載集度為q，作用長(zhǎng)度為x）。*剪力方程：V(x)=YA-qx=qL/2-qx。*彎矩方程：M(x)=YAx-(qx)(x/2)=(qL/2)x-qx2/2。4.繪制剪力圖和彎矩圖：*剪力圖：V(x)是x的一次函數(shù)，兩端點(diǎn)值分別為V(0)=qL/2，V(L)=-qL/2。剪力圖為一條斜直線，與x軸交點(diǎn)在x=L/2處（剪力為零）。*彎矩圖：M(x)是x的二次函數(shù)，圖形為拋物線。在x=0和x=L處，M=0；在剪力為零處（x=L/2），彎矩取得極值，Mmax=(qL/2)(L/2)-q(L/2)2/2=qL2/8。拋物線開(kāi)口向下。*討論：掌握剪力、彎矩與荷載集度之間的微分關(guān)系（dV/dx=-q，dM/dx=V）對(duì)快速繪制和校核內(nèi)力圖非常有幫助。均布荷載作用區(qū)段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線；無(wú)荷載區(qū)段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；集中力作用處，剪力圖有突變，突變值等于該集中力大小，彎矩圖在該處有折角；集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變值等于該力偶矩大小，剪力圖無(wú)變化。（二）應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指該點(diǎn)在所有不同方位截面上的應(yīng)力情況。對(duì)于復(fù)雜受力狀態(tài)，需運(yùn)用強(qiáng)度理論建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。例題解析：*題目：某構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（已知σx，σy，τxy）。若材料為脆性材料，許用拉應(yīng)力為[σt]，試用第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）建立該點(diǎn)的強(qiáng)度條件。*解析：1.理解應(yīng)力狀態(tài)：題目給出的是平面應(yīng)力狀態(tài)，需要確定該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2、σ3。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)為零（設(shè)σz=0）。2.計(jì)算主應(yīng)力：利用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力計(jì)算公式：σ?,?=[(σx+σy)/2]±√[((σx-σy)/2)2+τxy2]假設(shè)計(jì)算結(jié)果σ?>σ?>0，則三個(gè)主應(yīng)力為σ1、σ2、σ3=0。若σ?為壓應(yīng)力，則σ3取σ?，σ2=0。3.應(yīng)用第一強(qiáng)度理論：第一強(qiáng)度理論認(rèn)為，材料發(fā)生脆性斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到材料的極限拉應(yīng)力。其強(qiáng)度條件為：σr1=σ1≤[σt]，其中σr1為第一強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力，即最大主應(yīng)力σ1。*討論：不同的強(qiáng)度理論適用于不同的材料和破壞形式。對(duì)于脆性材料，通常以斷裂形式破壞，故第一或第二強(qiáng)度理論較為適用；對(duì)于塑性材料，通常以屈服形式破壞，故第三或第四強(qiáng)度理論更為常用。正確判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并選擇合適的強(qiáng)度理論是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。（三）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算工程中的構(gòu)件往往不是只承受單一的基本變形（軸向拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)），而是幾種基本變形的組合。組合變形強(qiáng)度計(jì)算的基本思路是：將組合變形分解為基本變形，分別計(jì)算每種基本變形在危險(xiǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力，然后進(jìn)行應(yīng)力疊加，得到危險(xiǎn)點(diǎn)的總應(yīng)力狀態(tài)，再按強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。例題解析（彎拉組合）：*題目：圖示懸臂梁，自由端受一與梁軸線成θ角的集中力F作用。梁的橫截面為矩形，高h(yuǎn)，寬b。試分析梁的變形形式，并確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，建立強(qiáng)度條件。*解析：1.將外力分解：將力F分解為沿梁軸線方向的分量F?=Fcosθ（引起軸向拉伸）和垂直于梁軸線的分量F?=Fsinθ（引起平面彎曲）。2.確定危險(xiǎn)截面：對(duì)于懸臂梁，固定端截面（x=0處）通常是彎矩和軸力最大的截面，故為危險(xiǎn)截面。3.計(jì)算危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力：*軸力：N=F?=Fcosθ(拉力)。*彎矩：M=F?L=FLsinθ(使梁下側(cè)受拉)。4.分析危險(xiǎn)點(diǎn)位置及應(yīng)力：*軸力N引起均勻分布的拉應(yīng)力：σ_N=N/A=(Fcosθ)/(bh)。*彎矩M引起彎曲正應(yīng)力，沿截面高度線性分布：σ_M=±My/I_z。其中I_z=bh3/12為截面對(duì)中性軸z軸的慣性矩，y為該點(diǎn)到中性軸的距離。*危險(xiǎn)點(diǎn)在固定端截面的上下邊緣處。對(duì)于矩形截面，下邊緣點(diǎn)（y=-h/2）同時(shí)受軸向拉應(yīng)力和彎曲拉應(yīng)力，疊加后應(yīng)力最大：σ_max=σ_N+σ_M_max=(Fcosθ)/(bh)+(FLsinθ)(h/2)/(bh3/12)=(Fcosθ)/(bh)+(6FLsinθ)/(bh2)。5.建立強(qiáng)度條件：對(duì)于塑性材料，通常按第三或第四強(qiáng)度理論，但在此彎拉組合下，危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，故直接用最大拉應(yīng)力校核：σ_max≤[σ]，其中[σ]為材料的許用應(yīng)力。*討論：組合變形問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確的外力分解和內(nèi)力分析，明確每種基本變形對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分布規(guī)律，并能準(zhǔn)確找到危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于有扭矩參與的組合變形（如彎扭組合），危險(xiǎn)點(diǎn)通常處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，需應(yīng)用強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算。三、練習(xí)題為了幫助同學(xué)們更好地鞏固所學(xué)知識(shí)，以下提供幾道不同類型的練習(xí)題，供大家獨(dú)立思考和練習(xí)。1.靜力學(xué)：圖示剛架ABCD，A端固定，D端自由，在B點(diǎn)受水平力F，C點(diǎn)受豎直向下力F。剛架各段長(zhǎng)度均為a，不計(jì)自重。試求A端的約束反力（水平反力、豎向反力和反力偶）。2.內(nèi)力圖：試?yán)L制圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。梁在C點(diǎn)受集中荷載P，AB段受均布荷載q，已知AB=2a，BC=a。3.應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（σx=80MPa，σy=-40MPa，τxy=40MPa）。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主平面方位，并畫(huà)出主應(yīng)力單元體。若材料為鑄鐵，[σt]=30MPa，[σc]=90MPa，校核該點(diǎn)是否安全（提示：鑄鐵屬脆性材料，考慮第一強(qiáng)度理論）。4.組合變形：一圓形截面懸臂桿，直徑為d，長(zhǎng)為L(zhǎng)，自由端受豎直向下的力P和一繞桿軸線的力偶矩T。試寫(xiě)出桿危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的第三強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。練習(xí)題簡(jiǎn)要提示：1.固定端有三個(gè)約束反力（XA,YA,MA）。對(duì)A點(diǎn)取矩時(shí)要考慮所有外力對(duì)A點(diǎn)的矩。2.先求支座反力，再分段列剪力和彎矩方程，注意荷載變化點(diǎn)和支座位置是控制截面。3.直接應(yīng)用主應(yīng)力計(jì)算公式，注意主應(yīng)力的排序。第一強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力為最大拉應(yīng)力σ1。4.危險(xiǎn)截面在固定端，危險(xiǎn)點(diǎn)在截面上下邊緣（彎曲正應(yīng)力最大）且同時(shí)受扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。第三強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力σr3=√(σ2+4τ2)，其中σ為彎曲正應(yīng)力，τ為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。四、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議土木工程力學(xué)的學(xué)習(xí)，核心在于理解基本概念、掌握基本原理和分析方法。無(wú)論是靜力學(xué)中的力系平衡，還是材料力學(xué)中的內(nèi)力、應(yīng)力與變形，都需要在清晰的物理圖像基礎(chǔ)上，輔以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。1.夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解力、力矩、力偶、約束、內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、彈性模量等基本概念，熟練掌握平衡方程、截面法、虎克定律等基本原理。2.勤于思考：對(duì)于每一個(gè)定理和公式，不僅要記住其形式，更要理解其物理意義和適用條件。多問(wèn)“為什么”，培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力。3.多做練習(xí)：通過(guò)大量的習(xí)題練習(xí)，可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，熟悉各種題型的