1/2答題模板16數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一數(shù)列不等式的證明方法二不等式放縮方法三數(shù)列最值方法四參數(shù)求解方法五與三角函數(shù)綜合方法六與概率綜合方法七與導(dǎo)數(shù)綜合方法八與解析綜合第三部分題型專攻實(shí)施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明【題型02】不等式放縮【題型03】數(shù)列最值【題型04】參數(shù)求解【題型05】與三角函數(shù)綜合【題型06】與概率綜合【題型07】與導(dǎo)數(shù)綜合【題型08】與解析綜合【題型09】數(shù)列新定義第四部分答題實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價(jià)值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價(jià)值）數(shù)列綜合大題是考查數(shù)學(xué)高階思維與核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。試題超越基礎(chǔ)公式，將數(shù)列與不等式證明、放縮技巧、最值及參數(shù)求解深度融合，并廣泛與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何交叉，或設(shè)置“新定義”情境。它從數(shù)列作為離散函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，通過代數(shù)變形、數(shù)學(xué)歸納、導(dǎo)數(shù)工具等方法解決問題，全面考查邏輯推理、運(yùn)算求解及跨模塊整合能力。核心考查四大方向：數(shù)列與不等式：證明、放縮求和、求最值或參數(shù)范圍，需掌握裂項(xiàng)、等比等放縮技巧及數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)列與其他知識(shí)交叉：與三角、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何結(jié)合，檢驗(yàn)知識(shí)聯(lián)系與遷移能力。數(shù)列新定義問題：理解新概念并探究性質(zhì)、求解，考查抽象素養(yǎng)與學(xué)習(xí)遷移能力。極限與收斂性（以探究為主）：借助單調(diào)有界性討論極限存在與求解。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）數(shù)列特性把握不足：不善于從遞推關(guān)系求通項(xiàng)，忽略單調(diào)性、有界性等性質(zhì)的應(yīng)用。放縮技巧生硬：放縮“度”控制不當(dāng)，盲目套用公式，缺乏目標(biāo)導(dǎo)向的配湊能力。跨知識(shí)整合弱：難以建立數(shù)列與三角、概率、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的有效聯(lián)系。畏懼新定義：信息提取與轉(zhuǎn)化能力不足，無法將新定義化為已知模型。運(yùn)算能力欠缺：復(fù)雜運(yùn)算、遞推、變形過程中易出錯(cuò)。缺乏探究意識(shí)：不善于從特殊項(xiàng)入手猜測(cè)規(guī)律并證明。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識(shí)體系：熟記數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點(diǎn)。2.通用解法模板化：針對(duì)高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗(yàn)證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計(jì)針對(duì)性訓(xùn)練題，通過對(duì)比正確與錯(cuò)誤解法，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)邊界的理解，避免重復(fù)犯錯(cuò)。結(jié)論背記一、二級(jí)結(jié)論1.數(shù)列放縮（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對(duì)于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。（4）可推廣為：技法歸納方法一數(shù)列不等式的證明數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題1（2025·遼寧沈陽·三模）已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．例題2（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項(xiàng)和；②證明：．例題3（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，為的前項(xiàng)之積，求證：．例題4（2025·天津南開·一模）已知公差大于0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是的等比中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．方法二不等式放縮放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過多角度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題5（2025·河南·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，求證：.方法三數(shù)列最值例題6（2025·山東·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使得成立的的最大值；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題7（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的最大值．方法四參數(shù)求解對(duì)于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問題,對(duì)于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題8（2025·河南·一模）數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的最小正整數(shù)的值例題9（2025·四川達(dá)州·一模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例題10（2025·寧夏·一模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．方法五與三角函數(shù)綜合數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)例題11（2025·陜西西安·一模）將函數(shù)的零點(diǎn)按照從小到大的順序排列，得到數(shù)列，且.(1)求；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，并說明在上的單調(diào)性；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.方法六與概率綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題12（2025·四川成都·二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進(jìn)行，只有答完一輪才能進(jìn)入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯(cuò)，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機(jī)地派出一道通識(shí)題或?qū)ＷR(shí)題，派出通識(shí)題的概率為，派出專識(shí)題的概率為.已知某選手答對(duì)通識(shí)題與專識(shí)題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.(1)求該選手在一輪答題中答對(duì)題目的概率；(2)記該選手在第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.例題13（2025·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到禮券，最多進(jìn)行19輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的期望；(2)若累計(jì)得分為的概率為，（初始得分為0分，）.①證明數(shù)列，，，，是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到禮券的概率.例題14（2025·江蘇·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B兩種套餐，員工小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為.(1)食堂對(duì)A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改善后，對(duì)員工對(duì)于A套餐的滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了120名員工的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計(jì)滿意204060不滿意303060合計(jì)5070120根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜，種品類的葷菜，員工小李從這些菜品中選擇3種菜品，記選擇素菜的種數(shù)為X，求的最大值，并求此時(shí)n的值；(3)設(shè)員工小李第n天選擇B套餐的概率為，求.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828方法七與導(dǎo)數(shù)綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題15（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．(1)若，求；(2)若，求的通項(xiàng)公式；(3)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，證明：．例題16（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.例題17（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．方法八與解析綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題18（2025·浙江·一模）已知漸近線為的雙曲線過點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于異于的點(diǎn)，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.例題19（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，按照如下方式構(gòu)造點(diǎn)，設(shè)直線為拋物線C在點(diǎn)處的切線，過點(diǎn)作的垂線交拋物線C于另一點(diǎn)，記的坐標(biāo)為．（ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（ⅱ）設(shè)的面積為，證明：．模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動(dòng)態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點(diǎn)。2.按題型進(jìn)行系統(tǒng)分類與專項(xiàng)訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明（共7題）1．（2025·吉林長春·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．2．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．3．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.4．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．5．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記的零點(diǎn)為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)；(3)證明：.6．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，對(duì)于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．7．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．【題型02】不等式放縮（共3題）8．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.9．（2024·上海靜安·一模）如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.10．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)證明：．【題型03】數(shù)列最值（共4題）11．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求使取得最大值時(shí)的的值.12．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和，(3)求的最大值和最小值．13．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.14．（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【題型04】參數(shù)求解（共7題）15．（2025·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求證：為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求；②若，求的取值范圍.16．（2025·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，滿足，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，若數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)已知，記，求.(3)在（2）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.19．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為7，且，數(shù)列滿足，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意，恒成立，求出與實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.若，且數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【題型05】與三角函數(shù)綜合（共3題）22．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.23．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.24．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．(1)寫出的前6項(xiàng)；(2)記的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【題型06】與概率綜合（共6題）25．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩人參加單位組織的知識(shí)答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各答一個(gè)題，已知甲、乙第一輪答對(duì)的概率都為．甲如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為；乙如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲乙答對(duì)與否互不影響．(1)若前兩輪活動(dòng)中第二輪甲乙都答對(duì)求兩人第一輪也都答對(duì)的概率；(2)求證：，甲在第輪答對(duì)的概率為定值；26．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）3位同學(xué)做某種游戲，通過猜拳決定勝利者.3人每次猜拳都可以出“石頭”“剪刀”“布”中的任意一種，其中“石頭”贏“剪刀”，“剪刀”贏“布”，“布”贏“石頭”.例如，當(dāng)1人出“剪刀”，另外2人出“布”時(shí)，出“剪刀”的人即為勝利者；而當(dāng)1人出“剪刀”，另外2人分別出“布”和“石頭”時(shí)，無法決定勝利者，猜拳繼續(xù)進(jìn)行；當(dāng)1人出“剪刀”，另外2人出“石頭”時(shí)，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2人繼續(xù)猜拳，贏的人為勝利者.(1)記第一回猜拳時(shí)出“石頭”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)求在第回猜拳決出勝利者的概率.27．（2025·湖北·三模）甲乙兩人參加單位組織的知識(shí)答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各答一個(gè)題，已知甲、乙第一輪答對(duì)的概率都為.甲如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為；乙如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲乙答對(duì)與否互不影響.(1)若前兩輪活動(dòng)中第二輪甲乙都答對(duì)，求兩人第一輪也都答對(duì)的概率；(2)如果在每一輪活動(dòng)中至少有一人答對(duì)，游戲就可以一直進(jìn)行下去，直到他們都答錯(cuò)為止.設(shè)停止游戲時(shí)進(jìn)行了輪游戲，求證：.28．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）2023年華為盤古氣象大模型實(shí)現(xiàn)秒級(jí)預(yù)測(cè)全球天氣，突破了傳統(tǒng)NWP算力瓶頸，代表了AI在科學(xué)計(jì)算（AI

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Science）的重要突破，推動(dòng)了全球氣象行業(yè)的智能化升級(jí).未來天氣預(yù)報(bào)或?qū)⑦M(jìn)入“分鐘級(jí)、街道級(jí)”的精準(zhǔn)時(shí)代.現(xiàn)某城市根據(jù)氣象數(shù)據(jù)有兩種天氣狀態(tài)：晴天（S）和雨天（R），變化規(guī)律預(yù)測(cè)如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率會(huì)下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率會(huì)轉(zhuǎn)晴.假設(shè)今天天氣是晴天，回答以下問題：(1)從明天開始接下來的三天中，天氣是晴天的天數(shù)用隨機(jī)變量X表示，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)長期來看，晴天和雨天的概率分布會(huì)趨于穩(wěn)定，從今天算起第n天預(yù)測(cè)是晴天的概率用表示，求的表達(dá)式及趨于的穩(wěn)定值.29．（2025·重慶·一模）在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來比賽規(guī)則如下:兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是實(shí)力的較量，也是心態(tài)的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為.(1)求甲以的比分贏得比賽的概率;(2)若要使甲運(yùn)動(dòng)員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6，求的范圍;(3)若，設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員在第球比賽中獲勝的概率為，數(shù)列滿足，求證:.（參考知識(shí):當(dāng)時(shí)，若，則.）30．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)為回饋廣大顧客，開展消費(fèi)抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱里裝有5個(gè)除顏色外其他都相同的小球，其中3個(gè)黑球和2個(gè)紅球，取球結(jié)果2個(gè)紅球2個(gè)黑球紅?黑球各1個(gè)獎(jiǎng)金300元200元100元(1)消費(fèi)每滿2000元可參與一次抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)?lì)櫩鸵淮涡詮某楠?jiǎng)箱中隨機(jī)抽取2個(gè)小球，按照表格領(lǐng)取獎(jiǎng)金，求顧客抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金的期望；(2)若該商場(chǎng)對(duì)消費(fèi)不足2000元的部分顧客設(shè)置二個(gè)幸運(yùn)抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，第一個(gè)抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩统楠?jiǎng)前，抽獎(jiǎng)箱里仍然是3個(gè)黑球和2個(gè)紅球，每位抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩蛷闹须S機(jī)抽取1個(gè)小球，若取出黑球，則放回小盒中，無獎(jiǎng)勵(lì)；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，獎(jiǎng)勵(lì)幸運(yùn)禮品一份；下一位抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩驮谇耙晃怀楠?jiǎng)后的箱中繼續(xù)抽獎(jiǎng)，直至紅球取完為止.設(shè)“第個(gè)抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩瞳@得第1份幸運(yùn)禮品”記為事件，設(shè)“第個(gè)抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩瞳@得第2份幸運(yùn)禮品”記為事件.（i）求和；（ii）求第位抽幸運(yùn)獎(jiǎng)?lì)櫩颓『毛@得第2份幸運(yùn)禮品的概率.【題型07】與導(dǎo)數(shù)綜合（共7題）31．（2025·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意的，均有；(3)證明：對(duì)任意的，均有.32．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為0(1)求實(shí)數(shù)的值：(2)對(duì)任意的，數(shù)列滿足，且，證明：當(dāng)大于1時(shí)，也大于1：(3)在（2）的條件下，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：33．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意，恒有.（i）求的取值范圍;（ii）證明:對(duì)任意的正整數(shù)，.34．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)當(dāng)時(shí)，分別求的值，并猜想此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式（直接寫結(jié)論）；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，求的最大值.35．（2025·安徽·一模）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：；(2)若函數(shù)，請(qǐng)判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.36．（2025·天津紅橋·二模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)證明:恒成立；(3)證明:37．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，記，若滿足，則稱是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其中，例如．(1)判斷函數(shù)是否為上的“可控函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，且的最大值為．（i）求函數(shù)的解析式；（ii）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：．【題型08】與解析綜合（共7題）38．（2025·陜西渭南·一模）已知雙曲線．點(diǎn)在上．按如下方式構(gòu)造點(diǎn)．過點(diǎn)作斜率為的直線與的下支交于點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．記點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求的值：(2)記．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記的面積為．證明：是定值．39．（24-25高三上·山東威海·期末）已知拋物線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，過且斜率為的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.記的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：為定值.40．（2025·江西贛州·二模）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，M的軌跡為C．點(diǎn)在C上，過作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱，過作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于x軸對(duì)稱，……，以此類推，設(shè)．(1)求C的方程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：；(3)求的面積．41．（2025·安徽·三模）記拋物線的焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為1的直線l，l與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，直線與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，以此類推，記直線的斜率為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明：是遞減數(shù)列；(3)記的面積為，證明：．42．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率.(1)若橢圓過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線均過點(diǎn)且互相垂直，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.43．（2025·四川·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交雙曲線于、兩點(diǎn)，交雙曲線于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線過定點(diǎn)；再過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交雙曲線于、兩點(diǎn)，交雙曲線于、兩點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，以這樣的方式構(gòu)造下去，可以得到一列定點(diǎn)、、、、．(1)求雙曲線的方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若、，記的面積為，證明：．44．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，（，），當(dāng)變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱為“2~1橢圓群”.

(1)若“2~1橢圓群”中的兩個(gè)橢圓、，對(duì)應(yīng)的分別為、（），如圖所示，若直線能與橢圓、依次交于，，，四點(diǎn)，證明：；(2)當(dāng)（）時(shí)，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為，設(shè).（i）求證：為等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；（ii）令數(shù)列，求證.【題型09】數(shù)列新定義（共6題）45．（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原先后順序不變得到新數(shù)列．若，，進(jìn)行操作后剩余項(xiàng)組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．46．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）對(duì)于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列．(1)已知，證明：的差分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列；(2)已知的差分?jǐn)?shù)列為，求的通項(xiàng)公式．47．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.則稱數(shù)列為和積交替數(shù)列.(1)若數(shù)列1，a，b，6為和積交替數(shù)列，分別求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若數(shù)列為和積交替數(shù)列，且，.（i）若3是數(shù)列中的項(xiàng)，求實(shí)數(shù)的值；（ii）若，證明：.48．（24-25高二下·江西南昌·期中）對(duì)于數(shù)列且，則稱數(shù)列為的“四分差數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“四分差數(shù)列”．(1)若，求的值．(2)設(shè)．①求的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列滿足，且的前n項(xiàng)和為，證明：．49．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）我們把公差不為0的等差數(shù)列稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列是“二階等差數(shù)列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差值：2，4，6，8，10，…，這些差值構(gòu)成的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則稱數(shù)列1，3，7，13，21，31….為“二階等差數(shù)列”.(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“二階等差數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列為“二階等差數(shù)列”，且，對(duì)應(yīng)的“一階等差數(shù)列”首項(xiàng)為1，公差為3，求；50．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意的，為數(shù)列中小于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列是的“生成數(shù)列”.(1)分別寫出數(shù)列1，0，3，4及，，2，的“生成數(shù)列”的前4項(xiàng)；(2)若數(shù)列滿足，且的“生成數(shù)列”為，求；(3)若為等比數(shù)列，且，公比，的“生成數(shù)列”為，的“生成數(shù)列”為，求.模塊說明：模塊說明：答題強(qiáng)化訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)能力躍遷。模塊題量適中，全部選用最新高考真題與高質(zhì)量模擬題，側(cè)重對(duì)方法模型的直接應(yīng)用與鞏固。題量12題1．（23-24高三上·黑龍江·月考）已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：．2．（24-25高三下·山東聊城·月考）已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且的前項(xiàng)和為，求證：.3．（2025·全國一卷·高考真題）已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)給定正整數(shù)m，設(shè)函數(shù)，求．4．（23-24高二下·吉林長春·月考）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)之和，數(shù)列的前項(xiàng)之積，且．(1)求證：為等差數(shù)列，并分別求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（2025·浙江嘉興·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.7．（24-25高三上·遼寧·月考）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列是首項(xiàng)為1的遞增數(shù)列，若．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)證明：；(3)求使得成立的最大整數(shù)．8．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)任意，，，數(shù)列的第項(xiàng)都等于數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為數(shù)列的“分段反序數(shù)列”.已知數(shù)列的“分段反序數(shù)列”為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)若，求，的值；(2)若，求；(3)若，證明：數(shù)列為常數(shù)列.9．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對(duì)任意，都有；(3)若數(shù)列滿足，證明：.10．（2025·遼寧遼陽·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)；過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)……；依此類推得到點(diǎn)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；11．（2025·貴州黔南·三模）在這個(gè)科技飛速發(fā)展的時(shí)代，機(jī)器人和AI已應(yīng)用到國防軍事方面，在2024年的珠海航展上，中國“機(jī)器狗”升級(jí)成“機(jī)器狼”閃耀亮相，具備偵察、戰(zhàn)斗和綜合保障等功能，展現(xiàn)中國四足機(jī)器人技術(shù)進(jìn)步，引發(fā)國內(nèi)外關(guān)注.升級(jí)后的“機(jī)器狼”相比之前的“機(jī)器狗”有一特殊之處，無論是在平地上還是臺(tái)階上，“機(jī)器狼”的行進(jìn)速度都相當(dāng)之快，動(dòng)作靈敏.為了展示“機(jī)器狼”上臺(tái)階的性能，在一個(gè)有步的臺(tái)階上，假設(shè)“機(jī)器狼”每次只能上一步或兩步臺(tái)階，且每次上一步或兩步臺(tái)階是隨機(jī)的；記每次上一步臺(tái)階的概率為，上兩步臺(tái)階的概率為；且每次上一步臺(tái)階用時(shí)，上兩步臺(tái)階用時(shí).(1)假設(shè)，“機(jī)器狼”上完這個(gè)臺(tái)階用時(shí)最少為多少秒?(2)若“機(jī)器狼”走3次后從地面到達(dá)第5步臺(tái)階的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求“機(jī)器狼”從地面上到第7步臺(tái)階用時(shí)最少的概率.(3)若，記“機(jī)器狼”從地面上到第步臺(tái)階的概率為，其中，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.12．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．

答題模板16數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一數(shù)列不等式的證明方法二不等式放縮方法三數(shù)列最值方法四參數(shù)求解方法五與三角函數(shù)綜合方法六與概率綜合方法七與導(dǎo)數(shù)綜合方法八與解析綜合第三部分題型專攻實(shí)施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明【題型02】不等式放縮【題型03】數(shù)列最值【題型04】參數(shù)求解【題型05】與三角函數(shù)綜合【題型06】與概率綜合【題型07】與導(dǎo)數(shù)綜合【題型08】與解析綜合【題型09】數(shù)列新定義第四部分答題實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價(jià)值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價(jià)值）數(shù)列綜合大題是考查數(shù)學(xué)高階思維與核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。試題超越基礎(chǔ)公式，將數(shù)列與不等式證明、放縮技巧、最值及參數(shù)求解深度融合，并廣泛與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何交叉，或設(shè)置“新定義”情境。它從數(shù)列作為離散函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)，綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，通過代數(shù)變形、數(shù)學(xué)歸納、導(dǎo)數(shù)工具等方法解決問題，全面考查邏輯推理、運(yùn)算求解及跨模塊整合能力。核心考查四大方向：數(shù)列與不等式：證明、放縮求和、求最值或參數(shù)范圍，需掌握裂項(xiàng)、等比等放縮技巧及數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)列與其他知識(shí)交叉：與三角、概率、導(dǎo)數(shù)、解析幾何結(jié)合，檢驗(yàn)知識(shí)聯(lián)系與遷移能力。數(shù)列新定義問題：理解新概念并探究性質(zhì)、求解，考查抽象素養(yǎng)與學(xué)習(xí)遷移能力。極限與收斂性（以探究為主）：借助單調(diào)有界性討論極限存在與求解。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）數(shù)列特性把握不足：不善于從遞推關(guān)系求通項(xiàng)，忽略單調(diào)性、有界性等性質(zhì)的應(yīng)用。放縮技巧生硬：放縮“度”控制不當(dāng)，盲目套用公式，缺乏目標(biāo)導(dǎo)向的配湊能力?？缰R(shí)整合弱：難以建立數(shù)列與三角、概率、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的有效聯(lián)系。畏懼新定義：信息提取與轉(zhuǎn)化能力不足，無法將新定義化為已知模型。運(yùn)算能力欠缺：復(fù)雜運(yùn)算、遞推、變形過程中易出錯(cuò)。缺乏探究意識(shí)：不善于從特殊項(xiàng)入手猜測(cè)規(guī)律并證明。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識(shí)體系：熟記數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、數(shù)列最值、參數(shù)求解、與三角函數(shù)、概率、導(dǎo)數(shù)、解析綜合、數(shù)列新定義）的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點(diǎn)。2.通用解法模板化：針對(duì)高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗(yàn)證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計(jì)針對(duì)性訓(xùn)練題，通過對(duì)比正確與錯(cuò)誤解法，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)邊界的理解，避免重復(fù)犯錯(cuò)。結(jié)論背記一、二級(jí)結(jié)論1.數(shù)列放縮（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對(duì)于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。（4）可推廣為：技法歸納方法一數(shù)列不等式的證明數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題1（2025·遼寧沈陽·三模）已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出數(shù)列的公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和法求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以，故.（2）因?yàn)椋裕试坏仁匠闪?例題2（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項(xiàng)和；②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可得，對(duì)于取，即可求出、，從而求出通項(xiàng)公式；（2）①首先求出，即可得到，從而求出其前20項(xiàng)和；②由，分及兩種情況討論，當(dāng)時(shí)利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，取，得，即，解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，因?yàn)椋?，所以的?0項(xiàng)和為；②證明：因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得.例題3（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，為的前項(xiàng)之積，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知可得，且，由等差數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而得到，可得，累加即可證.【詳解】（1）由，又由題意知，，左右同時(shí)除以得，所以，則，故是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，可得；（2）令函數(shù)，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，，即，取，則，于是，由（1）知，,，所以.例題4（2025·天津南開·一模）已知公差大于0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是的等比中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．【答案】(1)；(2)（i）5；（ii）證明見解析..【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的性質(zhì)、通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式及；（2）（i）根據(jù)已知得，即得，應(yīng)用等差、等比前n項(xiàng)和公式及分組求和得，再由能成立求的最大值；（ii）由（i）得，判斷其單調(diào)性即可得，應(yīng)用基本不等式及放縮有，應(yīng)用錯(cuò)位相減法求右側(cè)的前n項(xiàng)和，即可證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，即①，，即②，將①代入②得，因?yàn)?，解得，所以．?）（i）令，即，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為所以．又，所以．由，得，因?yàn)?，所以的最大值?．（ii）由（i）知，則，所以．設(shè)①，則②，①②得，所以．因?yàn)椋裕C上，．方法二不等式放縮放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過多角度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題5（2025·河南·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知等式變形得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，推導(dǎo)出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得不等式成立.【詳解】（1）由題設(shè)條件，可得若，則，用反證法，假設(shè)，由題設(shè)條件，顯然，這與已知條件矛盾，所以.因?yàn)?，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首?xiàng)、公比均為的等比數(shù)列.所以，則.（2）顯然時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即，所以，所以.綜上，，得證.方法三數(shù)列最值例題6（2025·山東·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使得成立的的最大值；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)45(3)【分析】（1）利用時(shí)結(jié)合已知等式得首項(xiàng)，再由代入等式，轉(zhuǎn)化得到是等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng).（2）由求出，再通過與的前項(xiàng)和關(guān)系得到的分段表達(dá)式，分和討論的不等式，求解的最大值.（3）寫出的分段形式，時(shí)對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)相消拆分，再分和計(jì)算前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，在中令，?所以當(dāng)時(shí)，由及，得，所以.又，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列..所以.（2）由（1）知（）.當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，則（）.當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有，所以，又，所以的最大值為45.（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，上式也符合，所以.例題7（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）利用即可求解；（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）∵①，∴②，①-②得：，，②中令n＝2，則，∴，為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知：，則，所以所以當(dāng)時(shí)，有最大值.方法四參數(shù)求解對(duì)于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問題,對(duì)于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例題8（2025·河南·一模）數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的最小正整數(shù)的值【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知得，再應(yīng)用作差法及等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)（1）得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)不等式能成立求參數(shù)值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列，則，由，得，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以滿足題意的最小正整數(shù).例題9（2025·四川達(dá)州·一模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出.（2）先求出，然后求出并化簡(jiǎn)，進(jìn)而求解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?所以，解得.所以.（2）.所以.因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，則有對(duì)任意恒成立，又，所以.例題10（2025·寧夏·一模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）等式兩邊同時(shí)除以可得；（2）（ii）由錯(cuò)位相減法求和即可；（ii）構(gòu)造數(shù)列，由不等式組求數(shù)列的最值大即可.【詳解】（1）因?yàn)椋矗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因?yàn)?，所以，令，不妨設(shè)的第項(xiàng)取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.方法五與三角函數(shù)綜合數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)例題11（2025·陜西西安·一模）將函數(shù)的零點(diǎn)按照從小到大的順序排列，得到數(shù)列，且.(1)求；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，并說明在上的單調(diào)性；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）解方程，結(jié)合求解；（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）說明是等差數(shù)列，根據(jù)求和公式求解.【詳解】（1）由，得，所以或，解得或，因?yàn)榍?，所以時(shí)，或，解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，不合題意，所以.（2）由（1），由，得，因?yàn)椋詥握{(diào)增區(qū)間為，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，由或，得或，又，所以的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以方法六與概率綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題12（2025·四川成都·二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進(jìn)行，只有答完一輪才能進(jìn)入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯(cuò)，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機(jī)地派出一道通識(shí)題或?qū)ＷR(shí)題，派出通識(shí)題的概率為，派出專識(shí)題的概率為.已知某選手答對(duì)通識(shí)題與專識(shí)題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.(1)求該選手在一輪答題中答對(duì)題目的概率；(2)記該選手在第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算得解.（2）（i）將第3輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止的事件進(jìn)行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互獨(dú)立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出遞推公式，再利用構(gòu)造法求解得證.【詳解】（1）設(shè)事件“一輪答題中系統(tǒng)派出通識(shí)題”，事件“該選手在一輪答題中答對(duì)”，依題意，，，因此，所以該選手在一輪答題中答對(duì)題目的概率為.（2）（i）設(shè)事件“該選手在第輪答對(duì)題目”，各輪答題正確與否相互獨(dú)立，由（1）知，，當(dāng)時(shí)，挑戰(zhàn)顯然不會(huì)終止，即，當(dāng)時(shí)，則第1、2輪至少答對(duì)一輪，，由概率加法公式得；同理.（ii）設(shè)事件“第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止”，當(dāng)時(shí)，第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止的情況有兩種：①第輪答對(duì)，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止；②第輪答錯(cuò)，且第輪答對(duì)，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止，因此第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止的事件可表示為，則，而各輪答題正確與否相互獨(dú)立，因此，當(dāng)時(shí)，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，整理得，而，則，解得或，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以存在實(shí)數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.例題13（2025·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到禮券，最多進(jìn)行19輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的期望；(2)若累計(jì)得分為的概率為，（初始得分為0分，）.①證明數(shù)列，，，，是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到禮券的概率.【答案】(1)(2)①證明見解析，②【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完輪游戲時(shí)，得分的次數(shù)為，所以，，即可求出的期望.（2）①根據(jù)累計(jì)得分為分的概率為，分兩種情況討論，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法求證即可；②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法可求出，再由從而求解即可.【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得分的概率為，獲得分的概率為，設(shè)進(jìn)行完輪游戲時(shí)，得分的次數(shù)為，所以，所以，，，，，而，所以隨機(jī)變量的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為：所以.（2）①證明：，即累計(jì)得分為分，是第一次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為分的情況有兩種：（i），即累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過點(diǎn)，其概率為，（ii）累計(jì)得分為分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過點(diǎn)，得分，其概率為，所以，所以，，，，，所以，，，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.②因?yàn)閿?shù)列，，，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，各式相加，得，所以，，，，，所以活動(dòng)參與者得到禮券的概率為：.例題14（2025·江蘇·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B兩種套餐，員工小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)選擇一種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為.(1)食堂對(duì)A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進(jìn)行了改善后，對(duì)員工對(duì)于A套餐的滿意程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了120名員工的數(shù)據(jù)，如下表（單位：人）套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計(jì)滿意204060不滿意303060合計(jì)5070120根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜，種品類的葷菜，員工小李從這些菜品中選擇3種菜品，記選擇素菜的種數(shù)為X，求的最大值，并求此時(shí)n的值；(3)設(shè)員工小李第n天選擇B套餐的概率為，求.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系(2)，或(3)【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出的觀測(cè)值，再與臨界值作對(duì)比即可判斷；（2）利用古典概率模型、結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題求出的表達(dá)式，構(gòu)造數(shù)列并判斷單調(diào)性求出最大值；（3）根據(jù)題干信息求出與的關(guān)系，再利用構(gòu)造法求出通項(xiàng).【詳解】（1）零假設(shè)：認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即接受，因此認(rèn)為員工對(duì)于A套餐的滿意程度與套餐的改善沒有關(guān)系.（2）依題意，，令，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，于是，所以的最大值為，此時(shí)或.（3）由員工小李第n天選擇B套餐的概率為，則員工小李第n天選擇A套餐的概率為，因此，而，，又，因此，所以.方法七與導(dǎo)數(shù)綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題15（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．(1)若，求；(2)若，求的通項(xiàng)公式；(3)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式以及附加條件求出，再結(jié)合遞推公式即可求解.（2）令，可得，結(jié)合二倍角公式可引入新數(shù)列，，求得的值，并說明唯一即可求解.（3）將原不等式轉(zhuǎn)換為，先證明，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，從而即可放縮，再證明，根據(jù)三角函數(shù)的有界性放縮即可得證.【詳解】（1）由題，，且，又，代入，解得，所以，，，故．（2）令，則有，即，又，則，此時(shí)不妨令，則，則有，即討論周期性對(duì)唯一性的影響：不妨令，則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意；此時(shí)，同理，唯一，即唯一．即，故．（3）由若，且，則，聯(lián)立解得，原不等式可轉(zhuǎn)化為，先證明：由，，由（2）可推，則，令函數(shù)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，則，故，又因?yàn)椋?，證明：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，由此即可順利得解.例題16（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.【答案】(1)兩個(gè)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）先利用必要性探路得到，再去證明的充分性；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對(duì)進(jìn)行放縮，再放縮求和即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn).（2）由，得，下證當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.（3）證明：由（2）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以且因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，所以即.例題17（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間(2)(3)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，由此確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合關(guān)系，，得出在上恒成立的必要條件為，再證明時(shí)，在恒成立，時(shí)不滿足條件，可得結(jié)論；（3）由（2）可建立關(guān)系式，令可得，取累加得證．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑒t，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間．（2）因?yàn)椋?，所以要使?dāng)時(shí)，，必須滿足，即．下面證明滿足題意：①當(dāng)時(shí)，由，．令，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）由（2）知，當(dāng)，時(shí)，，即，所以．令，則，，所以令，則，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三小問解決的關(guān)鍵在于找到不等式與函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系.方法八與解析綜合構(gòu)建齊次式型是離心率問題中最常見、最重要的一類解題方式。若題目條件（如角度、垂直、向量數(shù)量例題18（2025·浙江·一模）已知漸近線為的雙曲線過點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于異于的點(diǎn)，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）雙曲線的方程為代入計(jì)算得解；（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標(biāo).求出，計(jì)算，代入得解；（3）將利用放縮法得到，利用裂項(xiàng)相消求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入得，故雙曲線的方程為.（2）聯(lián)立方程與，解得的橫坐標(biāo).因?yàn)?，故，所?（3）因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)成立.故.

例題19（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，按照如下方式構(gòu)造點(diǎn)，設(shè)直線為拋物線C在點(diǎn)處的切線，過點(diǎn)作的垂線交拋物線C于另一點(diǎn)，記的坐標(biāo)為．（?。┳C明：當(dāng)時(shí)，；（ⅱ）設(shè)的面積為，證明：．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析

（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)及題意即可求解；（2）由題意求出直線，與拋物線聯(lián)立進(jìn)而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可得其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得與的不等關(guān)系，用累加法求解即可證明；（3）求出點(diǎn)F到直線的距離，求出弦長，進(jìn)而可得的面積，結(jié)合可得，用放縮的方法求即可求解.【詳解】（1）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，所以，所以，解得，所以C的方程為；（2）（?。┰O(shè)，因?yàn)椋渣c(diǎn)處的切線斜率為，所以直線斜率為，所以直線，與聯(lián)立可得，，可得，即的橫坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，有，又由，故，所以；（ⅱ）易知直線，F(xiàn)到直線的距離為，，所以，因?yàn)?，由?）知，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動(dòng)態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點(diǎn)。2.按題型進(jìn)行系統(tǒng)分類與專項(xiàng)訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧?！绢}型01】數(shù)列不等式的證明（共7題）1．（2025·吉林長春·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)判斷是否為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)遞增的等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列．設(shè)，證明：．【答案】(1)不是等比數(shù)列，且(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可得出結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于的方程，解出的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證得所證不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)椋覍?duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，即，所以，又因?yàn)?，故?shù)列不是等比數(shù)列，且該數(shù)列是從第項(xiàng)開始成公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，即，綜上所述，.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，且，，，，所以，，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以，故原不等式得證.2．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的關(guān)系，可得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的概念，可得答案；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，可得答案.【詳解】（1）由題意可得，所以因?yàn)?，所以，即，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.（2）所以3．（2025·安徽·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.(1)求和；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，再利用待定系數(shù)法解得，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求．（2）方法一：由題意得，再根據(jù)累乘法得到，方法二：構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列為常數(shù)列即可求解；（3）由題意得，先證，再累加即可證得．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述：.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．4．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分析可知，對(duì)任意的，且，可得出，變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證得結(jié)論成立；（2）利用（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，分、兩種情況，由結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；（3）由不等式的性質(zhì)得出，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，可得出，由結(jié)合不等式的傳遞性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，且，可得，由，得，可得，由，得，可得，，以此類推可知，對(duì)任意的，且，所以，所以，可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.（2）由（1）可得，所以，故，易知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，對(duì)任意的，，綜上所述，.（3）因?yàn)?，所以，令①，可得②，①②得，所以，故，故?duì)任意的，.5．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記的零點(diǎn)為.(1)求；(2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)；(3)證明：.【答案】(1)1(2)(3)證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，確定單調(diào)性即可求解；（2）由通過作差得到，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性，確定數(shù)列單調(diào)性即可求解；（3）令，求導(dǎo)確定單調(diào)性，得到，再通過，分別令和，即可證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)1，即；（2）由的零點(diǎn)為，得，兩式相減得：，即，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得到，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)是；（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)椋?所以，所以，所以在中，令，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，中等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，在中，令，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，所以，綜上得證.6．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，對(duì)于，，，成等差數(shù)列，其公差為．(1)判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由；(2)證明：，，成等比數(shù)列；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)成等比數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，和，依次求出，利用等比數(shù)列定義判斷即可；（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，即可利用累加法求出，從而可得，，，再利用等比數(shù)列定義判斷即可；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，利用放縮法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，成公差為1的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時(shí)，成公差為2的等差數(shù)列，則，；當(dāng)時(shí)，成公差為3的等差數(shù)列，則．所以，，從而，故成等比數(shù)列.（2）由，，成公差為的等差數(shù)列，得，可得：，，，，，累加得因?yàn)?，，成公差為的等差?shù)列，所以，，又因?yàn)?，，成公差為的等差?shù)列，所以，所以，得，，成等比數(shù)列．（3）由，由（2）知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，故，且對(duì)一切正整數(shù)，有，時(shí)，，綜上，．7．（2025·安徽滁州·二模）在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求；(2)若，（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（ⅱ）若，數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．【答案】(1)或(2)（ⅰ）．；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）方法1：由及，利用等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求解即可；方法2：先求出，然后利用化簡(jiǎn)得，將已知條件代入求解即可.（2）（?。┡c相減得，，利用累乘法得，即可；（ⅱ）由（ⅰ）得，進(jìn)而求得，累加法結(jié)合即可證明.【詳解】（1）方法1：，，，由或，于是或，所以或．方法2：顯然，則，于是，所以，相減得，即，所以，，又，，解得或.（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，即，所以，相減整理得，，所以，，…，，累乘得，，也滿足上式，所以．所以．（ⅱ），，顯然．，所以，，…，，累加得，得證．【題型02】不等式放縮（共3題）8．（2025·廣東汕尾·一模）記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)利用分和結(jié)合等差數(shù)列定義即可依次求出數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減求和方法結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解；（3）方法一：由和放縮公式結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算求證即可得證；方法二：由數(shù)列的單調(diào)性和放縮公式得到即可計(jì)算求證.【詳解】（1）由題令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)椋沂沁f增數(shù)列，所以，所以，即是公差和首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列，所以.（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，所以，則，兩式相減得，即.（3）方法一：，所以，①因?yàn)?，所以，②?②得，即，所以.方法二：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.所以，所以，所以.9．（2024·上海靜安·一模）如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和型函數(shù)的定義即可證明；（2）取值，則，再結(jié)合型函數(shù)的定義即可證明；（3）放縮得，再不斷放縮有，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）記；對(duì)任意的，有；對(duì)于任意的，若，則，即.故函數(shù)是型函數(shù).（2）設(shè)，且，則.因此，可知在上為增函數(shù).（3）因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用型函數(shù)的性質(zhì)放縮得，最后再不斷放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可.10．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，．(1)求，的值；(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算，即可求得，的值；（2）由，分別化簡(jiǎn)求得，，得到，得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（1）知且，求得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得證.【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，可得，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）解：由（1）知且，可得，所以，又由，因?yàn)轱@然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，因此.【題型03】數(shù)列最值（共4題）11．（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求使取得最大值時(shí)的的值.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，作差可得，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）求得，利用錯(cuò)位相減法可求；（3）根據(jù)，可得；從而判斷的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榍?，所以，由，可得：，兩式相減得：，因?yàn)椋?，，又，綜上，對(duì)任意的，，所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，所以，.（2）由題意，，①②①②得所以，（3）由（1）可得，所以，時(shí)，由，可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上，或時(shí)，取得最大值.12．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和，(3)求的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值.【分析】（1）通過基本量運(yùn)算求得公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）將分組，分別利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法求得各組的和，得到；（3）利用化簡(jiǎn)和式，討論的奇偶得到最值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，解得，所以，；（2）由（1），，，所以令，即①，則②，①-②得：，整理得所以；（3）因?yàn)?，設(shè)所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而增大，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知隨增大而減小，故，又當(dāng)時(shí)，，介于與之間，所以的最大值為，最小值為.13．（2025·天津河西·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求的通項(xiàng)公式及；(2)當(dāng)在單調(diào)遞增時(shí)，設(shè)，求的值；(3)當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，設(shè)，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值為1，最小值為.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義列方程組解得首項(xiàng)和公差即可求得結(jié)果；（2）經(jīng)分析可知只有當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，滿足題意，再利用裂項(xiàng)求和可得結(jié)果；（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)為等比數(shù)列且為擺動(dòng)數(shù)列時(shí)，對(duì)表達(dá)式化簡(jiǎn)分析可求的結(jié)果.【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，所以，所以，.（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，由（1）知，顯然在不單調(diào)；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，假設(shè)公比為，，解得或，當(dāng)時(shí)，，易知在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，易知在不單調(diào)，所以，所以，.（3）當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，由（2）知或，又為擺動(dòng)數(shù)列，所以，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)取得最大值1，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.14．（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求證：；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2025.【分析】（1）對(duì)兩邊取倒數(shù)，并整理得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合（1）得，進(jìn)而通過作差法比較大小即可證明；（3）結(jié)合（1）得，進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再根據(jù)其單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）記，由題意，數(shù)列滿足，可得所以，又，所以，則為常數(shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以得故，從而，所以.（3）解：由（1）知，所以，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則若，即，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且所以滿足的最大整數(shù)n的值為2025.【題型04】參數(shù)求解（共7題）15．（2025·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求證：為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求；②若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)①；②【分析】（1）利用構(gòu)造法，即可得等差數(shù)列遞推關(guān)系，從而可求得通項(xiàng)公式；（2）①利用錯(cuò)位相減法，即可求和；②利用分離參變量法，再利用遞推關(guān)系求解數(shù)列中的最大項(xiàng)，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由.則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）①由（1）得，則.于是，上兩式相減得：，所以.②由，得.令，所以，所以不是數(shù)列的最大項(xiàng)