2025年復(fù)變函數(shù)密碼學(xué)應(yīng)用試卷考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2025年復(fù)變函數(shù)密碼學(xué)應(yīng)用試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生、密碼學(xué)初學(xué)者題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列說法的正誤。1.指數(shù)函數(shù)\(f(z)=e^z\)在復(fù)平面上處處解析。2.模為常數(shù)\(|f(z)|=c\)的函數(shù)一定是全純函數(shù)。3.拉普拉斯變換可以將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號，其逆變換反之。4.在密碼學(xué)中，歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)用于計算模\(n\)的乘法逆元。5.橢圓積分在公鑰密碼體制中具有實際應(yīng)用價值。6.對數(shù)函數(shù)\(\lnz\)在復(fù)平面上有唯一分支。7.哈密頓四元數(shù)在現(xiàn)代密碼學(xué)中用于生成非線性對稱密鑰。8.離散對數(shù)問題\(g^x\equivy\modp\)是RSA密碼體制的基礎(chǔ)。9.復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理可用于計算某些實積分的值。10.雙曲正弦函數(shù)\(\sinhz\)在密碼學(xué)中用于生成流密碼序列。二、單選題（每題2分，共20分）請選擇最符合題意的選項。1.下列哪個函數(shù)在\(z=0\)處不解析？A.\(f(z)=\frac{1}{z}\)B.\(f(z)=z^2+2z+1\)C.\(f(z)=\sinz\)D.\(f(z)=e^z\)2.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值為？A.\(0\)B.\(\pii\)C.\(2\pii\)D.\(-\pii\)3.歐拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)適用于？A.實數(shù)域B.復(fù)數(shù)域C.僅當\(\theta\)為整數(shù)時D.僅當\(\theta\)為有理數(shù)時4.在RSA密碼體制中，選擇模\(n=pq\)的原因是？A.確保歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)為質(zhì)數(shù)B.提高計算效率C.防止中間人攻擊D.滿足費馬小定理5.下列哪個是復(fù)變函數(shù)的柯西積分公式？A.\(\int_{|z|=R}f(z)\,dz=2\piif(a)\)B.\(\int_{|z|=R}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\piif(a)\)C.\(\int_{|z|=R}z\,dz=\pii\)D.\(\int_{|z|=R}\frac{1}{z^2}\,dz=0\)6.離散對數(shù)問題\(g^x\equivy\modp\)的難度與？A.\(p\)的位數(shù)成正比B.\(g\)的選擇無關(guān)C.\(x\)的取值范圍無關(guān)D.計算機性能無關(guān)7.復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理可用于計算？A.線性方程組的解B.實積分的值C.微分方程的通解D.矩陣的特征值8.雙曲正弦函數(shù)\(\sinhz\)的定義是？A.\(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)B.\(\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)C.\(e^z-e^{-z}\)D.\(e^z+e^{-z}\)9.在密碼學(xué)中，哈密頓四元數(shù)主要用于？A.對稱密鑰生成B.非對稱密鑰生成C.流密碼設(shè)計D.網(wǎng)絡(luò)加密10.橢圓積分在密碼學(xué)中的應(yīng)用主要是？A.提高對稱密鑰長度B.增強公鑰強度C.用于哈希函數(shù)設(shè)計D.防止重放攻擊三、多選題（每題2分，共20分）請選擇所有符合題意的選項。1.復(fù)變函數(shù)\(f(z)=z^3+2z+1\)的解析性？A.在復(fù)平面上處處解析B.在\(z=0\)處不解析C.在\(z=-1\)處解析D.在\(z=i\)處解析2.拉普拉斯變換的常用性質(zhì)？A.線性性B.時移性質(zhì)C.頻移性質(zhì)D.微分性質(zhì)3.RSA密碼體制的密鑰生成步驟？A.選擇兩個大質(zhì)數(shù)\(p\)和\(q\)B.計算\(n=pq\)C.計算\(\varphi(n)\)D.選擇私鑰\(d\)滿足\(ed\equiv1\mod\varphi(n)\)4.復(fù)變函數(shù)的柯西積分定理條件？A.\(f(z)\)在閉曲線內(nèi)解析B.\(f(z)\)在閉曲線上連續(xù)C.閉曲線不經(jīng)過奇點D.閉曲線為簡單閉曲線5.離散對數(shù)問題的應(yīng)用場景？A.ElGamal密碼體制B.Diffie-Hellman密鑰交換C.DSA簽名算法D.AES加密6.復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理應(yīng)用？A.計算實積分B.求解微分方程C.分析系統(tǒng)穩(wěn)定性D.計算傅里葉變換7.雙曲函數(shù)在密碼學(xué)中的用途？A.生成流密碼序列B.設(shè)計哈希函數(shù)C.提高對稱密鑰強度D.用于量子密碼8.橢圓積分的性質(zhì)？A.是超越函數(shù)B.具有周期性C.在密碼學(xué)中用于密鑰生成D.可用數(shù)值方法近似計算9.哈密頓四元數(shù)的優(yōu)勢？A.提高計算效率B.增強安全性C.支持非線性運算D.易于實現(xiàn)10.復(fù)變函數(shù)在密碼學(xué)中的挑戰(zhàn)？A.計算復(fù)雜度高B.理論抽象難C.應(yīng)用場景有限D(zhuǎn).易受量子攻擊四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述復(fù)變函數(shù)解析性的定義及其與柯西-黎曼方程的關(guān)系。2.解釋RSA密碼體制中模\(n\)為合數(shù)的原因及其安全性。3.描述離散對數(shù)問題的計算方法及其在密碼學(xué)中的意義。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計算復(fù)積分\(\int_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)的值，并說明解題步驟。2.假設(shè)使用RSA密碼體制，選擇\(p=61\),\(q=53\),\(e=17\)，計算公鑰\((n,e)\)和私鑰\(d\)，并驗證\((m^e\modn,m^{ed}\modn)\)恢復(fù)明文\(m=42\)。---標準答案及解析一、判斷題1.正確。指數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上處處解析，滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。2.錯誤。模為常數(shù)的函數(shù)不一定是全純函數(shù)，例如\(f(z)=\sqrt{z}\)在\(z=0\)處不解析。3.正確。拉普拉斯變換將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域，逆變換反之。4.錯誤。歐拉函數(shù)用于計算模\(n\)的乘法逆元，但需滿足\(\gcd(x,n)=1\)。5.錯誤。橢圓積分主要用于物理和工程，在密碼學(xué)中應(yīng)用較少。6.錯誤。對數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上有多個分支，需指定分支割線。7.錯誤。哈密頓四元數(shù)在密碼學(xué)中應(yīng)用較少，主要用于物理和幾何。8.正確。離散對數(shù)問題是RSA的基礎(chǔ)，基于大整數(shù)分解的困難性。9.正確。留數(shù)定理可用于計算某些實積分，如\(\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+1}\,dx\)。10.錯誤。雙曲正弦函數(shù)用于數(shù)學(xué)和物理，不直接用于流密碼。二、單選題1.A.\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處有奇點，不解析。2.B.根據(jù)留數(shù)定理，積分值為\(2\pii\)（兩個奇點\(z=\pmi\)的留數(shù)和）。3.B.歐拉公式在復(fù)數(shù)域成立。4.A.選擇\(p\)和\(q\)為質(zhì)數(shù)確保\(\varphi(n)\)為合數(shù)，增強安全性。5.B.柯西積分公式為\(\int_{|z|=R}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\piif(a)\)。6.A.離散對數(shù)問題的難度與\(p\)的位數(shù)成正比。7.B.留數(shù)定理可用于計算實積分。8.A.雙曲正弦函數(shù)定義為\(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)。9.B.哈密頓四元數(shù)用于非對稱密鑰生成。10.A.橢圓積分用于提高對稱密鑰長度。三、多選題1.A,C,D.多項式函數(shù)在復(fù)平面上處處解析。2.A,B,C,D.拉普拉斯變換具有線性、時移、頻移、微分性質(zhì)。3.A,B,C,D.RSA密鑰生成步驟包括選擇質(zhì)數(shù)、計算模、計算歐拉函數(shù)、選擇私鑰。4.A,B,D.柯西積分定理要求函數(shù)在閉曲線內(nèi)解析、在閉曲線上連續(xù)、閉曲線為簡單閉曲線。5.A,B,C.離散對數(shù)問題用于ElGamal、Diffie-Hellman、DSA。6.A,D.留數(shù)定理可用于計算實積分和傅里葉變換。7.A,C.雙曲函數(shù)用于流密碼和對稱密鑰強度。8.A,D.橢圓積分為超越函數(shù)，可用數(shù)值方法近似。9.B,C.哈密頓四元數(shù)增強安全性并支持非線性運算。10.A,B,C,D.復(fù)變函數(shù)計算復(fù)雜、理論抽象、應(yīng)用有限、易受量子攻擊。四、簡答題1.解析性定義：若函數(shù)\(f(z)\)在某區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則稱\(f(z)\)在該區(qū)域內(nèi)解析?？挛?黎曼方程為\(u_x=v_y\)和\(u_y=-v_x\)，其中\(zhòng)(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)。2.RSA中模\(n\)為合數(shù)的原因：選擇兩個大質(zhì)數(shù)\(p\)和\(q\)的乘積\(n\)確保其因數(shù)分解困難，從而保證私鑰的安全性。若\(n\)為質(zhì)數(shù)，則無法實現(xiàn)公鑰加密。3.離散對數(shù)問題計算方法：通過暴力搜索或Baby-stepgiant-step算法。意義在于其難度是RSA等公鑰密碼體制的基礎(chǔ)。五、應(yīng)用題1.解：-奇點：\(z=0\)和\(z=1\)。-留數(shù)：\(\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\cdot\frac{z^2+1}{z(z-1)}=1\)\(\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\cdot\frac{z^2+1}{z(z-1)}=2\)-積分值：\(2\pii(\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,