2025年大學(xué)數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)）期末試卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、單項(xiàng)選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$[1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列無(wú)窮小量中與$x$等價(jià)的是（）A.$\sinx-x$B.$e^x-1$C.$\ln(1+x^2)$D.$1-\cosx$3.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=（）$A.$f^\prime(x_0)$B.$2f^\prime(x_0)$C.$0$D.$f^\prime(2x_0)$4.曲線$y=x^3-3x^2+1$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.已知函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$e^{-x}$，則$\intf^\prime(x)dx=（）$A.$e^{-x}+C$B.$-e^{-x}+C$C.$e^{-x}$D.$-e^{-x}$6.設(shè)$D$是由$x=0$，$x=1$，$y=0$，$y=1$所圍成的區(qū)域，則$\iint_Dxydxdy=（）$A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{8}$D.$\frac{1}{16}$7.級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$是（）A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定8.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=（）$A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$9.直線$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}$與平面$x+y+z=3$的關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.在平面內(nèi)D.相交但不垂直10.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$處沿向量$\vec{l}=(1,1)$方向的方向?qū)?shù)為（）A.$2\sqrt{2}$B.$3\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$5\sqrt{2}$二、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.已知$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=9$，則$a=$______。2.函數(shù)$y=x^3-3x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值是______。3.設(shè)$f(x)$連續(xù)，且$\int_0^{x^2}f(t)dt=x^3$，則$f(4)=$______。4.交換二次積分的次序：$\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy=$______。5.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec=(0,1,1)$，則以$\vec{a}$，$\vec$為鄰邊的平行四邊形的面積為_(kāi)_____。三、計(jì)算題（總共5題，每題10分，請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程）1.求極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-x\cosx}{x^3}$。2.已知函數(shù)$y=y(x)$由方程$e^y+xy=e$所確定，求$y^\prime(0)$。3.計(jì)算$\int\frac{x+1}{x^2+2x+2}dx$。4.計(jì)算二重積分$\iint_D(x^2+y^2)dxdy$，其中$D$是由$x^2+y^2\leq4$所圍成的區(qū)域。5.求冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^n$的收斂區(qū)間及和函數(shù)。四、解答題（總共2題，每題10分，請(qǐng)給出必要的文字說(shuō)明和解題步驟）1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)=0$。證明：在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f^\prime(\xi)+f^2(\xi)=0$。2.已知曲線$y=f(x)$過(guò)點(diǎn)$(0,\frac{1}{2})$，且其上任一點(diǎn)$(x,y)$處的切線斜率為$x\ln(1+x^2)$，求$f(x)$。五、證明題（10分，請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的證明過(guò)程）設(shè)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。證明：在$(0,1)$內(nèi)存在不同的兩點(diǎn)$\xi_1$，$\xi_2$，使得$\frac{1}{f^\prime(\xi_1)}+\frac{1}{f^\prime(\xi_2)}=2$。答案：一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.D10.B二、填空題1.$\ln3$2.$2$3.$\frac{3}{2}$4.$\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx$5.$\sqrt{3}$三、計(jì)算題1.利用洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)兩次可得極限為$\frac{1}{3}$。2.對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，代入$x=0$，$y=1$可得$y^\prime(0)=-\frac{1}{e}$。3.令$u=x^2+2x+2$，則原式可化為$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+2x+2}$，積分后得$\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+\frac{1}{2}\arctan(x+1)+C$。4.利用極坐標(biāo)變換，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，積分區(qū)域變?yōu)?0\leqr\leq2$，$0\leq\theta\leq2\pi$，計(jì)算可得結(jié)果為$4\pi$。5.先求收斂半徑$R=1$，再判斷端點(diǎn)處的斂散性得收斂區(qū)間為$(-1,1)$。設(shè)$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^n$，通過(guò)變形和已知冪級(jí)數(shù)公式可求得和函數(shù)$S(x)=\frac{x}{(1-x)^2}+\frac{1}{x}\ln(1-x)$，$x\in(-1,0)\cup(0,1)$，$S(0)=0$。四、解答題1.構(gòu)造函數(shù)$F(x)=e^xf(x)$，利用羅爾定理證明存在$\xi$使得$F^\prime(\xi)=0$，即$f^\prime(\xi)+f^2(\xi)=0$。2.