2026年數(shù)學(xué)建模與問(wèn)題解決題一、問(wèn)題描述（2題，每題20分，共40分）1.城市交通擁堵優(yōu)化問(wèn)題背景：某沿海城市A市近年來(lái)交通擁堵問(wèn)題日益嚴(yán)重，尤其在早晚高峰時(shí)段。為緩解擁堵，市政府計(jì)劃通過(guò)優(yōu)化信號(hào)燈配時(shí)、引導(dǎo)潮汐車道使用、增設(shè)智能停車誘導(dǎo)系統(tǒng)等措施改善交通效率。目前，A市核心區(qū)域有12個(gè)主要路口，日均車流量達(dá)10萬(wàn)輛次。交通管理部門收集了近三個(gè)月的數(shù)據(jù)，包括各路口車流量、平均等待時(shí)間、道路容量等。問(wèn)題：（1）建立數(shù)學(xué)模型，分析各路口車流量與信號(hào)燈配時(shí)、潮汐車道使用率之間的關(guān)系；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化方案，通過(guò)調(diào)整信號(hào)燈周期和綠信比，結(jié)合潮汐車道動(dòng)態(tài)分配策略，使核心區(qū)域整體平均等待時(shí)間減少20%，并確保高峰時(shí)段（7:00-9:00，17:00-19:00）車流量通過(guò)率達(dá)90%以上；（3）若增設(shè)智能停車誘導(dǎo)系統(tǒng)，如何通過(guò)數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)其對(duì)擁堵改善的效果，并給出具體建議。2.農(nóng)業(yè)水資源優(yōu)化配置問(wèn)題背景：某干旱地區(qū)B省位于黃土高原，農(nóng)業(yè)用水占總用水量的65%。近年來(lái)，由于氣候變化和人口增長(zhǎng)，水資源短缺問(wèn)題加劇。B省現(xiàn)有灌溉渠道50條，覆蓋耕地面積80萬(wàn)公頃，但渠道老化導(dǎo)致水資源浪費(fèi)嚴(yán)重。政府計(jì)劃通過(guò)改造老舊渠道、推廣精準(zhǔn)灌溉技術(shù)、建立區(qū)域水資源調(diào)度模型等措施提升用水效率。問(wèn)題：（1）收集典型年份的氣象數(shù)據(jù)（降水量、蒸發(fā)量）和農(nóng)業(yè)用水需求數(shù)據(jù)，建立水資源供需平衡模型；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化配置方案，通過(guò)線性規(guī)劃模型確定各灌區(qū)（按作物類型分區(qū)）的灌溉量分配，使糧食作物（小麥、玉米）總產(chǎn)量最大化，同時(shí)保證生態(tài)用水和工業(yè)用水需求；（3）若引入雨水收集系統(tǒng)，如何通過(guò)數(shù)學(xué)模型評(píng)估其對(duì)農(nóng)業(yè)水資源配置的補(bǔ)充作用，并提出改進(jìn)建議。二、模型假設(shè)與建立（2題，每題15分，共30分）1.電子商務(wù)平臺(tái)推薦算法優(yōu)化問(wèn)題背景：某電商平臺(tái)C通過(guò)用戶購(gòu)買歷史和瀏覽行為收集數(shù)據(jù)，采用協(xié)同過(guò)濾算法進(jìn)行商品推薦。但目前算法存在冷啟動(dòng)問(wèn)題（新用戶推薦效果差）和多樣性不足（推薦商品同質(zhì)化）的缺陷。平臺(tái)計(jì)劃通過(guò)改進(jìn)用戶畫像構(gòu)建、引入圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法提升推薦效果。問(wèn)題：（1）列出模型假設(shè)，如用戶行為獨(dú)立性、商品相似度計(jì)算方式等；（2）建立基于矩陣分解的推薦模型，并推導(dǎo)用戶評(píng)分預(yù)測(cè)公式；（3）設(shè)計(jì)改進(jìn)方案，如何通過(guò)聚類算法解決冷啟動(dòng)問(wèn)題，并給出數(shù)學(xué)表達(dá)。2.能源消耗碳排放預(yù)測(cè)問(wèn)題背景：某工業(yè)城市D正在推進(jìn)“雙碳”目標(biāo)，重點(diǎn)行業(yè)包括鋼鐵、化工、電力。政府通過(guò)收集2010-2025年行業(yè)能源消耗和碳排放數(shù)據(jù)，希望建立預(yù)測(cè)模型，為減排政策提供依據(jù)。問(wèn)題：（1）假設(shè)條件包括能源利用效率恒定、碳排放系數(shù)不變等，請(qǐng)列出所有假設(shè)并說(shuō)明合理性；（2）建立ARIMA模型預(yù)測(cè)2026-2030年各行業(yè)碳排放量，并解釋模型參數(shù)選擇依據(jù)；（3）若引入碳交易機(jī)制，如何通過(guò)數(shù)學(xué)模型評(píng)估其對(duì)減排效果的促進(jìn)作用。三、模型求解與分析（3題，每題15分，共45分）1.物流配送路徑優(yōu)化問(wèn)題背景：某第三方物流公司E在A市運(yùn)營(yíng)100個(gè)配送站點(diǎn)，每日承接3000個(gè)訂單。為降低成本，需優(yōu)化配送車輛路徑?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)包括站點(diǎn)坐標(biāo)、訂單量、配送時(shí)效要求等。問(wèn)題：（1）用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述VRP（車輛路徑問(wèn)題）模型，包括決策變量和目標(biāo)函數(shù)；（2）若限制每輛車載重為5噸，采用遺傳算法求解最優(yōu)路徑，需設(shè)計(jì)哪些關(guān)鍵算子（選擇、交叉、變異）；（3）分析時(shí)效要求對(duì)路徑優(yōu)化的影響，給出具體解決方案。2.疫情傳播動(dòng)態(tài)建模問(wèn)題背景：某邊境城市F出現(xiàn)流感疫情，政府需預(yù)測(cè)傳播趨勢(shì)并制定防控措施。收集了過(guò)去兩周的感染人數(shù)、人口流動(dòng)數(shù)據(jù)等。問(wèn)題：（1）建立SIR模型（易感-感染-康復(fù)），推導(dǎo)方程組并解釋參數(shù)含義；（2）若發(fā)現(xiàn)感染者中30%為跨境流動(dòng)人員，如何通過(guò)數(shù)學(xué)模型評(píng)估跨境傳播風(fēng)險(xiǎn)；（3）給出基于模型結(jié)果的社會(huì)隔離建議，并量化效果預(yù)期。3.金融投資組合優(yōu)化問(wèn)題背景：某投資機(jī)構(gòu)G管理200億資金，計(jì)劃配置到4只股票（白酒、科技、醫(yī)藥、消費(fèi)）中。歷史數(shù)據(jù)包括各股票收益率、波動(dòng)率及相關(guān)性。問(wèn)題：（1）用二次規(guī)劃模型建立投資組合優(yōu)化目標(biāo)，最小化方差并設(shè)定預(yù)期收益下限；（2）若引入交易成本（固定費(fèi)用0.1%，比例費(fèi)用0.05%），如何調(diào)整模型；（3）分析相關(guān)性對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的影響，給出具體配置建議。四、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)（1題，20分）新能源發(fā)電站選址問(wèn)題背景：某山區(qū)H省計(jì)劃建設(shè)光伏和風(fēng)電混合發(fā)電站，需在5000平方公里范圍內(nèi)選擇最優(yōu)地點(diǎn)?？紤]因素包括日照時(shí)長(zhǎng)、風(fēng)力資源、土地成本、電網(wǎng)接入難度等。問(wèn)題：（1）評(píng)價(jià)層次分析法（AHP）在該問(wèn)題中的適用性，并列出判斷矩陣構(gòu)建步驟；（2）若采用多目標(biāo)遺傳算法求解，需設(shè)計(jì)哪些評(píng)價(jià)指標(biāo)（如經(jīng)濟(jì)性、環(huán)保性）；（3）提出模型改進(jìn)方案，如何通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)判選址后的發(fā)電量波動(dòng)性。答案與解析一、問(wèn)題描述答案1.城市交通擁堵優(yōu)化問(wèn)題（1）模型：-車流量與信號(hào)燈配時(shí)關(guān)系：用排隊(duì)論M/M/c模型描述各路口車流，設(shè)λ為車流量，μ為通行能力（與綠信比正相關(guān)），N為排隊(duì)車輛數(shù)。信號(hào)周期T=Gr+Sr（G為綠燈時(shí)長(zhǎng)，r為黃燈+全紅時(shí)間），優(yōu)化目標(biāo)為min(E[等待時(shí)間])；-潮汐車道使用率：用二元變量x_i=1（使用）或0（不使用）表示第i車道狀態(tài)，建立0-1規(guī)劃模型：max∑(a_ix_i-b_ix_i^2)（a_i為車流量彈性系數(shù)，b_i為擁堵懲罰系數(shù)）（2）優(yōu)化方案：-信號(hào)燈：核心路口采用自適應(yīng)配時(shí)（如SCATS系統(tǒng)），周期范圍60-120秒，綠信比動(dòng)態(tài)調(diào)整（高峰期左轉(zhuǎn)綠燈延長(zhǎng)至45秒）；-潮汐車道：早高峰北向主路優(yōu)先（x_1=1），晚高峰反向（x_1=0，x_2=1）；-效果驗(yàn)證：通過(guò)仿真模擬驗(yàn)證等待時(shí)間下降22%，通過(guò)率提升至92%。（3）智能停車：建立泊位占用率預(yù)測(cè)模型（BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)），若某區(qū)域未來(lái)30分鐘內(nèi)占用率<60%，則誘導(dǎo)貨車?yán)@行，減少核心路口貨車流量。2.農(nóng)業(yè)水資源優(yōu)化配置問(wèn)題（1）模型：-供需平衡：設(shè)Q_i為第i灌區(qū)需水量，W_i為供給量，建立約束Q_i≤W_i≤S_i（S_i為最大供給能力）；-氣象數(shù)據(jù)擬合：用線性回歸預(yù)測(cè)未來(lái)三年降水量（如R(t)=0.8t+120），蒸發(fā)量用指數(shù)函數(shù)模擬（E(t)=2^(0.1t+1)）。（2）優(yōu)化方案：-線性規(guī)劃模型：maxZ=150x_1+200x_2（x_1為小麥灌溉量，x_2為玉米灌溉量）s.t.x_1+x_2≤600萬(wàn)m3（總水量），x_1≥0.6總糧食需求（生態(tài)約束）…-結(jié)果：小麥灌溉量450萬(wàn)m3，玉米300萬(wàn)m3，總產(chǎn)量提升12%。（3）雨水系統(tǒng)：用水文模型（HSPF模型）模擬收集效果，若年收集量達(dá)15%灌溉需求，則建議在坡度＞15%區(qū)域推廣。二、模型假設(shè)與建立答案1.電子商務(wù)推薦算法優(yōu)化問(wèn)題（1）假設(shè)：-用戶行為獨(dú)立性：用戶評(píng)分不受他人影響；-商品相似度計(jì)算：基于余弦相似度（向量夾角＜0.3為相似）；-新用戶評(píng)分用全平臺(tái)平均分初始化。（2）矩陣分解公式：r_ui≈μ+u_i^Tθ_i+θ_j^Tv_j（μ為全局平均評(píng)分，θ_i為用戶隱向量，θ_j為商品隱向量）（3）冷啟動(dòng)方案：用聚類算法將新用戶分為5類，為每類分配不同初始評(píng)分向量。2.能源消耗碳排放預(yù)測(cè)問(wèn)題（1）假設(shè)：-能源結(jié)構(gòu)穩(wěn)定：化石能源占比不變；-碳排放系數(shù)為常數(shù)（如鋼鐵行業(yè)0.58噸CO2/噸鋼）；-需求彈性為負(fù)（如電力需求隨價(jià)格彈性-0.3）。（2）ARIMA模型：Δ^2C_t=0.45ΔC_(t-1)+0.25ΔC_(t-2)+ε_(tái)t（C_t為碳排放量）（3）碳交易機(jī)制：建立Lagrangian約束優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)包含減排成本與交易費(fèi)用。三、模型求解與分析答案1.物流配送路徑優(yōu)化問(wèn)題（1）VRP模型：-決策變量：x_ij=1（車輛i服務(wù)站點(diǎn)j）或0；-目標(biāo)函數(shù)：min∑(d_ijc_ij)（d_ij為距離，c_ij為車輛i服務(wù)j的權(quán)重）（2）遺傳算法算子：-選擇：輪盤賭法；-交叉：兩點(diǎn)交叉，保留精英個(gè)體；（3）時(shí)效方案：對(duì)緊急訂單分配優(yōu)先車輛，動(dòng)態(tài)調(diào)整剩余訂單路徑。2.疫情傳播動(dòng)態(tài)建模問(wèn)題（1）SIR模型方程：dS/dt=-βSI/(N)，dI/dt=βSI/(N)-γI，dR/dt=γI（β為傳染率，γ為恢復(fù)率）（2）跨境風(fēng)險(xiǎn)：用網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散模型（SEIR網(wǎng)絡(luò)），計(jì)算邊境口岸感染擴(kuò)散概率；（3）隔離建議：基于R_0=2.1，建議封鎖半徑500米，隔離期14天。3.金融投資組合優(yōu)化問(wèn)題（1）二次規(guī)劃模型：min0.5w^TΣw-lw^Tμ（Σ為協(xié)方差矩陣，μ為預(yù)期收益向量）s.t.∑w_i=1，w_i≥0.1（最低配置比例）；（2）交易成本調(diào)整：加入懲罰項(xiàng)∑|w_i|C_i（C_i為第i項(xiàng)交易成本系數(shù)）；（3）配置建議：科技股（30%）+醫(yī)藥（25%）+白酒（20%），波動(dòng)率下降18%。四、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)答案新能源發(fā)電站選址問(wèn)題（1）AHP適用性：-