第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年廣東省中山一中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（1月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，2，4 C.3，4，5 D.3，6，102.圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.如圖是對(duì)戰(zhàn)棋譜中的四個(gè)部分，由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A.四邊形 B.三角形 C.長(zhǎng)方形 D.正方形4.若，則的值為（）A. B. C. D.5.下列各分式是最簡(jiǎn)分式的是（）A. B. C. D.6.下列運(yùn)算正確的是（）A.20=0 B.a2?a3=a5 C.（-a2）4=a6 D.a6÷a2=a37.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABC與Rt△BAD全等，則還需要添加一個(gè)條件是（）

A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD=4，則點(diǎn)D到AB的距離是（）A.4

B.2

C.3

D.69.如圖，小明利用4張圖①所示的長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形卡片，拼成圖②所示的圖形，則根據(jù)圖②的面積關(guān)系能驗(yàn)證的恒等式為（）A.（a+2b）2=a2+4ab+4b2 B.（a+b）2=（a-b）2+4ab

C.（2a+b）2=4a2+4ab+b2 D.（a-b）2=a2-2ab+b210.如圖，已知△ABC中，AB=4，AC=5，邊BC的垂直平分線分別交BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)D為直線EF上一點(diǎn)，則△ABD的周長(zhǎng)最小值為（）A.11

B.10

C.9

D.8二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.要使分式有意義，則x的取值范圍為

．12.如圖，∠1+∠2+∠3+∠4=

°.

13.分解因式：3ab2-6ab=

.14.如圖，點(diǎn)D、A、E在直線m上，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥m于點(diǎn)D，CE⊥m于點(diǎn)E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，則DE=______．15.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為

cm2.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題7分)

計(jì)算：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）.17.(本小題7分)

已知：如圖，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求證：∠E=∠F．

18.(本小題7分)

如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中.A，B，C三點(diǎn)在格點(diǎn)上，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1.

（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；

（2）直接寫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2的各頂點(diǎn)坐標(biāo).19.(本小題9分)

已知△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．

（1）作圖：作△ABC的高AD交BC于點(diǎn)D（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：BD=3CD．20.(本小題9分)

【閱讀理解】若x滿足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值.

解：設(shè)9-x=a,x-4=b,

則（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，

∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17.

【解決問(wèn)題】

（1）若x滿足（5-x）（x-2）=2，則（5-x）2+（x-2）2=______；

（2）若x滿足（x+1）2+（x-3）2=26，求（x+1）（x-3）的值；

（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF正方形，求陰影部分的面積.21.(本小題9分)

閱讀材料：要將多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，從而得到am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n），這時(shí)a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），即am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b），我們稱這種方法為分組法.請(qǐng)你利用分組法解答下列問(wèn)題：

（1）解決問(wèn)題：分解因式ac-bc+a2-b2.

（2）拓展運(yùn)用：已知a,b,c是△ABC的三邊，且滿足a2-ab+c2-2ac+bc=0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由.22.(本小題13分)

如圖1，△ABC中，AB=AC，BC=10，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，并與點(diǎn)P同時(shí)停止.已知點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，連接PQ與線段BC相交于點(diǎn)D（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況）.

（1）求證：AP+AQ=2AB；

（2）求證：PD=DQ；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.23.(本小題14分)

定義：如題圖1，若P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠PCB=∠PBA=α，則稱點(diǎn)P為△ABC的勃羅卡點(diǎn)，同時(shí)稱α為△ABC的勃羅卡角.

（1）如圖2，P為等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn).其中AP=BP，∠BAP=25°，請(qǐng)判斷點(diǎn)P是不是等邊△ABC的勃羅卡點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（2）如圖3，P為等邊△ABC的勃羅卡點(diǎn)，求等邊△ABC的勃羅卡角的度數(shù)；

（3）如圖4，在（2）的條件下，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接PP'與AB相交于點(diǎn)O，連接AP'，BP'，記△APP′的勃羅卡點(diǎn)為M，△BPP′的勃羅卡點(diǎn)為N，求證：△PMN為等邊三角形.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】x≠﹣2

12.【答案】300

13.【答案】3ab（b-2）

14.【答案】8

15.【答案】4.5

16.【答案】解：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）

=4a2-9-4a2+a

=a-9．

17.【答案】證明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

即AD=BC，

在△ADE和△BCF中，

，

∴△ADE△BCF（SAS），

∴∠E=∠F．

18.【答案】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2的各頂點(diǎn)坐標(biāo)：A2（-2，-2），B2（-3，1），C2（-1，-1）．

19.【答案】解：（1）如圖，

AD即為所求；

（2）證明：

∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，

∴BC=2AC，∠C=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AC=2CD，

∴BC=4CD，

∴BD=3CD．

20.【答案】5

5

28

21.【答案】解：（1）原式=（ac-bc）+（a2-b2）

=c（a-b）+（a+b）（a-b）

=（a-b）（a+b+c）；

（2）△ABC為等腰三角形，理由如下：

∵a,b,c分別為△ABC的三邊，

∴b+c＞a,即a-b-c＜0，

已知等式整理得：（a2-2ac+c2）-（ab-bc）=0，

分解因式得：（a-c）2-b（a-c）=0，即（a-c）（a-c-b）=0，

∴a-c=0，即a=c,

則△ABC為等腰三角形．

22.【答案】（1）證明：∵點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，它們同時(shí)出發(fā)，

∴PB=CQ，

∴AP+AQ=AP+CQ+AC=AP+PB+AC=AB+AC，

∵AB=AC，

∴AP+AQ=2AB；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC，交BC于點(diǎn)F，如圖，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵PF∥AC，

∴∠ACB=∠PFB，

∴∠PFB=∠B，

∴PB=PF．

∵點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，它們同時(shí)出發(fā)，

∴PB=CQ，

∴PF=CQ．

∵PF∥AC，

∴∠PFD=∠QCD．

在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴PD=DQ；

（3）解：在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度不變化，DE=5．理由：

過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC，交BC于點(diǎn)F，如圖，

由（2）知：PF=PB，△PFD≌△QCD，

∴DF=DC．

∴FD=FC，

∵PF=PB，PE⊥BC，

∴PE=EF，

∴EF=BF，

∴DE=EF+FD

=BF+FC

=（BF+FC）

=BC

=10

=5．

∴在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度不變化，DE=5．

23.【答案】點(diǎn)P不是等邊△ABC的勃羅卡點(diǎn)，理由如下：

∵AP=BP，

∴∠PBA=∠BAP=25°，

∴∠PAC=60°-∠BAP=35°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵PA=PB，

∴PC是AB的中垂線，

∴CP平分∠ACB，

∴∠PCB=30°，

∴∠PAC≠∠PCB≠∠PBA，

∴點(diǎn)P不是等邊△ABC的勃羅卡點(diǎn)

等邊△ABC的勃羅卡角的度數(shù)為30°

∵點(diǎn)P，P′關(guān)于AB對(duì)稱，

∴AB為PP′的中垂線，

∴BP=BP′，

∴△BPP′為等腰三角形，

∵BO⊥P′P，

由（2）可知∠PBO=30°，

∴∠P′BO=PBO=30°，

∴∠PBP′=60°，

∴△BP′P為等邊三角形，同理可得△APP′為等邊三角形，

如圖，在△BPP′內(nèi)部作∠BPN=30°交BO于點(diǎn)N，連接P′N，

∵BO