第一章三角形的證明及其應(yīng)用1三角形內(nèi)角和定理第3課時(shí)多邊形的內(nèi)角和素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握多邊形的內(nèi)角和公式．2.通過(guò)把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何證明中的運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想方法．3.會(huì)從不同的角度探索多邊形的內(nèi)角和公式．重點(diǎn)：探索多邊形的內(nèi)角和公式．難點(diǎn)：把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，用分割多邊形法推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式．導(dǎo)入新課觀察廣場(chǎng)圖案、水立方外觀、蜂巢結(jié)構(gòu),能發(fā)現(xiàn)它們都包含著不同的多邊形,它們的內(nèi)角和是多少呢?今天我們就來(lái)探索多邊形的內(nèi)角和規(guī)律.新知探究活動(dòng)一:探究四邊形的內(nèi)角和我們已經(jīng)知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°,那么四邊形的內(nèi)角和是多少呢?請(qǐng)各小組用測(cè)量、拼角、分割等不同方法探索四邊形的內(nèi)角和,并嘗試得出結(jié)論.新知探究①測(cè)量法:用量角器測(cè)量四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)后求和,但因測(cè)量工具精度、操作誤差,測(cè)量結(jié)果會(huì)接近360°但不完全一致,由此可知測(cè)量法具有局限性.②拼角法:將四邊形的四個(gè)內(nèi)角剪下后,能直觀拼合成周角360°,但剪紙、拼合的操作精度有限.是否還有其他的方法能夠探索四邊形的內(nèi)角和?分割法新知探究四邊形的內(nèi)角和是多少呢?如圖,連接四邊形的一條對(duì)角線,把四邊形分成兩個(gè)三角形,利用“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”,推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和為2×180°=360°.新知探究活動(dòng)二:探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和問(wèn)題1:這個(gè)廣場(chǎng)中心的邊緣是一個(gè)五邊形,你能設(shè)法求出它的五個(gè)內(nèi)角的和嗎?與同伴進(jìn)行交流.你能否類比探索四邊形內(nèi)角和的方法,求出五邊形的內(nèi)角和?測(cè)量法和拼角法.運(yùn)用分割法求五邊形的內(nèi)角和.你是如何進(jìn)行分割的呢?新知探究問(wèn)題2:小明、小亮分別利用圖1和圖2求出了五邊形五個(gè)內(nèi)角的和.你知道他們是怎樣做的嗎?小明、小亮的方法都是把五邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問(wèn)題.小明是將五邊形的五個(gè)內(nèi)角分割在3個(gè)三角形中，3個(gè)三角形的內(nèi)角和即為五邊形的內(nèi)角和.小亮是將五邊形分割成5個(gè)三角形，用5個(gè)三角形的內(nèi)角和減去360°即得五邊形的內(nèi)角和.你還有其他的方法嗎?五邊形內(nèi)角和等于這四個(gè)三角形的內(nèi)角和減去在點(diǎn)P處的一個(gè)平角.P分割五邊形三角形分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系頂點(diǎn)邊上內(nèi)部轉(zhuǎn)化思想計(jì)算五邊形內(nèi)角和：五邊形的內(nèi)角和為540°新知探究嘗試·思考(1)按照教材圖1-11的方法,六邊形能分成多少個(gè)三角形?n(n是大于或等于3的自然數(shù))邊形呢?你能確定n邊形的內(nèi)角和嗎?(2)按照教材圖1-12的方法再試一試.新知探究四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),能引出1條對(duì)角線,分成2個(gè)三角形;五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),能引出2條對(duì)角線,分成3個(gè)三角形.那么六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),能引出幾條對(duì)角線?這些對(duì)角線把六邊形分成了多少個(gè)三角形?六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),能引出3條對(duì)角線,將六邊形分成了4個(gè)三角形.多邊形的邊數(shù)從多邊形的一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)分割出的三角形的個(gè)數(shù)多邊形內(nèi)角和3456……………………n011×180°=180°122×180°=360°233×180°=540°344×180°=720°(n-3)(n-2)(n-2)·180°新知探究

活動(dòng)三:歸納多邊形內(nèi)角和公式

n(n是大于或等于3的自然數(shù))邊形呢?請(qǐng)以表格的形式呈現(xiàn).從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出(n－3)條對(duì)角線，把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形．從而得出多邊形內(nèi)角和定理：

n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°.

新知探究

跟蹤練習(xí)（2025·云南）一個(gè)六邊形的內(nèi)角和等于（

C

）A.360°B.540°C.720°D.900°[變式]如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，那么這個(gè)多邊形

是

邊形.C七

例1如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B與∠D有怎樣的關(guān)系?解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°，∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.B說(shuō)明：如果四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).ACD新知探究

活動(dòng)四:運(yùn)用新知，例題講解新知探究問(wèn)題:(1)正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是多少度?正三角形的內(nèi)角和等于180°,且各內(nèi)角相等,所以正三角形的每個(gè)內(nèi)角分別是180°÷3=60°;正四邊形的內(nèi)角和等于(4-2)×180°=360°,且各內(nèi)角相等,所以正四邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是360°÷4=90°;正五邊形的內(nèi)角和等于(5-2)×180°=540°,且各內(nèi)角相等,所以正五邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是540°÷5=108°;新知探究問(wèn)題:(1)正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是多少度?正八邊形的內(nèi)角和等于(8-2)×180°=1

080°,且各內(nèi)角相等,所以正八邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是1

080°÷8=135°.(2)怎樣計(jì)算正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)?n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°,n為邊數(shù),n是大于或等于3的自然數(shù),且正多邊形的各內(nèi)角相等,所以正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(n-2)·180°÷n.跟蹤練習(xí)

正十邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（

D

）A.120°B.135°C.140°D.144°[變式]如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，那么這個(gè)多

邊形的邊數(shù)是

?.D9

剪掉一張長(zhǎng)方形紙片的一個(gè)角后，剩下的紙片是幾邊形?思考·交流它的內(nèi)角和是多少度?剪掉一個(gè)角后，分以下3種情況：(1)紙片剩下5個(gè)角，得到的五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°；(2)紙片剩下4個(gè)角，得到的四邊形的內(nèi)角和為(4-2)×180°=360°；(3)紙片剩下3個(gè)角，得到的三角形的內(nèi)角和為180°.跟蹤練習(xí)

一個(gè)多邊形去掉一個(gè)內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為760°，則去掉的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（

C

）A.120°B.130°C.140°D.150°[變式]一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成了一個(gè)內(nèi)角和為1

080°

的多邊形，則原多邊形的邊數(shù)是

?.C7或8或9

BA.

B.

C.

D.

課堂練習(xí)

205

9

36

5.

（2025·湖南）傳統(tǒng)建筑中的一種窗格如圖1所示，其窗框的

示意圖如圖2所示，多邊形ABCDEFGH為正八邊形，連接

AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)M，則∠AMB的度數(shù)為

?.45°

7.

如圖1，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，我們把

這樣的圖形稱為“8字形”，在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱

藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下

問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，計(jì)算∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F

的度數(shù).解：（1）∠A＋∠D＝∠B＋∠C.

理由如下：∵在△AOD中，∠AOD＝180°－∠A－∠D，在△BOC中，∠BOC＝180°－∠B－∠C，∠AOD＝∠BOC，∴180°－∠A－∠D＝180°－∠B－∠C，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.

解：（2）如圖2，連接AD，則∠BAD＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，得∠E＋∠F＝∠EDA＋