北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用5

角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定情境導(dǎo)入我們曾經(jīng)探索過角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.請你嘗試證明這一結(jié)論.1．___________________________________________叫作角的平分線．2．我們曾用折紙的方法探索過角平分線上點(diǎn)的性質(zhì)(如圖)．從折紙的過程中，可以得到：____________________________________．OBACPED12從角的頂點(diǎn)出發(fā)，把角分成兩個(gè)相等的角的射線角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等探究新知探究1【探究角平分線的性質(zhì)定理】1．證明角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.OBACPED12OBACPED12證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．符號語言表示為：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理必須具備的條件：兩垂直，一平分．OBACPED12歸納總結(jié)歸納總結(jié)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.符號語言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.OBACPED注意：該定理中，“點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離”是指該點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長度.你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上．這個(gè)命題是假命題．角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)．探究新知探究2【探究角平分線的判定定理】角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，它的逆命題是________________________________________________________．在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上請證明角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．1．已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．OAB12PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，OAB12PDE∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，∴∠1＝∠2，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．角平分線和線段垂直平分線的比較：相同點(diǎn)：都有定理和逆定理，都有“距離相等”，證明方法都利用了三角形全等.不同點(diǎn)：角平分線是在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合，是點(diǎn)到線(射線)的距離相等；線段垂直平分線是到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，是點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等.用符號語言表示為：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．角平分線的判定定理的特征是：兩垂直，一相等．OAB12PDE歸納總結(jié)

定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.應(yīng)用舉例1.如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積為()A．10B．7C．5D．4C2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BE＝CF.求證：BD＝FD.證明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.在△DEB和△DCF中，∴△DEB≌△DCF(SAS)，∴BD＝FD.3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，則∠EOP的度數(shù)為()A．65°B．60°C．45°D．30°A4.如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)D，BD＝CD.求證：AD平分∠BAC.證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.探究新知例1

已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分線AD分對邊BC為BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，求點(diǎn)D到AB邊的距離．【方法指導(dǎo)】已知∠A的平分線AD，可作DE⊥AB，利用角平分線的性質(zhì)定理得出DE＝CD，根據(jù)已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15cm，即可得到點(diǎn)D到AB的距離．ABCDCABDE解：如圖，作DE⊥AB.∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15cm，

∴DE＝6cm，∴點(diǎn)D到AB邊的距離為6cm.例2

如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，求DE的長．ABCDEF

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，ABCDEF∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，

隨堂練習(xí)

ABCDB2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，則點(diǎn)D到AB的距離是____．2ACDB3．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE與CD相交于O.(1)如果∠1＝∠2，求證：OB＝OC；(2)如果OB＝OC，求證：∠1＝∠2.12ABCEDO證明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OD＝OE.∴OB＝OC；12ABCEDO(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OA為∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2.4.如圖，某工地在A區(qū)，到公路、鐵路距離相等，距公路與鐵路交叉