北師版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明及其應(yīng)用1三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)三角形內(nèi)角和定理的推論情景導(dǎo)入我們都知道三角形的內(nèi)角和是180°，那如果我們從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)“走出去”(如圖)，這個(gè)三角形外的角應(yīng)該怎么定義？一個(gè)三角形有幾個(gè)類似的角呢？△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角，叫作△ABC的外角.外角的一條邊是該內(nèi)角的一邊外角的另一條邊是該內(nèi)角另一邊的反向延長(zhǎng)線外角的頂點(diǎn)是該內(nèi)角的頂點(diǎn)【探究1】探究三角形的外角與內(nèi)角的等量關(guān)系探究新知如圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角.問(wèn)題

你能在圖中畫出△ABC的其他外角嗎?BCAD4231每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角.每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.∠1與其他角有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.BCAD4231∠1+∠4=180°，思考·交流∠1=∠2+∠3，∠1>∠2，∠1>∠3.證明如下：∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形內(nèi)角和定理)，BCAD4231∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性質(zhì))，∵∠1+∠4=180°(平角的定義)，∴∠1=180°-∠4(等式的基本性質(zhì))，∴∠1=∠2+∠3(等量代換)，∴∠1>∠2，∠1>∠3.(1)如圖，∠1是由△ABC的邊_____和△ABC的邊_____的延長(zhǎng)線組成的，故∠1是△ABC的一個(gè)______角．CBAB外試一試(2)①△ABC的外角是_______，△DEC的外角是______；(均用數(shù)字表示角)②∠3＋∠4＋∠CBA＝_______；③∠1與∠3，∠4的等量關(guān)系是_______________．∠1∠3180°∠1＝∠3＋∠4由三角形內(nèi)角和定理，可以得到推論

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【例1】(1)如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝120°，則∠C的度數(shù)是

()A．60°

B．70°

C．80°

D．90°B(2)如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為_(kāi)_____．48°【例2】(1)將一副直角三角尺如圖放置，使兩直角邊重合，則∠α的度數(shù)為

()A．75°

B．105°

C．135°

D．165°D(2)如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B＝_______．95°【探究2】探究三角形的外角與內(nèi)角的不等關(guān)系①如右圖，可得∠1____∠3＋∠4，②∠1與∠3的大小關(guān)系是_________，∠1與∠4的大小關(guān)系是__________．推論三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.＝∠1>∠3∠1>∠4【例3】(1)如圖，下列結(jié)論正確的是()A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠B

D．∠1＞∠2＞∠B

D(2)如圖，下列結(jié)論：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B＋∠D；③∠B＋∠ACB＜180°；④∠AHE＞∠B.其中正確的是________．(填序號(hào))②③④應(yīng)用舉例例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求證：AD∥BC.CBADE【方法指導(dǎo)】要證明AD∥BC，只需證明“同位角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”．證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，∠B=∠C，CBADE

∵AD平分∠EAC，

∴∠DAC=∠C.∴AD∥BC.還有其他證法嗎?證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，∠B=∠C(已知)

，CBADE

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠B，∴AD∥BC.例2如圖，在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度數(shù)．【方法指導(dǎo)】先利用外角性質(zhì)得到∠3＝∠1＋∠2，然后根據(jù)題目條件得出∠4＝2∠2，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果．解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠2.又∵∠4＝∠3，∴∠4＝2∠2.設(shè)∠2＝x°，則∠4＝2x°.在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，∴x°＋2x°＋78°＝180°，解得x＝34.∴∠3＝∠4＝68°.∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝44°.例3已知：如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.求證：∠BPC>∠A.分析：你學(xué)過(guò)哪些關(guān)于角的不等關(guān)系的定理?這里能直接使用嗎?你遇到的困難是什么?你能通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出直接使用相關(guān)定理的圖形嗎?三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.不能直接使用，∠BPC與∠A不是同一個(gè)三角形的內(nèi)、外角.BACP證明：如圖，延長(zhǎng)BP，交AC于點(diǎn)D.BACPD∵∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角的定義)，∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角(外角的定義)，∴∠PDC>∠A(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).

∴∠BPC>∠A.還有其他證法嗎?有.證明：如圖，連接AP，并延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，BACPD∵∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，∴∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，即∠BPC>∠BAC.歸納總結(jié)三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角推論三角形的外角三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和隨堂練習(xí)1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上(不與端點(diǎn)重合)，連接BD.則∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是

()A．∠1＜∠2＜∠3B．∠3＜∠1＜∠2C．∠3＜∠2＜∠1D．∠2＜∠1＜∠3A2.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定C3.如圖，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度數(shù).BCAD解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°，∴∠B=55°.∵∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°，∴∠ACB=80°.4.如圖，∠1，∠2，∠3是△ABC的三個(gè)外角，那么∠1，∠2，