禮樂中學(xué)2024—2025學(xué)年度高二適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一個蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飛出去找回了個伙伴；第天，只蜜蜂飛出去，各自找回了個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，第天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為，則數(shù)列成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以算出第天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中蜜蜂的數(shù)量．【詳解】設(shè)第天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為，根據(jù)題意得：數(shù)列成等比數(shù)列，它的首項(xiàng)為，公比，所以的通項(xiàng)公式：，到第天，所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理以及等比數(shù)列的知識，屬于基礎(chǔ)題.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.3.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若，，成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)和為（）A. B. C.3 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，列方程可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，又，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列前6項(xiàng)的和為.故選：A4.已知一個等比數(shù)列的前項(xiàng)和?前項(xiàng)和?前項(xiàng)和分別為??，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對學(xué)生的抽象和邏輯思維能力要求比較高。

【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，對于A,當(dāng)時，故A錯，對于B,當(dāng)時，，故B錯，對于C,當(dāng)時，，故C錯，對于D,當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，故選項(xiàng)正確，故選：D5.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書是有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A.10 B.15 C.20 D.15【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式求解．【詳解】設(shè)最小的一份為個，公差為，，，由題意，解得．故選：A．6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共持了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈（）A.81盞 B.112盞 C.162盞 D.243盞【答案】D【解析】【分析】本題為等比數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求出答案．【詳解】解：由題意，設(shè)塔的從上往下第層共有燈盞，∴數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合已知條件，即得答案.【詳解】由，得，故由，得，故選：B8.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.110【答案】A【解析】【詳解】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點(diǎn)睛:本題非常巧妙地將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.其中兩個選項(xiàng)的選對一個3分，三個選項(xiàng)的選對一個2分，全部選對的得6分，有選錯的得0分.9.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù).下列數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A.36 B.289 C.1225 D.1378【答案】AC【解析】【分析】由題意，整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，則第三角形數(shù)為；正方形數(shù)可看作，，，，，則第個正方形數(shù)為；對于A，令，解得，令，解得，故A正確；對于B，令，解得，令，其解顯然不是正整數(shù)，故B錯誤；對于C，令，解得，令，解得，故C正確；對于D，令，顯然其解布置正整數(shù)，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則下列命題正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.設(shè)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和小于D.若，則滿足條件的最大整數(shù)n的值為100【答案】ABC【解析】【分析】對于AB，由已知可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解判斷；對于C，利用，放縮法可判斷；對天D，求根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和常數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)，即可求解判斷.【詳解】對于AB，由題意，數(shù)列滿足，可得，可得，即，又由，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列.所以，所以，所以，故AB正確；對于C，由，可得，所以，因?yàn)?，所以（等號成立），所以，故C正確；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于把已知式取倒數(shù)變形為，可得數(shù)列是等比數(shù)列.11.下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABC【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則即可依次判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤對于D，，故D正確.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【答案】-8【解析】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則__________．【答案】【解析】【詳解】，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，∴，∴，或，，∴，或，，∴或，故答案為.14.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f(e)＝__________.【答案】【解析】【分析】利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中得到關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，最后將代入解析式即可.【詳解】求導(dǎo)得，把代入得：，解得：，∴，故答案為.【點(diǎn)睛】本題要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則，學(xué)生在求的導(dǎo)函數(shù)時注意是一個常數(shù)，這是本題的易錯點(diǎn)．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，即可得切線方程.【小問1詳解】由題意可得：，所以這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.【小問2詳解】由（1）可得：，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以所求切線方程為，即.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（1）（2）或21【解析】【分析】（1）由等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量列方程組求解即可.（2）首先由得公比，結(jié)合得公差，由此即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由得：，解得（舍去），，于是.小問2詳解】由得，解得或當(dāng)時，由得，∴；當(dāng)時，由得，∴，綜上所述，故或21.17.設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)時，，作差即可求解，（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，①故?dāng)時，．②①②得，所以．又當(dāng)時，符合，從而的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】記的前n項(xiàng)和為，由（1）知，則．18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將化為，利用等比數(shù)列定義，即可求得答案；（2）求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【小問1詳解】證明：由，得，又，故，故，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以．19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用基本量法即可求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法