專題12直線與圓目錄01析·考情精解 202構(gòu)·知能框架 303破·題型攻堅(jiān) 4考點(diǎn)一直線 4真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1直線方程的五種形式知識(shí)2對(duì)稱問(wèn)題知識(shí)3直線系方程命題預(yù)測(cè)題型1直線方程、過(guò)定點(diǎn)及與坐標(biāo)系圍成的面積問(wèn)題題型2直線與圓涉及的對(duì)稱問(wèn)題考點(diǎn)二圓 23真題動(dòng)向必備知識(shí)知識(shí)1直線與圓的位置關(guān)系判斷知識(shí)2兩圓位置關(guān)系的判斷命題預(yù)測(cè)題型1直線與圓涉及距離最值問(wèn)題題型2直線與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)題型3圓與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)命題軌跡透視平面解析幾何中直線與圓是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是考查考生學(xué)科素養(yǎng)的重要載體,高考對(duì)解析幾何的考查一般以課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境為主,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的考查，主要考查圓與方程,直線位置關(guān)系及其綜合問(wèn)題,主要考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力,從近三年的高考試題來(lái)看，本專題考查內(nèi)容覆蓋直線、圓,突出考查考生理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)考點(diǎn)頻次總結(jié)考點(diǎn)2025年2024年2023年直線T12，5分圓T12，5分T12，5分T12，5分2026命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)在2026年高考中，題型與分值：填空12題(5分)仍是主場(chǎng)，難度中低，突出幾何直觀與快速計(jì)算；解答題或與圓錐曲線、向量等小綜合，難度適中。基礎(chǔ)方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)/一般方程互化，求圓心、半徑；直線方程(點(diǎn)斜、斜截、一般式)快速書寫與應(yīng)用。位置關(guān)系：判斷直線與圓(相交/相切/相離)，求參數(shù)；弦長(zhǎng)計(jì)算(勾股+距離公式)、切線方程(過(guò)圓上/外點(diǎn))、圓上點(diǎn)到直線的最值(d±r)。綜合應(yīng)用：與向量(數(shù)量積、模)結(jié)合；與圓錐曲線(拋物線焦點(diǎn)/準(zhǔn)線、橢圓離心率)小綜合；新情景(光的反射、運(yùn)動(dòng)軌跡、實(shí)際距離)轉(zhuǎn)化為直線與圓問(wèn)題。強(qiáng)調(diào)幾何法優(yōu)先，減少?gòu)?fù)雜聯(lián)立計(jì)算，重圖形與性質(zhì)應(yīng)用。增加動(dòng)態(tài)問(wèn)題：動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)、動(dòng)圓半徑/圓心變化，求參數(shù)范圍或最值。滲透數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論，提升思維考查權(quán)重?？键c(diǎn)一直線1．（2024·天津·高考真題，12，5分）已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的距離為．【答案】/【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即，故原點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：2．（2023·天津·高考真題，9，5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因?yàn)?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D3．（2007·天津·高考真題，18，15分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)O到直線的距離為．(1)證明；(2)求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于兩點(diǎn)，則．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）由題設(shè)及，，不妨設(shè)，所以，，解得，從而，直線的方程為，整理得，原點(diǎn)O到直線的距離為，將代入整理得，即；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線的斜率為，則，，所以，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，切線方程為或滿足上式，所以圓上任意點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，圓上任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩點(diǎn)個(gè)不同的點(diǎn)，因此是方程組即的解，當(dāng)時(shí)，由得代入得，即，于是，，若，則，所以，由得，在區(qū)間內(nèi)此方程的解為，當(dāng)時(shí)，必有，同理可得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為，另一方面，時(shí)，，從而，綜上所述，使得命題成立，4．（2006·天津·高考真題，12，5分）若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線相切，則這個(gè)圓的方程為．【答案】【詳解】由題意可設(shè)圓心，∵圓與射線相切，則，解得或（舍去），即圓心為，故圓的方程為.故答案為：.5．（2005·天津·高考真題）某人在一山坡P處觀看對(duì)面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），圖中所示的山坡可視為直線且點(diǎn)在直線上，與水平地面的夾角為，，試問(wèn)此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高）【答案】此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角最大【詳解】試題分析試題解析：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．直線的方程為，即．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，．由直線到直線的角的公式得（）要使達(dá)到最大，只須達(dá)到最?。删挡坏仁剑?dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)．故當(dāng)時(shí)最大．這時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．由此實(shí)際問(wèn)題知，，所以最大時(shí)，最大．故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角最大．6．（2006·天津·高考真題，12，5分）設(shè)直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，則=.【答案】0【詳解】解：由直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，可得圓心到弦的距離為1，可得，故答案：0知識(shí)1直線方程的五種形式1.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2．求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）3．線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．4．兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.5.三種距離①兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離②點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離③兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．④雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．知識(shí)2對(duì)稱問(wèn)題①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為②點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．③直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．④直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程⑤常見(jiàn)的一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．知識(shí)3直線系方程過(guò)定點(diǎn)直線系過(guò)已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系過(guò)直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．【易錯(cuò)提醒】在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求算.求有關(guān)截距相等問(wèn)題時(shí)易忽略截距為零的情況（直線截距式的考點(diǎn)）況題型1直線方程、過(guò)定點(diǎn)及與坐標(biāo)系圍成的面積問(wèn)題1．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直線的斜截式方程求出直線的斜率，最后根據(jù)直線斜率與直線傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】直線的斜率為1，則直線的傾斜角為.故選：A.2．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)，由，以及斜率公式解方程組可得，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，結(jié)合的關(guān)系，求得，即可得離心率.【詳解】由題意，，設(shè)，則，，因?yàn)樵c(diǎn)O在以線段為直徑的圓上，可得，所以，即①，又直線的斜率，可得②，聯(lián)立①②可得，即，又點(diǎn)在雙曲線上，可得，又，解得，所以.故選：B.3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)圓心到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為．【答案】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)以及圓心的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大時(shí)，求出直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】對(duì)于拋物線，則，，所以，故其焦點(diǎn)為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.4．（2025·天津·二模）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線l，直線l與雙曲線的一條漸近線平行，若雙曲線上一點(diǎn)M到雙曲線左、右焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.【答案】/0.75【分析】判斷出在圓上，得到切線方程，從而，結(jié)合雙曲線定義得到，求出雙曲線方程為，設(shè)，則，由點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】由于，故在圓上，其中，由垂直關(guān)系可得切線l的斜率為，由漸近線方程的斜率為得，由雙曲線定義可知，解得，故，雙曲線方程為，兩漸近線方程為，設(shè)，則，點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.故答案為：5．（2025·天津河西·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓：，過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)，依題意可得，求得直線的斜率為可得其方程.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，如下圖所示：若為的中點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，易知，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.故答案為：6．（2025·天津·二模）以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓與直線相交于，兩點(diǎn)，則.【答案】【分析】根據(jù)題意寫出圓心，再根據(jù)圓心與圓上一點(diǎn)的距離為半徑寫出圓的方程，根據(jù)圓截直線的弦長(zhǎng)求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，即圓心為，且圓過(guò)點(diǎn)，則，所以圓的方程為.圓心到直線的距離，圓截直線的弦長(zhǎng)為.故答案為：.7．（2025·天津河?xùn)|·二模）軸，軸上的截距分別為的直線與圓交于兩點(diǎn)，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)條件，得直線方程為，再利用圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由題知直線方程為，即，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，所以，故答案為：.8．（2025·天津和平·二模）已知點(diǎn)P，Q在直線l：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H在圓C：上，且有，則的面積的最大值為.【答案】3【分析】利用圓的性質(zhì)求出點(diǎn)到直線距離的最大值，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】圓C：的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以的面積的最大值為.故答案為：39．（2025·天津和平·二模）若，直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；若，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A10．（2025·天津南開·一模）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)為的焦點(diǎn)，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)已知可得，進(jìn)而有、，寫出，求圓心到直線距離，再應(yīng)用圓中弦長(zhǎng)的幾何求法求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為，則，故，由準(zhǔn)線與圓相切且圓心，易知，所以，即，故到的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：題型2直線與圓涉及的對(duì)稱問(wèn)題11．（2026·天津·調(diào)研）已知橢圓（）的右頂點(diǎn)為A，已知點(diǎn)，，且的面積為.(1)求橢圓的離心率；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），且平分，求橢圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)列方程可得，進(jìn)而求解即可；（2）由（1）可得，，，橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合題意可求得，進(jìn)而得到直線的方程，根據(jù)平分可得點(diǎn)到直線的距離也為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意，，，，的面積為，則，即，所以橢圓的離心率為.（2）由（1）知，則，而，即，則，則，則橢圓的方程為，即.易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，即，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓有唯一交點(diǎn)，所以，即，則，解得，則，所以，，即，，所以直線的方程為，即，因?yàn)槠椒郑贮c(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，所以，所以，所以橢圓方程為.

12．（2026·天津和平·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在曲線上，則的最大值為.【答案】【分析】曲線表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，表示點(diǎn)與連線的斜率，作出圖形，可知當(dāng)直線與半圓相切時(shí)的斜率即得解.【詳解】對(duì)變形為，是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，即點(diǎn)在右半圓上，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與連線的斜率，設(shè)直線斜率為，直線方程為，即，可知當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，直線斜率取到最大值，則，整理可得，解得或（舍去），所以的最大值為.故答案為：.13．（2026·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知直線的方程是：，且圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則的取值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算圓心到直線的距離為，根據(jù)圓上點(diǎn)到直線的距離等于2的個(gè)數(shù)為3個(gè)，可得，根據(jù)關(guān)系式計(jì)算即可；【詳解】因?yàn)閳A上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于2，所以只需要圓心到直線的距離為2即可，直線方程為:，所以圓心到直線的距離為:，解得，故當(dāng)時(shí),圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于2．故選：D14．（2026·天津·月考）已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解即可．【詳解】已知點(diǎn)、到直線的距離相等，根據(jù)距離公式可得，也即，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，也即，顯然不成立，故．故選：D．15．（2025·寧夏石嘴山·月考）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】利用給定條件得到關(guān)于的方程，結(jié)合因式分解法得到它們的關(guān)系，再結(jié)合條件并利用雙曲線中基本量的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，故，即，得到，解得或，因?yàn)?，所以符合題意，此時(shí)，故.故答案為：216．（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）以下結(jié)論：①在空間，若，則四點(diǎn)必共面；②在平面直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)的距離為1，到點(diǎn)的距離為2的直線有且僅有2條；③在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到直線的距離相等，則；④在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)此軌跡為C，在軌跡C上存在點(diǎn)，使得；其中說(shuō)法正確的序號(hào)是.【答案】①②【分析】①由空間向量共面定理即可判斷；②點(diǎn)到線的距離為定值的直線可以看作以這個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，距離為半徑作圓的切線，判斷圓與圓的關(guān)系后確定公切線的條數(shù)即可；③由點(diǎn)到線的距離公式建立等量關(guān)系，解得參數(shù)值；④設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)由題意建立等量關(guān)系化簡(jiǎn)得到軌跡方程，然后設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，由題意建立方程，解方程，有解即存在，無(wú)解即不存在.【詳解】①因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)必共面，①正確；②設(shè)圓，圓，，所以圓與圓相交，則圓與圓的公切線有且只有2條，所以到點(diǎn)的距離為1，到點(diǎn)的距離為2的直線有且僅有2條，②正確；③由題設(shè)可得，即，則或，解得或，③錯(cuò)誤；④設(shè)，則，整理得，即，設(shè)，則即，，∵，∴，即，整理得，將代入方程可得：，則，故不存在這樣的點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故答案為：①②17．（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離為2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.【答案】【分析】根據(jù)題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于2，列式運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)閳A上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，即，解得.故答案為：.18．（2025·天津河西·月考）已知直線，.(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立方程求解即可.（2）聯(lián)立求出直線交點(diǎn)，再分類討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，求解即可.【詳解】（1）設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，則，解得或；（2）由解得，即m與n的交點(diǎn)為.當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，所以直線l的方程為；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.考點(diǎn)二圓1．（2025·天津·高考真題，12，5分），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與交于C、D兩點(diǎn)，，則．【答案】2【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出，再計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式列等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.2．（2023·天津·高考真題，12，5分）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線均關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線均關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．3．（2005·天津·高考真題）給出下列三個(gè)命題：①若，則；②若正整數(shù)m和n滿足，則；③設(shè)為圓上任一點(diǎn)，圓以為圓心且半徑為1．當(dāng)時(shí)，圓與圓相切．其中假命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題應(yīng)對(duì)每個(gè)命題作出準(zhǔn)確判斷，①考查不等式性質(zhì)，通分對(duì)分子做差判斷正負(fù)即可；②用基本不等式判斷；③考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是找出點(diǎn)P（x1，y1）與點(diǎn)Q（a，b）的位置關(guān)系.【詳解】解：①a≥b＞﹣1時(shí)，由于a（1+b）﹣b（1+a）＝a﹣b≥0，故≥成立，所以①為真命題；②由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以②為真命題；③中P（x1，y1）為圓O1：x2+y2＝9上任一點(diǎn)，（a﹣x1）2+（b﹣y1）2＝1表示P（x1，y1）Q（a，b）兩點(diǎn)間的距離為1，又圓O2以Q（a，b）為圓心且半徑為1，所以圓O2與圓O1有公共點(diǎn)，但不一定相切.故③是假命題.故選：B4．（2022·天津·高考真題，12，5分）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為．【答案】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)?，解?故答案為：.5．（2004·天津·高考真題，6，5分）若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由垂徑定理可知，，可得直線斜率，及直線方程.【詳解】由圓，得，，由垂徑定理可知，所以直線斜率滿足，即，所以直線的方程為：，即，故選：D.6．（2021·天津·高考真題，12，5分）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.7．（2020·天津·高考真題，12，5分）已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式，即可求得．【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．8．（2010·天津·高考真題，12，5分）已知圓的圓心是直線（為參數(shù)）與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，則圓的方程為【答案】【分析】根據(jù)直線的普通方程可得圓心坐標(biāo)，由直線與圓相切可求得半徑，進(jìn)而得圓的方程.【詳解】直線（為參數(shù)）消參得，令得，所以圓心為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以=，所以圓的方程為；故答案為：知識(shí)1直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．知識(shí)2兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210常用結(jié)論（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（4）求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形符合題意．【易錯(cuò)提醒】①求有關(guān)圓的切線問(wèn)題易混淆“在”“過(guò)”（求有關(guān)圓的切線問(wèn)題）②忽略斜率是否存在（與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問(wèn)題）題型1直線與圓涉及距離最值問(wèn)題1．（2025·天津靜海·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最大值為，求取值范圍為.【答案】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出圓心坐標(biāo)與半徑，記圓心為，又表示點(diǎn)到的距離的平方，求出，即可求出的最大值，令，再由圓心到直線的距離，求出的取值范圍.【詳解】圓，即，記圓心為，半徑，點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，表示點(diǎn)到的距離的平方，又，所以，所以的最大值為；令，則，即，又直線與圓：有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，整理得，解得，即取值范圍為.故答案為：；.2．（2025·天津南開·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)直線上一點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交曲線于點(diǎn)，和，，求的最大值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得到方程，化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)得到的軌跡方程，將其與的方程作差即可得到直線方程，整理即可得到其過(guò)定點(diǎn)；（3）設(shè)的方程為，將其的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法，計(jì)算出的表達(dá)式，用替換即可得到表達(dá)式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可.【詳解】（1）設(shè)，由得，，化簡(jiǎn)得，，所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）由（1）知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓．設(shè)的坐標(biāo)為，則．由平面幾何知識(shí)知，，所以以為圓心，為半徑的圓為，即，與的方程相減得，即為直線的方程．又，所以直線的方程化為．則有，解得，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．（3）當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，此時(shí)，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，此時(shí)，則根據(jù)弦長(zhǎng)的連續(xù)性可知．當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，．當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為，則的方程為．聯(lián)立得，，設(shè)，則，則用替換得．所以．設(shè)，則，且，其圖象為一段圓?。?dāng)時(shí)，令，即直線，作出圖形，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，有最大值為．3．（2025·天津南開·開學(xué)考試）已知，以下結(jié)論正確的有（

）①②的最大值為26③的最大值是A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】先把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，再借數(shù)形結(jié)合思想，可求解并作出判斷.【詳解】由，因?yàn)榭煽闯蓤A上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率，再結(jié)合圖形可得：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線，由相切可得：，解得：或，所以由圖可得斜率范圍，即，故①正確；因?yàn)?，所以，而，所以，故②正確；因?yàn)?，所以，而可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之差，如圖：由，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是,故③正確；故選：D4．（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①曲線圍成的圖形的面積為；②的最小值為；③點(diǎn)到直線的距離的最大值為；④曲線有且僅有4條對(duì)稱軸A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】先分的范圍得出曲線的方程，再應(yīng)用圖象數(shù)形結(jié)合分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榍€，當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為.曲線的圖象如圖所示：

由圖可知，曲線圍成的圖形的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積的和，從而曲線圍成的圖形的面積為，故①正確；表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圖可知當(dāng)（且）與直線相切時(shí)取得最小值，設(shè)切線為，則，解得或（舍去），所以的最小值為，故②正確；點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖象可知點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故③錯(cuò)誤；由曲線的圖像可知，曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸，分別是軸、軸、第一、三象限角平分線以及第二、四象限角平分線，故④正確；故選：B5．（2025·天津·月考）已知圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，最小值是，則.【答案】【分析】求出圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得的值.【詳解】可化為，圓心，半徑，圓心到直線的距離，則直線與圓相離，故，，則.故答案為：6．（2025·天津·月考）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線方程和曲線方程，判斷面積最大時(shí)的情況，進(jìn)而列出直線滿足的條件，列出方程，求出參數(shù)即可.【詳解】由，則，，即，所以曲線，是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的上半部分，如圖.

可知，因?yàn)?，則當(dāng)面積取最大值時(shí)，，即，半圓的圓心為，半徑，此時(shí)，所以圓心到直線的距離為.設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，，圓心到直線的距離，解得，因?yàn)?，所?故選：C.7．（2025·天津?yàn)I海新·月考）設(shè)直線則直線恒過(guò)定點(diǎn)；若過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則最大值為.【答案】【分析】將直線變形為，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)；分析可得點(diǎn)H的軌跡是以原點(diǎn)O和定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，求出圓心和半徑，根據(jù)表示圓上的點(diǎn)H與原點(diǎn)O距離的平方，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分析求解，即可得答案.【詳解】由題意，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)為；因?yàn)?，所以點(diǎn)H的軌跡是以原點(diǎn)O和定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，則圓心為，半徑，所求表示圓上的點(diǎn)H與原點(diǎn)O距離的平方，即因?yàn)辄c(diǎn)H到原點(diǎn)O的距離最大值為圓心到原點(diǎn)O的距離加上半徑r，所以，所以的最大值為.故答案為：；8．（2025·天津河?xùn)|·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題通過(guò)分析直線過(guò)定點(diǎn)及垂直關(guān)系確定交點(diǎn)軌跡，再結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求距離最大值.【詳解】整理，得，故過(guò)定點(diǎn).整理，得，故過(guò)定點(diǎn).因與垂直（因?yàn)椋?，故的軌跡是以和為直徑端點(diǎn)的圓.圓心為兩點(diǎn)中點(diǎn)：.半徑為兩點(diǎn)距離的一半：.即的軌跡方程為.圓，其圓心，半徑.兩圓心與的距離為.的最大值為兩圓心距離加上軌跡圓的半徑和圓的半徑，即.故選：C.9．（2025·天津·開學(xué)考試）已知：，點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)B在上，則面積的最大值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】分析易得在的延長(zhǎng)線上，且在圓上時(shí)，面積最大，進(jìn)而求解即可.【詳解】由：，即，則圓心，半徑為，因?yàn)?，，則，，又，則，即，要使面積最大，則在延長(zhǎng)線上，且在圓上，如圖，此時(shí)，則面積的最大值為.故選：B.10．（2025·天津·月考）已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，在中，，則面積的最大值為.【答案】【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，再求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而可得點(diǎn)在或時(shí)，三角形的面積最大，從而結(jié)合三角形的面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)B的坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，設(shè)，因?yàn)?，即，可得，整理可得，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以圓心為，半徑為的圓（x軸上的點(diǎn)除外），當(dāng)點(diǎn)在或時(shí)，三角形的面積最大，，所以面積的最大值為.故答案為：.題型2直線與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)11．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心到直線的距離，以及圓的半徑，利用勾股定理可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，解得.故選：A.12．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交與，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線方程：(3)已知實(shí)數(shù)，滿足圓的方程，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或.(3).【分析】（1）由題意知到直線的距離為圓C的半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求解；（2）求得圓心到直線的距離，分斜率是否存在兩種情況計(jì)算可得結(jié)論；（3）利用目標(biāo)式的幾何意義，求出圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值即可求出范圍.【詳解】（1）由題意知點(diǎn)到直線的距離為圓C的半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，所以圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€與圓相交與，兩點(diǎn)，且，利用垂徑定理和勾股定理，可得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.（3）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，又圓心C到點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以的最小值為9，最大值為49，即的取值范圍是.13．（2025·天津南開·月考）已知直線與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段的長(zhǎng)為.【答案】4【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)勾股定理求出弦長(zhǎng).【詳解】圓的方程化簡(jiǎn)為，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.所以圓心到直線的距離為，根據(jù)勾股定理得，所以.故答案為：4.14．（2026·天津南開·月考）已知圓和圓，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．圓與軸相切B．兩圓公共弦所在直線的方程為C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作兩條與兩圓都相切的直線D．兩圓的公切線段長(zhǎng)為【答案】C【分析】先求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】將圓和圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓和圓，所以兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為.因?yàn)榕c軸的距離為1，小于該圓的半徑2，所以圓與軸不相切，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公共弦所在直線方程為兩個(gè)圓的方程相減，得到方程，即，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓤A的位置關(guān)系是相交，所以有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作兩條與兩圓都相切的直線，C正確；根據(jù)勾股定理可得，公切線段長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤；故選：C.15．（2026·天津紅橋·月考）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射光線所在的直線方程為.【答案】或【分析】設(shè)出反射光線斜率，得出反射光線方程，利用圓心到反射光線的距離為半徑建立關(guān)系可求得斜率，得出方程.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，圓的圓心，半徑，由光的反射定律知，反射后光線所在的直線過(guò)點(diǎn)，顯然該直線斜率存在，設(shè)反射光線所在的直線方程為，即，由反射光線與圓相切，得，解得或，所以反射光線所在的直線方程為或.故答案為：或16．（2026·天津紅橋·月考）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求常數(shù)(2)已知斜率為的直線與圓交于、兩點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圓的一般方程，得到圓心和半徑，根據(jù)題意可得圓心在直線上，進(jìn)而可求出值；（2）先由題意設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程，由于則，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）圓圓心為,因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱；所以圓心在直線上；所以，解得（2）由（1）知圓，設(shè)直線的方程為，；聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得到；則，則；因?yàn)?，所以，即，解得；所以直線的方程為.17．（2026·全國(guó)·調(diào)研）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．【答案】/【分析】由圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：.18．（2026·天津津南·月考）若曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】表示位于軸上方的單位圓，包含，直線過(guò)定點(diǎn)，求出直線與圓相切時(shí)的值，數(shù)形結(jié)合得到答案【詳解】?jī)蛇吰椒降?，表示位于軸上方的單位圓，包含，直線過(guò)定點(diǎn)，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出圖形如下：

當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，當(dāng)與相切時(shí)，圓心到的距離為，解得，由對(duì)稱性可知，當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型3圓與圓位置關(guān)系綜合求參數(shù)19．（2026·天津津南·月考）直線：是圓：的一條對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)直線過(guò)圓心求出，然后可得直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，由題意可知，直線經(jīng)過(guò)圓心，所以，解得，所以，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：20．（2026·天津津南·月考）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再求出過(guò)且與已知圓相切的直線的斜率即為反射光線所在直線的斜率.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心為，半徑為.設(shè)過(guò)且與已知圓相切的直線的斜率為，則切線方程為即，所以圓心到切線的距離為，解得或，故選：B.21．（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是.①點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；②圓和圓的公共弦長(zhǎng)為；③的取值范圍為；【答案】②【分析】求出圓心和半徑，再結(jié)合中垂線知識(shí)可判斷①；先求出公共弦，再利用弦長(zhǎng)公式可判斷②；由題意可知，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而可判斷③.【詳解】對(duì)于①，圓的圓心是，半徑是，圓即的圓心是，半徑是，則兩圓心連線的中點(diǎn)為，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)在直線上