專題10向量三大定理與四心目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01重心及三角形的外接圓與外心題型02垂心及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心題型03平面向量中等和線的應(yīng)用題型04平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題題型05平面向量的數(shù)量積運(yùn)算題型06平面向量的投影、投影向量第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01重心及三角形的外接圓與外心【例1-1】（2025·天津·聯(lián)考）在中，分別是角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為（

）①若，則是等腰三角形；②若，三角形面積，則三角形外接圓半徑為；③若點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則；④在中，若有解，則的取值范圍是.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)①，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式，得，即可求解；對(duì)②，利用三角形面積公式及余弦定理求出，再利用正弦定理即可求解；對(duì)③，取中點(diǎn)，根據(jù)條件，利用向量的中線公式得到三點(diǎn)共線，且，即可求解；對(duì)于④，利用正弦定理，即可求解.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，且，則，所以①正確，對(duì)于②，由題知，又，所以，解得，又，得到，又由正弦定理知（其中是三角形外接圓半徑），所以，解得，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，如圖，取中點(diǎn)，因?yàn)?，又，所以，即，所以三點(diǎn)共線，且，又共底邊，所以，故③正確，對(duì)于④，由正弦定理知，得到，所以，又因?yàn)橛薪猓?，則，得到，故④錯(cuò)誤，故選：B.【例1-2】（2025·天津·聯(lián)考）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確個(gè)數(shù)是（

）①若，則定為等腰三角形②若，則一定是銳角三角形③若點(diǎn)M是邊BC上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的④若平面內(nèi)有一點(diǎn)O滿足：，且，則為等邊三角形⑤若，則點(diǎn)是的內(nèi)心A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式求解判斷①；利用余弦定理推理判斷②；利用向量線性運(yùn)算判斷③；利用三角形心的向量表示判斷④；利用向量數(shù)量積判斷⑤即可得解.【詳解】對(duì)于①，在中，由，得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由及余弦定理，得，則為銳角，而是否為銳角不確定，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，得，即，則，的面積是面積的，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，得是的重心，由，得是的外心，即的重心、外心重合，則為等邊三角形，④正確；對(duì)于⑤，由，得，則，則，則，即平分，由，同理得平分，因此點(diǎn)O是的內(nèi)心，⑤正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選：B一、三角形的四心定義外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)為三角形的外心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；內(nèi)心：三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等；重心：三角形三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，重心為中線的三等分點(diǎn)；垂心：三角形三邊上的高或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為三角形的垂心；二、三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等．重要結(jié)論：（1）設(shè)點(diǎn)是△所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)是△的重心時(shí)，有或（其中為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）；（2）在向量的坐標(biāo)表示中，若、、、分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為、、，，則有.三、三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．注：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．重要結(jié)論：若點(diǎn)是△的外心，則或；反之，若或，則點(diǎn)是△的外心?！咀兪?-1】（2024·天津·三模）已知三個(gè)不共線的向量，，滿足，則O為的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算判斷出分別在的角平分線上，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，取，則，且分別與同向，，又，所以，而是以為底的等腰三角形，因此在的角平分線上，同理分別在的角平分線上，所以O(shè)為的內(nèi)心.故選：A【變式1-2】（2025·天津·聯(lián)考）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確個(gè)數(shù)是（

）①若，則定為等腰三角形②若，則一定是銳角三角形③已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則k的取值范圍是④若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)判斷①；利用余弦定理判斷②；利用向量夾角判斷③；利用數(shù)量積的定義推理判斷④即可得解.【詳解】對(duì)于①，在中，由，得或，即或，則是等腰或直角三角形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由，得，則是銳角，而無(wú)條件能說(shuō)明都是銳角，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，向量與同向，其夾角為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，得，則，而，于是，平分，由，得平分，因此點(diǎn)O是的內(nèi)心，④正確，所以四個(gè)命題中正確個(gè)數(shù)是1.故選：A【變式1-3】（2026·天津·月考）點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.【答案】2【分析】根據(jù)的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點(diǎn)、角平分線的交點(diǎn)、中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進(jìn)而判斷每個(gè)命題的正誤.【詳解】①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，則點(diǎn)P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點(diǎn)A到邊的距離，設(shè)為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，的垂心與點(diǎn)A重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)P不滿足公式，所以④不正確；故答案為：2.題型02垂心及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心【例2-1】（2025·天津靜?！ぴ驴迹┮阎膬?nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確個(gè)數(shù)是（

）①若，則定為等腰三角形②若，則一定是銳角三角形③若點(diǎn)M是邊BC上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的④若平面內(nèi)有一點(diǎn)O滿足：，且，則為等邊三角形⑤若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式求解判斷①；利用余弦定理推理判斷②；利用向量線性運(yùn)算判斷③；利用三角形心的向量表示判斷④；利用向量數(shù)量積判斷⑤即可得解.【詳解】對(duì)于①，在中，由，得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由及余弦定理，得，則為銳角，而是否為銳角不確定，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，得，即，則，的面積是面積的，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，得是的重心，由，得是的外心，即的重心、外心重合，則為等邊三角形，④正確；對(duì)于⑤，由，得，則，平分，由，同理得平分，因此點(diǎn)O是的內(nèi)心，⑤正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選：B【例2-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）是平面上一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心【答案】D【分析】取線段的中點(diǎn)，則，依題可得，即可得答案.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則.動(dòng)點(diǎn)滿足：，，則，即，所以，又，所以三點(diǎn)共線，則直線一定通過(guò)的重心.故選：D.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．重要結(jié)論：若點(diǎn)是△的內(nèi)心，則有；反之，若，則點(diǎn)是△的內(nèi)心．垂心三角形三邊上的高或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為三角形的垂心.重要結(jié)論：若是△的垂心，則或，反之，若或，則是△的垂心．【變式2-1】（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知中，所對(duì)的邊為若為所在平面內(nèi)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①若，則為三角形的重心；②若，則點(diǎn)是的垂心；③若是的外心，則；④若是的內(nèi)心，則.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形垂心，重心，外心，內(nèi)心的定義和性質(zhì)結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算和共線定理，分別推導(dǎo)即可.【詳解】對(duì)于①：若，即，所以，即，所以為三角形的重心，故①正確；對(duì)于②：由，得，即，則，所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心，故②正確；對(duì)于③：若為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，，，，故，同理，，又，即.所以，即，故③正確；其中（奔馳定理）的證明如下：如圖延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則所以，又，又，所以，所以，所以，對(duì)于④：當(dāng)為三角形的內(nèi)心，為三角形的角平分線，則，，如圖過(guò)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形所以，即，故④正確；故選：D【變式2-2】（2025·天津?yàn)I海新·一模）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，故選：B【變式2-3】（2026·天津·聯(lián)考）在中，非零向量、、滿足，則點(diǎn)是的（

）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】分別取、、的中點(diǎn)、、，分析出為三條底邊上中線的交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、，，所以，，所以，，故、、三點(diǎn)共線，即，同理可知，，即為三條底邊上中線的交點(diǎn)，因此，為的重心.故選：C.題型03平面向量中等和線的應(yīng)用【例3-1】（2025·天津和平·聯(lián)考）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，記（），則．

【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和共線定理求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以，解得，所以，所以，，，故答案為：【例3-2】（2025·天津·月考）在中，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，且，P為上一點(diǎn)，向量，則的最小值為（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】B【分析】由三點(diǎn)共線及平面向量基本定理得的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為16.故選：B.一、平面向量共線定理已知，若，則A，B，C三點(diǎn)共線，反之亦然.二、等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，；當(dāng)直線AB在點(diǎn)O與等和線之間時(shí)，；當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k=0；若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù).三、證明步驟如圖1，為所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無(wú)交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長(zhǎng)線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖1中，過(guò)作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時(shí)的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長(zhǎng)度比計(jì)算最值.【變式3-1】（2025·天津·二模）在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，，記，，點(diǎn)M是線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DC上一點(diǎn)，且A，M，N三點(diǎn)共線．若，則用，表示；若，則的值為．【答案】【分析】將用來(lái)表示，進(jìn)而利用三點(diǎn)共線求得參數(shù)；假設(shè)，將用來(lái)表示，利用三點(diǎn)共線可得到的關(guān)系，再根據(jù)，解方程即可.【詳解】設(shè)，，則，若，則，因?yàn)锽，M，D三點(diǎn)共線，則，得，所以；設(shè)，，則，又B，M，D三點(diǎn)共線，則，得，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，，，，所以，．又，所以，整理，得，解得，或（舍去）．故．故答案為：、【變式3-2】（2025·天津南開(kāi)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接化簡(jiǎn)可得解.【詳解】由已知為線段上一點(diǎn)，設(shè)，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.【變式3-3】（2025·天津?qū)氎妗ぴ驴迹┰谥?，已知是邊上一點(diǎn)，若，，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算，用表示，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?題型04平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題【例4-1】（2026·天津?yàn)I海新·月考）如圖，在中，分別是直線，上的點(diǎn)，，且，則.若是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/0.5【分析】①先利用向量的數(shù)量積公式及向量線性運(yùn)算，由題可知：，由，可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得的值；②由①可得，則設(shè)，根據(jù)平面向量的混合運(yùn)算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值.【詳解】①，又，，則：，且原式，解得；②設(shè)，當(dāng)時(shí)，有最小值，為故答案為：①，②.【例4-2】（2026·天津·聯(lián)考）在梯形中，，，，與交于點(diǎn)，且，則，點(diǎn)在線段上，滿足，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)，求得的值，得到，在中，利用余弦定理，求得，進(jìn)而得到得到大小，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，得到和，求得，再由，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，且，所以，由，且，可得，可得，所以，在中，，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榍遥傻命c(diǎn)到軸和軸的距離分別為，即，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榍?，可得，可得，又因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，由，可得，，可得，又由，則，設(shè)向量和的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，即的最大值為.故答案為：；.一、平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．二、極化恒等式設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有證明：，①，②將兩式相減可得，這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的”．②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由變形為，得，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．【變式4-1】（2025·天津河西·聯(lián)考）在中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段過(guò)點(diǎn)，則可用，表示為；的最小值為．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件有，設(shè)，利用向量相等，即可求解；利用數(shù)量積的運(yùn)算，得，令，從而得，即可求解.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，則，又，設(shè)，則，整理得到，又是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，再代入，可得，所以.因?yàn)?，又是以為圓心，為半徑的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，所以，令，則，所以，所以，

故答案為：；.【變式4-2】（2025·天津南開(kāi)·聯(lián)考）已知圓的半徑為1，點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為和，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義、二倍角公式列式，再利用基本不等式求解即可得.【詳解】設(shè)，，由切線性質(zhì)可得、，則，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：.【變式4-3】（2025·天津西青·月考）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，，則，F(xiàn)為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】由向量對(duì)應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示出，即可得參數(shù)值，令，，根據(jù)已知得并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求最值.【詳解】由題設(shè)，則，所以，，令，，則，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：，題型05平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例5-1】（2026·天津·聯(lián)考）設(shè)x，，向量，向量，，且，，則（

）A． B．3 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量垂直和共線的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，，解得，則，，，則.故選：D.【例5-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】?jī)赡ｉL(zhǎng)平方后，相減得到，結(jié)合垂直關(guān)系得到方程，求出.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，即.又，所以，所以，從而.故選：B.（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識(shí)的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．（3）平面向量的投影問(wèn)題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無(wú)坐標(biāo)的向量運(yùn)算）同：；；公式都可通用異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角），使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．，通常是求最值的時(shí)候用．【變式5-1】（2026·天津?yàn)I海新·月考）設(shè)集合M為滿足，，的空間向量，，中可能出現(xiàn)的兩兩共線的向量組數(shù)組成的數(shù)集，集合，若，當(dāng)b最小時(shí)，的取值為，【答案】/【分析】先分析出，或或或或，當(dāng)時(shí)二次函數(shù)的圖象可以最靠下，即最小，且，當(dāng)對(duì)稱軸為時(shí)最小，從而得到不等式，求出的最小值及此時(shí)的取值計(jì)算求解.【詳解】若空間向量，，均為非零向量，則空間向量，，共線或兩兩互相垂直，此時(shí)三組向量中兩兩共線的有0組或3組；若其中一個(gè)為零向量，當(dāng)另外兩個(gè)向量共線且不為零向量時(shí)，此時(shí)三組向量中兩兩共線的有3組，若另外兩個(gè)向量一定不共線，則，此時(shí)零向量和另外兩個(gè)向量組成兩組共線向量，此時(shí)兩兩共線的有2組，顯然，這三組向量中兩兩共線的不可能有且僅有1組.則，由得是的子集，令，其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由二次函數(shù)的連續(xù)性和對(duì)稱性，或或或或，當(dāng)或或或時(shí)，所得的取值范圍必包含；當(dāng)時(shí)二次函數(shù)的圖象可以最靠下，即b最小，且，由對(duì)稱性可知，當(dāng)對(duì)稱軸為時(shí)最小，此時(shí)且，則，綜上，，最小時(shí)，的取值為，所以.故答案為：【變式5-2】（2026·天津·月考）平面向量，，，其中，則下列正確的是（

）①

②若，則③

④若，則A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可得到答案.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所?同理，，，①正確；對(duì)于②，由，兩邊平方得.因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，不滿足等式，故②不正確；對(duì)于③，，，由和差化積公式得，所以，③正確；對(duì)于④，由得.結(jié)合③的結(jié)論得，，因?yàn)闉榉橇阆蛄?，故，所以又，所以，故④正確.綜上，①③④正確.故選：D.【變式5-3】（2026·天津·聯(lián)考）中，為邊中點(diǎn)，,,,則（用,表示），若,,則【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解空二.【詳解】對(duì)于第一空，因?yàn)?所以,所以.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以;對(duì)于第二空，因?yàn)?所以,即①.,即,代入①式后，化簡(jiǎn)可得：.所以故答案為：.題型06平面向量的投影、投影向量【例6-1】（2026·天津·月考）向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【分析】由投影向量坐標(biāo)計(jì)算公式可得答案.【詳解】由題，在上的投影向量的坐標(biāo)為：.故答案為：.【例6-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)，求出，再結(jié)合投影向量的定義得出答案.【詳解】因?yàn)?，則，解得，由于，所以在方向上的投影向量即為，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.解向量數(shù)量積的幾何意義是:一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影和這個(gè)向量模的積。如果能巧妙的找到投影長(zhǎng)度,數(shù)量積就能快速算出，且不用知道兩個(gè)向量的所成角,所以用投影法能有效解決一類問(wèn)題【變式6-1】（2026·天津·月考）已知平面向量滿足，且在上的投影向量為，則平面向量和的夾角為．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的知識(shí)可得，即可計(jì)算夾角.【詳解】在上的投影向量為，則，因，則，則，因，則，則平面向量和的夾角為.故答案為：.【變式6-2】（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知，，若點(diǎn)為中點(diǎn)，則在上的投影向量為(用與表示);建立平面直角坐標(biāo)系，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則等于.【答案】【分析】①先判斷是等腰直角三角形，然后用將表示出來(lái)，然后利用投影向量公式和向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義求出結(jié)果即可；②建立平面直角坐標(biāo)系，列出的坐標(biāo)，然后求出向量的模即可.【詳解】①因?yàn)?，所以，所以是等腰直角三角形，如圖所示.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以在上的投影向量為，，，所以，而，所以在上的投影向量為.②如圖建立平面直角坐標(biāo)系，所以.因?yàn)椋?，所?所以.故答案為：①；②.【變式6-3】（2026·天津西青·聯(lián)考）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，圓弧是以為直徑的半圓弧．當(dāng)點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量的模長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的最小值為．【答案】0【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，，，，當(dāng)為圓弧的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，，則，，所以在上的投影向量的模長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，，所以滿足，則，所以，所以，，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.1．（2025·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D是邊AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．設(shè)，，則可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用，表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：B2．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則y的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由，則，解得.故選：D.3．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）已知，，與夾角的大小為，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求兩個(gè)向量的數(shù)量積.【詳解】因?yàn)?故選：B4．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）若向量，，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由，，則.故選：A.5．（2025·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，．(1)求的坐標(biāo)，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)，；(2)；(3).【分析】（1）由向量線性關(guān)系和模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求坐標(biāo)和；（2）由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)；（3）由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).【詳解】（1）由題設(shè)，；（2）由題設(shè)，又，所以，則，可得；（3）由（2）及，則，可得.6．（2025·天津南開(kāi)·模擬預(yù)測(cè)）“天津之眼”摩天輪是天津的地標(biāo)建筑，閃耀著這座城市的宏偉與浪漫．下圖是抽象自“天津之眼”的幾何圖形，圓是以1為半徑的圓，，是關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，且是以為始邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成角的終邊與圓的交點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到滿足，且點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，則在上的投影向量的模為；（2）當(dāng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是．【答案】/1.5【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)所給條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)得出坐標(biāo)，根據(jù)向量的投影向量的模求解，當(dāng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)值域得解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，則由，,是關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以，，（1）當(dāng)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，,則，，所以在上的投影向量的模為；（2）設(shè)，則，由，所以，由，則所以由，可知，所以的取值范圍是.故答案為：；7．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)2為正三角形，是的中心，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，，，則；的最小值為．【答案】3【詳解】

連接AO，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，易知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)槭堑闹行?，所以是的重心，即，所?因?yàn)椋?，所以，，所?因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以，所以，.因?yàn)椋?，所以，，又，所以?由，得，，令，當(dāng)和重合時(shí)，為上中線，此時(shí),所以，則，得.根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，.因?yàn)?，所以，根?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以的最小值為.故答案為：3，.8．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用數(shù)量積公式，求，即可求解.【詳解】由條件可知，,所以；由，得，得，所以，得，且，，所以，得,,所以.故答案為：9．（2025·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，過(guò)D的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影.若P，B，F(xiàn)共線，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用拋物線定義求出比值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，由B在線段AD上，得，整理得，而，則，由P，B，F(xiàn)共線，得，整理得，解得，于是，過(guò)作于，所以.

故選：B10．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長(zhǎng)為1，中心為，過(guò)作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（?。┊?dāng)時(shí)，；（ⅱ）的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解空1，利用向量的線性運(yùn)算將