注冊(cè)化工工程師《公共基礎(chǔ)》練習(xí)練習(xí)題及答案一、選擇題（每題有且僅有一個(gè)正確答案，每題2分，共40分）1.已知向量$\vec{a}=(1,-2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.0B.2C.-2D.4答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，若$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。已知$\vec{a}=(1,-2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，所以$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+(-2)\times1+3\times0=2-2+0=0$。2.函數(shù)$y=\ln(1-x)$的定義域是（）A.$(-\infty,1]$B.$(-\infty,1)$C.$(1,+\infty)$D.$[1,+\infty)$答案：B詳細(xì)解答：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)$y=\lnu$，要求$u>0$。在函數(shù)$y=\ln(1-x)$中，令$u=1-x$，則$1-x>0$，解得$x<1$，所以函數(shù)的定義域是$(-\infty,1)$。3.極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值為（）A.0B.1C.3D.$\frac{1}{3}$答案：C詳細(xì)解答：根據(jù)重要極限$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=1$，對(duì)$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$進(jìn)行變形，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}$，令$t=3x$，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$t\to0$，則$3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=3\times1=3$。4.設(shè)函數(shù)$y=x^3+2x^2-3x+1$，則$y^\prime$為（）A.$3x^2+4x-3$B.$3x^2+2x-3$C.$x^2+4x-3$D.$3x^2+4x+3$答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。對(duì)$y=x^3+2x^2-3x+1$求導(dǎo)，$y^\prime=(x^3)^\prime+(2x^2)^\prime-(3x)^\prime+(1)^\prime$，$y^\prime=3x^2+2\times2x-3+0=3x^2+4x-3$。5.已知$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x-1)dx$等于（）A.$\frac{1}{2}F(2x-1)+C$B.$2F(2x-1)+C$C.$F(2x-1)+C$D.$\frac{1}{2}F(x)+C$答案：A詳細(xì)解答：令$u=2x-1$，則$du=2dx$，$dx=\frac{1}{2}du$。所以$\intf(2x-1)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du$，又因?yàn)?\intf(x)dx=F(x)+C$，所以$\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x-1)+C$。6.設(shè)$A$，$B$為兩個(gè)事件，且$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(A\cupB)=0.6$，則$P(AB)$為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)概率的加法公式$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)$，已知$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(A\cupB)=0.6$，則$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cupB)=0.3+0.4-0.6=0.1$。B.2C.-10D.10答案：A8.微分方程$y^\prime+2y=0$的通解為（）A.$y=Ce^{-2x}$B.$y=Ce^{2x}$C.$y=Cxe^{-2x}$D.$y=Cxe^{2x}$答案：A詳細(xì)解答：這是一階線性齊次微分方程$y^\prime+P(x)y=0$的形式，其中$P(x)=2$。其通解公式為$y=Ce^{-\intP(x)dx}$，$\intP(x)dx=\int2dx=2x$，所以通解$y=Ce^{-2x}$。9.已知函數(shù)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$為（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$x^2y$答案：A詳細(xì)解答：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時(shí)，將$y$看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，對(duì)$z=x^2y$關(guān)于$x$求偏導(dǎo)數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$。10.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的和為（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.2答案：B詳細(xì)解答：先將$\frac{1}{n(n+1)}$進(jìn)行裂項(xiàng)，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。則級(jí)數(shù)的前$n$項(xiàng)和$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$。當(dāng)$n\to\infty$時(shí)，$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n+1})=1$，所以級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的和為1。11.已知直線$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$，直線$L_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-4}{4}$，則$L_1$與$L_2$的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.重合答案：B詳細(xì)解答：直線$L_1$的方向向量$\vec{s_1}=(1,2,3)$，直線$L_2$的方向向量$\vec{s_2}=(2,3,4)$。設(shè)直線$L_1$上一點(diǎn)$M_1(1,2,3)$，直線$L_2$上一點(diǎn)$M_2(2,3,4)$，則$\overrightarrow{M_1M_2}=(1,1,1)$。判斷兩直線是否平行，若$\vec{s_1}$與$\vec{s_2}$平行，則存在實(shí)數(shù)$\lambda$使得$\vec{s_1}=\lambda\vec{s_2}$，顯然不存在這樣的$\lambda$，所以兩直線不平行。設(shè)兩直線相交，聯(lián)立方程$\begin{cases}x=1+t_1\\y=2+2t_1\\z=3+3t_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=2+2t_2\\y=3+3t_2\\z=4+4t_2\end{cases}$，可得$\begin{cases}1+t_1=2+2t_2\\2+2t_1=3+3t_2\\3+3t_1=4+4t_2\end{cases}$，解方程組得$t_1=1$，$t_2=0$，所以兩直線相交。12.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_^{a}f(x)dx$的關(guān)系是（）A.$\int_{a}^f(x)dx=\int_^{a}f(x)dx$B.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx+\int_^{a}f(x)dx=1$D.沒有關(guān)系答案：B詳細(xì)解答：根據(jù)定積分的性質(zhì)，$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。13.已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，則$P(X>0)$的值為（）A.0B.0.5C.1D.0.25答案：B詳細(xì)解答：正態(tài)分布$N(0,1)$的概率密度函數(shù)關(guān)于$x=0$對(duì)稱，所以$P(X>0)=\frac{1}{2}=0.5$。14.設(shè)$A$是$n$階可逆矩陣，則$(A^{-1})^{-1}$等于（）A.$A$B.$A^{-1}$C.$A^T$詳細(xì)解答：根據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)，若$A$可逆，則$(A^{-1})^{-1}=A$。15.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線方程為（）A.$y=2x-1$B.$y=2x+1$C.$y=-2x-1$D.$y=-2x+1$答案：A16.設(shè)$D$是由$x=0$，$y=0$，$x+y=1$所圍成的區(qū)域，則$\iint_{D}dxdy$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{4}$答案：A詳細(xì)解答：$\iint_{D}dxdy$表示區(qū)域$D$的面積。區(qū)域$D$是一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為1，根據(jù)三角形面積公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$，所以$\iint_{D}dxdy=\frac{1}{2}$。17.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec=(0,1,1)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{2}$答案：C18.設(shè)函數(shù)$y=e^{-x}\sinx$，則$y^\prime$為（）A.$e^{-x}(\cosx-\sinx)$B.$e^{-x}(\sinx-\cosx)$C.$-e^{-x}(\cosx+\sinx)$D.$e^{-x}(\cosx+\sinx)$答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則$(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime$，設(shè)$u=e^{-x}$，$v=\sinx$，則$u^\prime=-e^{-x}$，$v^\prime=\cosx$，所以$y^\prime=u^\primev+uv^\prime=-e^{-x}\sinx+e^{-x}\cosx=e^{-x}(\cosx-\sinx)$。B.4C.8D.16答案：D20.已知級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散，則級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$（）A.收斂B.發(fā)散C.可能收斂也可能發(fā)散D.無(wú)法判斷答案：B詳細(xì)解答：假設(shè)$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$收斂，因?yàn)?\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，若$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}[(a_n+b_n)-a_n]=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也收斂，這與$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散矛盾，所以$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$發(fā)散。二、填空題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\sqrt{4-x^2}$的定義域是______。答案：$[-2,2]$詳細(xì)解答：要使根式有意義，則根號(hào)下的數(shù)非負(fù)，即$4-x^2\geq0$，變形為$x^2-4\leq0$，因式分解得$(x+2)(x-2)\leq0$，解得$-2\leqx\leq2$，所以定義域是$[-2,2]$。2.已知$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值為______。答案：2詳細(xì)解答：對(duì)$\frac{x^2-1}{x-1}$進(jìn)行化簡(jiǎn)，$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$（$x\neq1$），則$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=1+1=2$。3.設(shè)函數(shù)$y=\sinx^2$，則$y^\prime$為______。答案：$2x\cosx^2$詳細(xì)解答：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=x^2$，則$y=\sinu$，$y^\prime=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，$\frac{dy}{du}=\cosu$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以$y^\prime=\cosx^2\cdot2x=2x\cosx^2$。4.$\intx^2dx$的結(jié)果為______。答案：$\frac{1}{3}x^3+C$詳細(xì)解答：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），當(dāng)$n=2$時(shí)，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。5.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，則$A^{-1}$為______。答案：$\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$6.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為______。答案：2詳細(xì)解答：泊松分布的概率公式為$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，已知$P(X=1)=P(X=2)$，則$\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}$，因?yàn)?e^{-\lambda}\neq0$，兩邊同時(shí)約去$e^{-\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^2}{2}$，即$\lambda^2-2\lambda=0$，$\lambda(\lambda-2)=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=2$，因?yàn)?\lambda>0$，所以$\lambda=2$。7.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的通解為______。答案：$y=C_1\cosx+C_2\sinx$詳細(xì)解答：該微分方程的特征方程為$r^2+1=0$，解得$r_{1,2}=\pmi$。根據(jù)二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的形式，當(dāng)特征根為$r_{1,2}=\alpha\pmi\beta$時(shí)，通解為$y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)$，這里$\alpha=0$，$\beta=1$，所以通解為$y=C_1\cosx+C_2\sinx$。8.已知向量$\vec{a}=(2,-1,1)$，$\vec=(1,2,-1)$，則$\vec{a}\times\vec$為______。答案：$(-1,3,5)$詳細(xì)解答：根據(jù)向量叉積公式，若$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}=\vec{i}(y_1z_2-y_2z_1)-\vec{j}(x_1z_2-x_2z_1)+\vec{k}(x_1y_2-x_2y_1)$。已知$\vec{a}=(2,-1,1)$，$\vec=(1,2,-1)$，則$\vec{a}\times\vec=\vec{i}[(-1)\times(-1)-2\times1]-\vec{j}[2\times(-1)-1\times1]+\vec{k}[2\times2-1\times(-1)]=\vec{i}(1-2)-\vec{j}(-2-1)+\vec{k}(4+1)=(-1,3,5)$。9.設(shè)函數(shù)$z=x^y$，則$\frac{\partialz}{\partialy}$為______。答案：$x^y\lnx$詳細(xì)解答：求$\frac{\partialz}{\partialy}$時(shí)，將$x$看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式$(a^x)^\prime=a^x\lna$，對(duì)$z=x^y$關(guān)于$y$求偏導(dǎo)數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^y\lnx$。10.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$的斂散性是______（填收斂或發(fā)散）。答案：收斂詳細(xì)解答：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，設(shè)$u_n=\frac{1}{n}$，滿足$u_n>u_{n+1}$（因?yàn)?\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}$）且$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，所以級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$收斂。三、判斷題（每題1分，共10分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是$(-\infty,+\infty)$。（）答案：錯(cuò)誤詳細(xì)解答：要使函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$有意義，則分母不能為0，即$x-1\neq0$，解得$x\neq1$，所以定義域是$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。2.若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x=x_0$處一定連續(xù)。（）答案：正確詳細(xì)解答：根據(jù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，若函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=f^\prime(x_0)$存在，$\Deltay=\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\Deltax$，$\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=\lim\limits_{\Deltax\to0}(\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\Deltax)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltax=f^\prime(x_0)\times0=0$，所以函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。3.$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$。（）答案：正確詳細(xì)解答：因?yàn)楸环e函數(shù)$y=x^3$是奇函數(shù)，根據(jù)定積分的性質(zhì)，若$f(x)$是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間$[-a,a]$上，$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$，所以$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$。5.兩個(gè)隨機(jī)事件$A$和$B$，若$P(AB)=P(A)P(B)$，則$A$與$B$相互獨(dú)立。（）答案：正確詳細(xì)解答：這是隨機(jī)事件相互獨(dú)立的定義，若兩個(gè)隨機(jī)事件$A$和$B$滿足$P(AB)=P(A)P(B)$，則稱$A$與$B$相互獨(dú)立。6.微分方程$y^\prime=y$的通解是$y=e^x$。（）答案：錯(cuò)誤7.向量$\vec{a}=(1,0,0)$與向量$\vec=(0,1,0)$垂直。（）答案：正確詳細(xì)解答：根據(jù)向量垂直的判定，若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}$與$\vec$垂直。$\vec{a}\cdot\vec=1\times0+0\times1+0\times0=0$，所以$\vec{a}$與$\vec$垂直。8.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$收斂。（）答案：錯(cuò)誤詳細(xì)解答：這是調(diào)和級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)斂散性的判別，調(diào)和級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是發(fā)散的。9.設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$都存在，則函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微。（）答案：錯(cuò)誤詳細(xì)解答：偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件而非充分條件，函數(shù)在某點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)可微。10.若函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)>0$在$[a,b]$上恒成立。（）答案：錯(cuò)誤詳細(xì)解答：函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上成立，且使$f^\prime(x)=0$的點(diǎn)是孤立的。例如$y=x^3$在$R$上單調(diào)遞增，但在$x=0$處$y^\prime=0$。四、解答題（每題10分，共30分）1.求函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$的導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)解答：根據(jù)除法求導(dǎo)法則，若$y=\frac{u}{v}$，則$y^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}$。設(shè)$u=x^2-1$，$v=x^2+1$。先求$u^\prime$和$v^\prime$，$u^\prime=(x^2-1)^\prime=2