高一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識重點難點復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)是對初中數(shù)學(xué)知識的深化與拓展，更是后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基石。高一階段所學(xué)的知識，如集合、函數(shù)、三角函數(shù)、向量等，構(gòu)成了整個高中數(shù)學(xué)體系的核心框架。這份復(fù)習(xí)資料旨在幫助同學(xué)們梳理高一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，明確重點與難點，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)時，建議同學(xué)們結(jié)合課本例題與習(xí)題，注重理解概念的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，并通過適量練習(xí)加以鞏固。一、集合集合是高中數(shù)學(xué)的起始章節(jié)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言。它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等內(nèi)容的基礎(chǔ)，其蘊含的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。（一）核心知識梳理1.集合的基本概念：*集合的定義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。*集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性。這是判斷一組對象能否構(gòu)成集合以及解決集合問題的關(guān)鍵。*元素與集合的關(guān)系：屬于（∈）與不屬于（?）。*常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集（N）、正整數(shù)集（N*或N+）、整數(shù)集（Z）、有理數(shù)集（Q）、實數(shù)集（R）。這些符號是數(shù)學(xué)交流的通用語言，必須熟記。*集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）。要理解不同表示方法的適用場景，并能靈活轉(zhuǎn)化。2.集合間的基本關(guān)系：*子集：若集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B（或B?A）。*真子集：若A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A?B（或B?A）。*相等集合：若A?B且B?A，則A=B。*空集：不含任何元素的集合，記作?。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。這一點在解決集合關(guān)系問題時極易被忽略，需特別注意。3.集合的基本運算：*交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*補集：設(shè)U為全集，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集合A在全集U中的補集，記作?UA，即?UA={x|x∈U且x?A}。（二）重點難點剖析*重點：集合的概念及表示方法，集合間的基本關(guān)系（子集、真子集、相等），集合的交、并、補運算。*難點：*正確理解集合的概念，特別是描述法表示集合時，對代表元素的把握。*空集的特殊性及其在集合關(guān)系和運算中的作用。例如，已知A?B，在求參數(shù)范圍時，必須考慮A為空集的情況。*集合運算與不等式（特別是一元一次、一元二次不等式）的結(jié)合，以及利用數(shù)軸或Venn圖進行集合的表示與運算，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。*含參數(shù)的集合問題，常涉及分類討論思想。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。深刻理解函數(shù)的概念，掌握基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。（一）函數(shù)的概念與表示1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。*理解要點：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三要素。定義域是前提，對應(yīng)關(guān)系是核心（要求“任意x”對應(yīng)“唯一y”）。2.函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法。*解析法：用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。*列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。*圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具。3.分段函數(shù)：在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)。處理分段函數(shù)問題時，要注意在不同定義域段上分別處理。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)的定義域：使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍。常見的限制條件有：分母不為零；偶次根式的被開方數(shù)非負；對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；零次冪的底數(shù)不為零等。對于實際問題，還需考慮自變量的實際意義。2.函數(shù)的值域：函數(shù)值的集合。求值域的常用方法：觀察法、配方法（二次函數(shù)）、換元法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法等。3.函數(shù)的單調(diào)性：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。*判斷方法：定義法（取值、作差（商）、變形、定號、下結(jié)論）、圖像法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減，需注意定義域）。*幾何意義：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上，函數(shù)圖像從左到右是上升的；單調(diào)減區(qū)間上，函數(shù)圖像從左到右是下降的。4.函數(shù)的奇偶性：*定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。*判斷步驟：首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱（這是前提，若不對稱，則函數(shù)非奇非偶）；然后再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。*幾何意義：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。*性質(zhì)：奇函數(shù)在原點處有定義，則f(0)=0；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。（三）基本初等函數(shù)1.一次函數(shù)與二次函數(shù)：*一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)，圖像是一條直線。當(dāng)k>0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時，函數(shù)單調(diào)遞減。*二次函數(shù)：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)*頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為頂點坐標(biāo)。*圖像是拋物線，對稱軸為x=-b/(2a)(一般式)或x=h(頂點式)。*當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(-∞,h]上單調(diào)遞減，在[h,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x=h時，函數(shù)取得最小值k；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(-∞,h]上單調(diào)遞增，在[h,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x=h時，函數(shù)取得最大值k。*重點：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、單調(diào)性、最值），二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題（軸動區(qū)間定或軸定區(qū)間動，需分類討論），二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系（三個“二次”的聯(lián)系）。2.指數(shù)函數(shù)：*定義：一般地，函數(shù)y=a^x(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)。*圖像與性質(zhì)：*定義域為R，值域為(0,+∞)。*圖像恒過定點(0,1)。*當(dāng)a>1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。*非奇非偶函數(shù)。*重點難點：理解指數(shù)函數(shù)的概念（底數(shù)a的限制條件），掌握其圖像和性質(zhì)，能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式。3.對數(shù)函數(shù)：*定義：一般地，函數(shù)y=log_ax(a>0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)。它是指數(shù)函數(shù)y=a^x的反函數(shù)。*圖像與性質(zhì)：*定義域為(0,+∞)，值域為R。*圖像恒過定點(1,0)。*當(dāng)a>1時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。*非奇非偶函數(shù)。*對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么：*log_a(MN)=log_aM+log_aN*log_a(M/N)=log_aM-log_aN*log_aM^n=nlog_aM(n∈R)*換底公式：log_ab=log_cb/log_ca(a>0,a≠1;c>0,c≠1;b>0)*重點難點：理解對數(shù)的概念及其與指數(shù)的關(guān)系，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)（特別是換底公式），掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并能與指數(shù)函數(shù)進行對比學(xué)習(xí)，利用其單調(diào)性解決問題。對數(shù)函數(shù)的定義域是常見易錯點。4.冪函數(shù)：*定義：一般地，形如y=x^α(α為常數(shù))的函數(shù)稱為冪函數(shù)。*圖像與性質(zhì)：冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)與指數(shù)α密切相關(guān)。重點掌握α=1,2,3,1/2,-1時冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、奇偶性、單調(diào)性）。*重點：了解冪函數(shù)的概念，會畫簡單冪函數(shù)的圖像，并能結(jié)合圖像分析其性質(zhì)。（四）重點難點剖析*重點：函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域與值域的求法，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷及應(yīng)用，基本初等函數(shù)（二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）的圖像與性質(zhì)。*難點：*函數(shù)概念的深刻理解，特別是對“兩個非空數(shù)集”和“唯一確定”的把握。*復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性。例如，已知f(g(x))的定義域求f(x)的定義域，或已知f(x)的定義域求f(g(x))的定義域。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷需遵循“同增異減”原則，并注意外層函數(shù)的定義域。*二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，涉及分類討論思想。*指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及它們與其他函數(shù)（如二次函數(shù)）構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)問題。*運用函數(shù)的思想解決實際問題，包括建立函數(shù)模型、分析函數(shù)性質(zhì)、解決問題。三、三角函數(shù)三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。（一）任意角的三角函數(shù)1.任意角：*角的概念的推廣：正角、負角、零角。*象限角：角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限角。*終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}(或S={β|β=α+2kπ，k∈Z}，弧度制)。*弧度制：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。角度與弧度的換算：180°=πrad。扇形的弧長公式：l=|α|r，面積公式：S=(1/2)lr=(1/2)|α|r2(其中α為圓心角的弧度數(shù))。2.任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（除端點外）的坐標(biāo)是(x,y)，它與原點的距離是r(r=√(x2+y2)>0)，那么：*sinα=y/r(正弦)*cosα=x/r(余弦)*tanα=y/x(正切，x≠0)*三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦。3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：*平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1*商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα(cosα≠0)*應(yīng)用：已知一個角的一個三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值（注意象限角的符號確定）；化簡三角函數(shù)式；證明三角恒等式。4.誘導(dǎo)公式：*核心思想是“奇變偶不變，符號看象限”。*誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。*重點：記憶并能熟練運用誘導(dǎo)公式進行化簡、求值。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx的圖像與性質(zhì)：*定義域、值域：*y=sinx，y=cosx：定義域R，值域[-1,1]。*y=tanx：定義域{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}，值域R。*周期性：*y=sinx，y=cosx的最小正周期是2π。*y=tanx的最小正周期是π。*函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的最小正周期T=2π/ω；y=Atan(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的最小正周期T=π/ω。*奇偶性：*y=sinx，y=tanx是奇函數(shù)；y=cosx是偶函數(shù)。*單調(diào)性：*y=sinx在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。*y=cosx在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。*y=tanx在(-π