材料力學(xué)復(fù)試重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)及習(xí)題解析引言材料力學(xué)作為工科各專業(yè)的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，其核心在于研究構(gòu)件在外力作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、變形以及強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。復(fù)試階段，考官不僅關(guān)注考生對基本概念和公式的掌握程度，更看重其分析問題和解決實(shí)際工程問題的能力。本文旨在梳理材料力學(xué)復(fù)試中的重點(diǎn)知識(shí)，并通過典型習(xí)題的解析，幫助考生鞏固所學(xué)，提升應(yīng)試能力。一、重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)（一）基本概念與基本原理1.材料力學(xué)的任務(wù)與研究對象：材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的受力、變形和破壞規(guī)律，為合理設(shè)計(jì)構(gòu)件提供強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性分析的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。其研究對象主要是桿狀構(gòu)件，即長度遠(yuǎn)大于橫截面尺寸的構(gòu)件。2.基本假設(shè)：*連續(xù)性假設(shè)：假定材料是連續(xù)分布的，忽略其微觀不連續(xù)性。*均勻性假設(shè)：假定材料在宏觀上具有均勻的性質(zhì)。*各向同性假設(shè)：假定材料的力學(xué)性能在各個(gè)方向上相同。*小變形假設(shè)：假定構(gòu)件的變形較小，在建立平衡方程時(shí)可以忽略構(gòu)件尺寸和形狀的微小改變。3.外力與內(nèi)力：*外力包括主動(dòng)力和約束力，按其作用方式可分為體積力和表面力。*內(nèi)力是構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力，通過截面法求解。截面法的基本步驟：截開、代替、平衡。*內(nèi)力分量：軸力（N）、剪力（Q）、彎矩（M）、扭矩（T）。4.應(yīng)力與應(yīng)變：*應(yīng)力是表征構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn)受力程度的物理量，包括正應(yīng)力（σ）和切應(yīng)力（τ）。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa）。*應(yīng)變是表征構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn)變形程度的物理量，包括正應(yīng)變（ε）和切應(yīng)變（γ）。應(yīng)變是無量綱量。*胡克定律：在彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比（σ=Eε），切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比（τ=Gγ）。E為彈性模量，G為切變模量，二者與泊松比ν之間的關(guān)系為G=E/[2(1+ν)]。5.材料的力學(xué)性能：主要指材料在靜載荷作用下的拉伸、壓縮、剪切等性能，包括彈性極限、屈服極限、強(qiáng)度極限、伸長率、斷面收縮率等指標(biāo)。低碳鋼和鑄鐵的拉伸、壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線是重點(diǎn)。6.強(qiáng)度理論：對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度問題，需要建立強(qiáng)度條件。常用的四個(gè)強(qiáng)度理論（第一至第四強(qiáng)度理論）及其適用范圍是重點(diǎn)，特別是第四強(qiáng)度理論（畸變能密度理論）在機(jī)械設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。（二）基本變形分析1.軸向拉伸與壓縮：*內(nèi)力：軸力FN，通過截面法求解，軸力圖繪制。*應(yīng)力：橫截面上正應(yīng)力均勻分布，σ=FN/A。*變形：縱向變形Δl=FN*l/(E*A)，橫向變形Δb=-ν*Δl*b/l。*強(qiáng)度條件：σ_max=|FN|_max/A≤[σ]。*圣維南原理：在距離載荷作用點(diǎn)一定距離的截面上，應(yīng)力分布趨于均勻。2.剪切與擠壓：*剪切內(nèi)力：剪力FS，剪切應(yīng)力τ（假設(shè)均勻分布），τ=FS/A_s。*剪切強(qiáng)度條件：τ≤[τ]。*擠壓應(yīng)力：σ_bbs=Fbs/A_bbs（擠壓面面積A_bbs的計(jì)算需注意是實(shí)際接觸面積）。*擠壓強(qiáng)度條件：σ_bbs≤[σ_bbs]。*應(yīng)用：連接件（鉚釘、螺栓、鍵等）的強(qiáng)度計(jì)算。3.圓軸扭轉(zhuǎn)：*內(nèi)力：扭矩T，通過截面法求解，扭矩圖繪制。*應(yīng)力：橫截面上產(chǎn)生切應(yīng)力，分布規(guī)律為τ_ρ=T*ρ/I_p，最大切應(yīng)力τ_max=T*R/I_p=T/W_p。I_p為極慣性矩，W_p為抗扭截面系數(shù)。*變形：單位長度扭轉(zhuǎn)角θ=T/(G*I_p)，總扭轉(zhuǎn)角φ=T*l/(G*I_p)。*強(qiáng)度條件：τ_max=T_max/W_p≤[τ]。*剛度條件：θ_max=T_max/(G*I_p)≤[θ]（注意單位換算，[θ]常用單位為°/m）。*圓軸扭轉(zhuǎn)變形的疊加。4.彎曲內(nèi)力：*內(nèi)力：剪力FS和彎矩M，通過截面法（或直接法、簡便法）求解。*剪力圖與彎矩圖繪制：掌握根據(jù)外力（載荷、支座反力）直接繪制內(nèi)力圖的方法，理解荷載集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系（dM/dx=FS，dFS/dx=q）及其在繪制和校核內(nèi)力圖中的應(yīng)用。*控制截面的確定及最大內(nèi)力值的計(jì)算。5.彎曲應(yīng)力：*純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力：σ=M*y/I_z，最大正應(yīng)力σ_max=M/W_z。I_z為截面對中性軸的慣性矩，W_z為抗彎截面系數(shù)。*中性軸位置：通過截面形心，且與梁的彎曲平面垂直。*彎曲切應(yīng)力：矩形截面τ=FS*S_z/(I_z*b)，最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。工字形截面腹板上的切應(yīng)力近似均勻分布。*強(qiáng)度條件：正應(yīng)力σ_max=M_max/W_z≤[σ]；切應(yīng)力τ_max=FS_max*S_z_max/(I_z*b)≤[τ]。一般情況下，梁的強(qiáng)度由正應(yīng)力控制，僅在短梁或受較大剪力的梁（如懸臂梁靠近支座處）需校核切應(yīng)力。*提高彎曲強(qiáng)度的措施：合理安排受力情況、選擇合理截面形狀、采用變截面梁等。6.彎曲變形：*撓度w和轉(zhuǎn)角θ：梁橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移稱為撓度，橫截面繞中性軸的角位移稱為轉(zhuǎn)角，二者關(guān)系為θ=dw/dx。*撓曲線近似微分方程：EI*d2w/dx2=M(x)。*積分法求變形：通過對撓曲線微分方程積分，并利用邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)，從而得到撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。*疊加法求變形：利用已知簡單梁的變形結(jié)果，通過疊加原理計(jì)算復(fù)雜梁（如外伸梁、階梯梁）在組合載荷作用下的變形。*剛度條件：|w|_max≤[w]，|θ|_max≤[θ]。*簡單超靜定梁的解法：通過變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程，聯(lián)立靜力平衡方程求解支座反力。（三）組合變形與壓桿穩(wěn)定1.組合變形：*基本概念：構(gòu)件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的情況。*分析方法：將組合變形分解為幾種基本變形，分別計(jì)算每種基本變形引起的應(yīng)力，然后進(jìn)行應(yīng)力疊加（需注意應(yīng)力的方向和作用點(diǎn)）。*常見組合形式：*拉伸（壓縮）與彎曲組合：例如偏心拉伸（壓縮），需計(jì)算截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。*彎曲與扭轉(zhuǎn)組合：例如傳動(dòng)軸，危險(xiǎn)點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，需應(yīng)用強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。*強(qiáng)度計(jì)算步驟：外力分析與簡化、內(nèi)力分析確定危險(xiǎn)截面、應(yīng)力分析確定危險(xiǎn)點(diǎn)、應(yīng)用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。2.壓桿穩(wěn)定：*基本概念：壓桿在軸向壓力作用下，保持其直線平衡形式的能力。失穩(wěn)是指壓桿從直線平衡狀態(tài)突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)的現(xiàn)象。*臨界力Fcr：使壓桿開始喪失穩(wěn)定的最小軸向壓力。*歐拉公式：Fcr=π2EI/(μl)2，適用于大柔度桿（細(xì)長桿），即λ=μl/i≥λ_p。其中μ為長度系數(shù)（與桿端約束有關(guān)），i為截面慣性半徑（i=√(I/A)），λ為壓桿的長細(xì)比（柔度）。*臨界應(yīng)力σcr=Fcr/A=π2E/λ2。*中柔度桿和小柔度桿的臨界應(yīng)力：需采用經(jīng)驗(yàn)公式或試驗(yàn)曲線確定。*穩(wěn)定條件：F≤Fcr/[n_st]或σ=F/A≤σcr/[n_st]=[σ_st]，其中[n_st]為穩(wěn)定安全系數(shù)。*提高壓桿穩(wěn)定性的措施：減小壓桿長度、改善桿端約束、合理選擇截面形狀、合理選用材料（對細(xì)長桿效果不明顯）。二、典型習(xí)題解析（一）彎曲內(nèi)力與內(nèi)力圖繪制例題1：試?yán)L制圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并求出|FS|_max和|M|_max。（梁長l，跨中受集中力F作用）解析：1.求支座反力：由對稱性可知，F(xiàn)Ay=FBy=F/2，方向豎直向上。2.分段建立剪力方程和彎矩方程：*AC段（0≤x<l/2）：FS(x)=FAy=F/2；M(x)=FAy*x=Fx/2。*CB段（l/2<x≤l）：FS(x)=FAy-F=-F/2；M(x)=FAy*x-F(x-l/2)=F(l-x)/2。3.繪制內(nèi)力圖：*剪力圖：AC段為水平線，F(xiàn)S=F/2；CB段為水平線，F(xiàn)S=-F/2。在集中力F作用點(diǎn)C處，剪力圖發(fā)生突變，突變值等于F。*彎矩圖：AC段和CB段均為斜直線。在A、B支座處M=0；在跨中C點(diǎn)，M(l/2)=Fl/4。彎矩圖為一三角形。4.確定最大值：|FS|_max=F/2；|M|_max=Fl/4。點(diǎn)評：本題為簡支梁受跨中集中力作用，是最基本的彎曲內(nèi)力問題。求解時(shí)需注意剪力方程和彎矩方程的分段，以及內(nèi)力圖的特征（集中力作用處剪力圖突變，彎矩圖轉(zhuǎn)折；集中力偶作用處彎矩圖突變，剪力圖不變）。熟練掌握此類基本梁的內(nèi)力圖繪制是解決復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。（二）彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例題2：一矩形截面簡支梁（b×h），跨度為l，在全梁上受均布載荷q作用。已知材料的許用應(yīng)力為[σ]，試求該梁所能承受的最大均布載荷集度q。解析：1.求支座反力及最大彎矩：FAy=FBy=ql/2。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，M_max=ql2/8。2.計(jì)算抗彎截面系數(shù)：矩形截面W_z=bh2/6。3.應(yīng)用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：σ_max=M_max/W_z≤[σ]。即ql2/8/(bh2/6)≤[σ]。4.求解q：q≤8[σ]bh2/(6l2)=4[σ]bh2/(3l2)。故該梁所能承受的最大均布載荷集度q_max=4[σ]bh2/(3l2)。點(diǎn)評：本題考察彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的直接應(yīng)用。關(guān)鍵在于正確計(jì)算梁的最大彎矩和截面的抗彎截面系數(shù)。在計(jì)算時(shí)，需注意單位的一致性，并明確公式中各參數(shù)的物理意義。對于不同截面形狀的梁，其W_z的計(jì)算公式不同，需熟練記憶。（三）組合變形強(qiáng)度計(jì)算例題3：一圓形截面懸臂梁，自由端受一與梁軸線垂直但不通過截面形心的集中力F作用（偏心拉伸與彎曲組合）。已知梁長l，截面直徑d，偏心距e，材料的許用拉應(yīng)力[σ_t]和許用壓應(yīng)力[σ_c]。試校核梁的強(qiáng)度。解析：1.外力分析與變形分解：將集中力F向截面形心簡化，得到一個(gè)通過形心的軸向拉力F和一個(gè)附加力偶矩M=F*e（使梁產(chǎn)生彎曲）。故該梁發(fā)生軸向拉伸與彎曲的組合變形。2.內(nèi)力分析確定危險(xiǎn)截面：固定端截面為危險(xiǎn)截面。該截面上的內(nèi)力有：軸力FN=F（拉力），彎矩M_max=F*l+F*e=F(l+e)（若e較小，主要由梁的彎曲產(chǎn)生）。3.應(yīng)力分析確定危險(xiǎn)點(diǎn)：*軸力引起的正應(yīng)力：σ_N=FN/A=F/(πd2/4)=4F/(πd2)，均勻分布，拉應(yīng)力。*彎矩引起的正應(yīng)力：σ_M=M_max/W_z，W_z=πd3/32。最大彎曲拉應(yīng)力發(fā)生在截面的上邊緣（或下邊緣，取決于彎曲方向），σ_M_max=M_max/W_z=32F(l+e)/(πd3)；另一側(cè)為最大彎曲壓應(yīng)力，大小相等，方向相反。*疊加：危險(xiǎn)點(diǎn)可能在最大彎曲拉應(yīng)力與軸向拉應(yīng)力疊加處，其總應(yīng)力為σ_t=σ_N+σ_M_max；另一側(cè)為σ_c=-σ_M_max+σ_N（若σ_N<σ_M_max，則為壓應(yīng)力）。4.強(qiáng)度校核：*最大拉應(yīng)力σ_t≤[σ_t]*若存在壓應(yīng)力，最大壓應(yīng)力|σ_c|≤[σ_c]點(diǎn)評：組合變形問題的關(guān)鍵在于正確的“分解”與“疊加”。首先將復(fù)雜外力分解為基本變形對應(yīng)的外力，計(jì)算各基本變形的內(nèi)力和應(yīng)力，然后在危險(xiǎn)點(diǎn)處進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)的疊加。對于本題的偏心拉伸（壓縮），需注意軸力和彎矩共同作用產(chǎn)生的應(yīng)力疊加效果，明確危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。若為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合，則需運(yùn)用強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。（四）壓桿穩(wěn)定計(jì)算例題4：一兩端鉸支的細(xì)長壓桿，長度為l，橫截面為圓形，直徑為d，材料的彈性模量為E。試計(jì)算該壓桿的臨界力Fcr和臨界應(yīng)力σcr。若將桿長縮短一半，其他條件不變，臨界力變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮拷馕觯?.確定壓桿的長度系數(shù)μ：兩端鉸支，μ=1。2.計(jì)算截面慣性矩I和慣性半徑i：圓形截面I=πd?/64，i=√(I/A)=√[(πd?/64)/(πd2/4)]=d/4。3.計(jì)算長細(xì)比λ：λ=μl/i=1*l/(d/4)=4l/d。因題目已說明是細(xì)長桿，故λ≥λ_p，可應(yīng)用歐拉公式。4.計(jì)算臨界力Fcr：Fcr=π2EI/(μl)2=π2E*(πd?/64)/(l)2=π3Ed?/(64l2)。5.計(jì)算臨界應(yīng)力σcr：σcr=Fcr/A=[π3Ed?/(64l2)]/(πd2/4)=π2Ed2/(16l2)=π2E/λ2（與歐拉公式σcr=π2E/λ2一致）。6.桿長縮短后的臨界力：當(dāng)桿長變?yōu)閘'=l/2時(shí)，λ'=4(l/2)/d=2l/d=λ/2。Fcr'=π2EI/(μl')2=π2EI/((