九年級數(shù)學(xué)特殊平行四邊形練習題特殊平行四邊形——矩形、菱形與正方形，是九年級平面幾何的重要組成部分。它們不僅是平行四邊形的延伸與深化，更因其獨特的性質(zhì)在幾何證明與計算中扮演著關(guān)鍵角色。掌握這些圖形的性質(zhì)與判定，并能靈活運用，是學(xué)好這部分內(nèi)容的核心。本文將通過一系列有梯度的練習題，幫助同學(xué)們鞏固基礎(chǔ)、提升能力，深化對特殊平行四邊形的理解與應(yīng)用。一、核心知識要點回顧在開始練習之前，讓我們簡要回顧矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)與判定定理，這是解決所有相關(guān)問題的基礎(chǔ)。*矩形：有一個角是直角的平行四邊形。*性質(zhì)：四個角都是直角；對角線相等；具有平行四邊形的所有性質(zhì)。*判定：有一個角是直角的平行四邊形；對角線相等的平行四邊形；有三個角是直角的四邊形。*菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形。*性質(zhì)：四條邊都相等；對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角；具有平行四邊形的所有性質(zhì)。*判定：一組鄰邊相等的平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形；四條邊都相等的四邊形。*正方形：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形（既是矩形又是菱形）。*性質(zhì)：兼具矩形和菱形的所有性質(zhì)。*判定：一組鄰邊相等的矩形；有一個角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四邊形。二、基礎(chǔ)鞏固練習(一)選擇題(每題只有一個正確答案)1.下列性質(zhì)中，矩形具有而平行四邊形不一定具有的是（）A.對邊平行且相等B.對角相等C.對角線互相平分D.對角線相等*思路解析與解答：*本題考查矩形與一般平行四邊形性質(zhì)的區(qū)別。平行四邊形的性質(zhì)包括對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分。而矩形作為特殊的平行四邊形，除了具有這些性質(zhì)外，其獨特的性質(zhì)是四個角為直角和對角線相等。因此，選項D是矩形具有而平行四邊形不一定具有的。答案：D。2.菱形的兩條對角線長分別為6和8，則菱形的邊長為（）A.5B.6C.7D.8*思路解析與解答：*菱形的對角線互相垂直平分，這是解決本題的關(guān)鍵。我們可以將菱形的兩條對角線看作是直角三角形的兩條直角邊，而菱形的邊長則是這個直角三角形的斜邊。對角線長分別為6和8，那么它們的一半分別是3和4。根據(jù)勾股定理，邊長的平方=32+42=9+16=25，所以邊長為5。答案：A。3.下列條件中，能判定一個四邊形是正方形的是（）A.四邊相等B.四角相等C.對角線互相垂直且相等D.對角線互相垂直平分且相等*思路解析與解答：*正方形是最特殊的平行四邊形，需要同時滿足矩形和菱形的判定條件。選項A只能判定是菱形；選項B只能判定是矩形；選項C，對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形，更不用說是正方形了；選項D，對角線互相垂直平分說明是菱形，對角線相等說明是矩形，既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形。答案：D。(二)填空題1.矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4cm，則AC的長為______cm。*思路解析與解答：*矩形的對角線相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。已知∠AOB=60°，所以三角形AOB是一個等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）。因此，AO=AB=4cm。所以AC=2AO=8cm。答案：8。2.菱形的一個內(nèi)角為60°，一條邊長為6，則菱形較短的對角線長為______。*思路解析與解答：*菱形的四條邊都相等。當菱形有一個內(nèi)角為60°時，連接這個內(nèi)角的兩條邊與較短的對角線可以構(gòu)成一個等邊三角形。因為這個內(nèi)角的兩邊相等（菱形的邊），且夾角為60°，所以較短的對角線長度等于菱形的邊長，即6。答案：6。3.正方形ABCD中，對角線AC=8，則正方形的面積為______。*思路解析與解答：*正方形的對角線互相垂直平分且相等。我們可以將正方形看作是兩個全等的等腰直角三角形，其底和高都是對角線的一半，即4。一個三角形的面積是(8×4)/2=16，那么正方形的面積就是16×2=32。或者，正方形面積還有一個公式：對角線乘積的一半，即(AC×BD)/2=(8×8)/2=32。答案：32。(三)解答題1.已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點。求證：四邊形AECF是平行四邊形。*思路解析與解答：*要證明四邊形AECF是平行四邊形，我們可以利用平行四邊形的判定定理，比如“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”等。證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D=90°?！逧、F分別是AB、CD的中點，∴AE=1/2AB，CF=1/2CD?！郃E=CF。又∵AB∥CD，即AE∥CF?！嗨倪呅蜛ECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。2.已知菱形的周長為20cm，一條對角線長為8cm，求另一條對角線的長及菱形的面積。*思路解析與解答：*首先，由菱形的周長可以求出其邊長。菱形四邊相等，周長為20cm，所以邊長為20÷4=5cm。菱形的對角線互相垂直平分，我們設(shè)兩條對角線分別為AC和BD，相交于點O。已知一條對角線長為8cm，假設(shè)AC=8cm，則AO=4cm。在Rt△AOB中，AB=5cm，AO=4cm，根據(jù)勾股定理可得：BO2=AB2-AO2=52-42=25-16=9。∴BO=3cm?！嗔硪粭l對角線BD=2BO=6cm。菱形的面積=(AC×BD)/2=(8×6)/2=24cm2。答：另一條對角線的長為6cm，菱形的面積為24cm2。三、能力提升練習1.如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點F處，連接CF并延長交AE的延長線于點G。求證：AG⊥CG。*思路解析與解答：*這道題涉及到正方形的性質(zhì)、圖形的翻折以及角度的證明。翻折的性質(zhì)是關(guān)鍵，即折疊前后的圖形全等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。證明：∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，∴△ABE≌△AFE?！郃B=AF，BE=FE，∠ABE=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°?！郃F=AD。連接DF，在△AFD和△ADC中，AF=AD，AD=AD，暫時看不出全等，但我們可以考慮∠AFG?！摺螦FE=90°，∠AFC=180°-∠AFE=90°（平角定義）。設(shè)∠BAE=∠FAE=α，則∠FAD=90°-2α?！逜F=AD，∴△AFD是等腰三角形，∠AFD=∠ADF=(180°-∠FAD)/2=(180°-(90°-2α))/2=(90°+2α)/2=45°+α。∵∠AFC=90°，∴∠DFC=∠AFC-∠AFD=90°-(45°+α)=45°-α。在Rt△FCD中，∠FCD=90°-∠DFC=90°-(45°-α)=45°+α。在△EGC中，∠GEC=∠AEB=90°-α（在Rt△ABE中）?！螱CE=∠FCD=45°+α?！唷螮GC=180°-∠GEC-∠GCE=180°-(90°-α)-(45°+α)=180°-90°+α-45°-α=45°。（此處原思路有誤，修正如下）換一種思路：在Rt△ABE中，∠BAE=α，則∠AEB=90°-α?！摺螦EB=∠FEG（對頂角相等）?！逧F=BE，設(shè)BE=EF=x，EC=y，則BC=x+y，F(xiàn)C=?在Rt△EFC中，EF=x，EC=y，F(xiàn)C=√(y2-x2)。但或許從角度關(guān)系更直接：∵∠AFG=∠ADG=90°（∠AFE=90°，∠ADC=90°），∴A、F、D、G四點共圓（四邊形AFDG的對角互補）?！唷螦GD=∠AFD=45°+α(已證)。又∵∠FGC=180°-∠AGD-∠AGF?似乎復(fù)雜。更簡便的：延長AF交CG于點H?！摺螦FE=∠CFE=90°，EF=EF，若能證△EFC≌△EFB，但BF未知。回到原題，要證AG⊥CG，即證∠AGC=90°?！摺螦FG=90°，若能證點F在以AC為直徑的圓上，或證∠FAG+∠FCG=90°?！螰AG=α，∠FCG=∠FCD=45°+α(已求)。α+(45°+α)=45°+2α，不一定是90°。重新梳理：∵AB=AF=AD，∴∠ABF=∠AFB，∠ADF=∠AFD。∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠FBC=90°-∠ABF，∠FDC=90°-∠ADF。在四邊形BFDC中，∠FBC+∠FDC+∠BCD+∠BFD=360°?！螧FD=∠AFB+∠AFD=(180°-∠BAF)/2+(180°-∠DAF)/2=180°-(∠BAF+∠DAF)/2=180°-45°=135°?！唷螰BC+∠FDC=360°-90°-135°=135°?！?90°-∠ABF)+(90°-∠ADF)=135°→∠ABF+∠ADF=45°?！摺螦GC=180°-(∠GAC+∠GCA)?！螱AC=α，∠GCA=∠DCA-∠DCG?！螪CA=45°（正方形對角線平分角）?！螪CG=90°-∠DFC，∠DFC=180°-∠FDC-∠FCD=180°-(90°-∠ADF)-45°=45°+∠ADF?！唷螪CG=90°-(45°+∠ADF)=45°-∠ADF。∴∠GCA=45°-(45°-∠ADF)=∠ADF。∴∠AGC=180°-(α+∠ADF)。又∵∠BAF=2α=90°-∠DAF，∠DAF=90°-2α，∠ADF=(180°-∠DAF)/2=(180°-90°+2α)/2=45°+α?！唳?∠ADF=α+45°+α=45°+2α?！摺螧AF=2α，且∠BAF≤90°，∴∠AGC=180°-(45°+2α)=135°-2α。這似乎仍未得到90°?？磥碇暗乃悸酚姓`。正確簡證：∵△ABE≌△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=FE?！逜B∥CD，∴∠AEB=∠GCF（內(nèi)錯角相等）?！摺螦EF=∠GEF（對頂角），∴∠GEF=∠GCF?！唷鱃EF∽△GCF（有兩個角對應(yīng)相等）?！唷螱FE=∠GFC。又∵∠AFE=90°，∴∠AFG=90°-∠GFE?！螩FG=180°-∠GFC=180°-∠GFE?！唷螦FG+∠CFG=90°-∠GFE+180°-∠GFE=270°-2∠GFE。而∠AFC=180°（平角），即∠AFG+∠CFG=180°?！?70°-2∠GFE=180°→2∠GFE=90°→∠GFE=45°?！唷螱FC=45°，∠FGC=180°-∠GCF-∠GFC=180°-∠AEB-45°。在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠BAE=90°-α?！唷螰GC=180°-(90°-α)-45°=45°+α。同時，∠FAG=α，∠AFG=90°-∠GFE=45°。在△AFG中，∠AGF=180°-∠FAG-∠AFG=180°-α-