威遠中學(xué)高屆高三上期數(shù)學(xué)月月考數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分分，考試時間分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共分）85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則A.B.2C.5D.50【答案】A【解析】【分析】本題先計算，再根據(jù)模的概念求出．【詳解】由已知，，所以，故選A【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．由于對平面向量的坐標(biāo)運算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．2.已知復(fù)數(shù)，且是純虛數(shù)，則（）A.B.0C.2D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運算法則得到，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程得到，最后求復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以第1頁/共23頁.故選：A.3.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則（）A.60B.32C.15D.20【答案】A【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由兩個等式求得，再利用等比數(shù)列部分和的特征，將拆項分組求和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，可得，因，解得.則.故選：A.4.函數(shù)的部分圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，可知的定義域為，利用定義法判斷出為奇函數(shù)，排除B、D選項，第2頁/共23頁且當(dāng)C選項，從而得出答案.【詳解】解：由題可知，，則的定義域為，則，可得為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，故可排除B、D，當(dāng)時，令，即，解得：即的圖象與軸非負半軸的交點的橫坐標(biāo)從左到右依次為：由于，而，而由選項C的圖象中，可知當(dāng)時，，不符合題意，故可排除C.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，通過利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，以及根據(jù)零點和特殊值法進行排除，考查運算能力.5.某學(xué)校為促進學(xué)生全面發(fā)展，開設(shè)“雅趣象棋”“舞動社團”“國粹武術(shù)”“太極健身”“足球天下”“形象禮儀”6門興趣課供學(xué)生進行選修，已知甲和乙各自選修了32門選修課兩人均未選修的情況有（）A.180種B.160種C.120種D.100種【答案】A【解析】【分析】利用排列組合的知識可得答案.【詳解】有2門選修課兩人均未選修，即兩人均在剩余的4門興趣課中選修了3門課，且這4門課均被選上，這意味著兩人有2門公共課，各有1門獨占課，所以不同的選法有種．第3頁/共23頁6.意大利著名畫家達·芬奇的經(jīng)典之作——《蒙娜麗莎》被海內(nèi)外眾多學(xué)者津津樂道.畫中女子的臉上那一抹神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者為之入迷，許多人都想揭開這微笑背后的秘密.中女子的嘴唇可近似地看作一段圓弧.對其進行了測繪.他在女子嘴角處分別作圓弧的切線，兩條切線相交于點，連接兩點，測量得到的數(shù)據(jù)大致如下：.中女子的微笑弧度所對應(yīng)的圓心角大概為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求解，畫出圖象可知圓心角為，然后判斷即可.【詳解】在三角形中，由余弦定理得：，如圖《蒙娜麗莎》中女子的微笑弧度所對應(yīng)的圓心角為，所以，，在四個選項中最接近，故選：B第4頁/共23頁（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運算律化簡給定等式，并建立不等式求解即得最大值.【詳解】依題意，，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時取等號，于是，解得，所以的最大值為.故選：B8.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較大小.【詳解】因為，，，則，設(shè)，則，，可得，因為函數(shù)，均在內(nèi)單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，可得，第5頁/共23頁可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即，故選：C.二、多選題（本題共3個小題，每題6分，有多個選項，共分）9.下面命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.函數(shù)在上的最小值是C.函數(shù)和函數(shù)是同一函數(shù)D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用分式不等式的解法結(jié)合集合的包含關(guān)系可判斷A選項；利用基本不等式可判斷B選項；利用函數(shù)相等的定義可判斷C選項；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由得，解得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件，A對；對于B選項，當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此函數(shù)在上的最小值是，B錯；對于C選項，函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，因為，，這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，故函數(shù)和函數(shù)不是同一函數(shù)，C錯；對于D選項，因為，由不等式的基本性質(zhì)可得，D對.故選：AD.第6頁/共23頁10.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則的面積是D.若，則外接圓半徑是【答案】AD【解析】【分析】由已知比例關(guān)系易得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系判斷A；由向量數(shù)量積的定義及三角形內(nèi)角性質(zhì)判斷B；余弦定理求得，再由面積公式求面積判斷C；利用正弦定理求外接圓半徑判斷D.【詳解】令，則，，可得，所以，由正弦邊角關(guān)系易知：，A對；若，則，故，，則，所以，C錯；由，結(jié)合C可得，B錯；由，則，而，故外接圓半徑是，D對.故選：AD.已知函數(shù)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時，方程有且只有3個不同實根C.的值域為第7頁/共23頁D.若對于任意的，都有成立，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A：取特殊函數(shù)值否定結(jié)論；對于B：當(dāng)時，解方程得到和是方程的根.利用零點存在定理證明在上有且只有一個零點.即可證明.對于C：根據(jù)單調(diào)性求出的值域.對于Dx分類討論：、和k可.【詳解】對于A：.因為，，所以，所以.所以在上不是增函數(shù).故A錯誤；對于B：當(dāng)時，方程可化為：或.由可解得：.對于，顯然代入方程成立，所以是方程的根.第8頁/共23頁.所以令，解得：；令，解得：；所以在上單增，在上單減.所以.所以在上沒有零點；而在上單減，且，，所以在上有且只有一個零點.綜上所述：當(dāng)時，方程有且只有3個不同實根.故B正確；對于C：對于.當(dāng)時，.，所以；當(dāng)時，..令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增.所以；故的值域為成立.故C正確.對于D：對于任意的，都有成立，所以及恒成立.第9頁/共23頁令，只需.令，則.則.所以，即.若恒成立，當(dāng)，無論k取何值，不等式均成立，所以.當(dāng)，則有.令，只需..記，則，所以在上單減，所以，即，所以在上單減，所以所以.綜上所述：.故D正確.故選：BCD【點睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；（4）利用導(dǎo)數(shù)處理恒（能）成立問題.第10頁/共23頁第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知集合，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的元素與集合關(guān)系列式，即可求解.【詳解】由集合，得，則，故答案為：13.若直線與曲線相切，則__________.【答案】1【解析】【分析】求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解.【詳解】因為，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，解得.故答案為：1.14.對于函數(shù)，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數(shù)有3個零點；④對任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號是______.【答案】①③④【解析】【分析】因為,定義域為,以長度為變化區(qū)間的正弦類型的第11頁/共23頁曲線,且當(dāng)時,后面每個周期都是前一個周期振幅的,根據(jù)相應(yīng)性質(zhì)判斷命題即可求得答案.【詳解】對于①,如圖:任取當(dāng),當(dāng),,,,恒成立故①正確.對于②故②錯誤對于③,的零點的個數(shù)問題,分別畫出和的圖像如圖:和圖像由三個交點.的零點的個數(shù)為:.故③正確.第12頁/共23頁對于④,設(shè),,令在,可得:當(dāng)時,,,,若任意,不等式恒成立,即,可得求證:當(dāng),,化簡可得:設(shè)函數(shù),則當(dāng)時,單調(diào)遞增,可得即:綜上所述,對任意,不等式恒成立.故④正確.故答案為:①③④.,分段函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點.對于含參數(shù)不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,然后再構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)的最值即可求出結(jié)果,考查了推理能力與計算能力.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期；第13頁/共23頁【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間上；單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換公式化簡可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；（2）利用正弦型函數(shù)整體代換法即可求得，，從而可求解.【小問1詳解】依題意,，所以.【小問2詳解】依題意，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，設(shè)，，，當(dāng)時，，得，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時，，此時所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.第14頁/共23頁（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若對一切實數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解；(2)1，解之即可求解.【小問1詳解】因為，所以，解得，則，所以．【小問2詳解】由（1）知，，則，，所以，解得或，第15頁/共23頁所以的取值范圍為．17.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求角B；（2）為P為P點作EF的最小值【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)三角形的性質(zhì)，運用正弦定理邊角互化，結(jié)合已知條件及誘導(dǎo)公式計算求出角；（2）根據(jù)三角形外切圓的性質(zhì)及切線性質(zhì)，通過邊角關(guān)系得出三角形相似，進而得出三角形邊的比例關(guān)系，結(jié)合已知條件得出相關(guān)邊的表達式，通過向量加減法運算得出向量乘積的表達式，最后利用基本不等式求最小值．【小問1詳解】，，又，，，，，，，又，．【小問2詳解】且，為的外接圓，第16頁/共23頁如圖所示，設(shè)，連接與交于點，過外一點作的切線，切點分別為，，，，，，又，，則，故，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時等號成立，的最小值為．18.賽，海量題庫中籃球?足球?排球三類相關(guān)知識題量占比分別為．甲校友回答籃球、足球、排球這三類問題中每個題的正確率分別為．（1）若甲校友在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；（2）若甲校友從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得3分，回答錯誤得分．設(shè)該校友回答第17頁/共23頁（3）知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取道題目，答對題目數(shù)不少于道，即可獲得獎勵．現(xiàn)以獲得獎勵的概率大小為依據(jù)，若甲校友在和之中選其一，則他應(yīng)如何選擇？并說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3），理由見解析【解析】1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望，（3）對和求解對應(yīng)的概率，利用作差法比較大小即可求解.【小問1詳解】設(shè)“甲校友所選的題目回答正確”，“所選的題目為籃球相關(guān)知識的題目”，“所選的題目為足球相關(guān)知識的題目”，“所選的題目為排球相關(guān)知識的題目”，則，且兩兩互斥．根據(jù)題意得，，，，則，所以甲校友在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為．【小問2詳解】的可能取值為，，，，，第18頁/共23頁3159所以．【小問3詳解】當(dāng)時，為甲校友答對題目數(shù)量，由題意可知，其中，故當(dāng)時，甲校友獲得獎勵的概率，當(dāng)時，甲校友獲得獎勵的情況可以分為如下情況：①前8題答對題目的數(shù)量大于等于5，②前8題答對題目的數(shù)量等于4，且最后2題至少答對1題，③前8題答對題目的數(shù)量等于3，且最后2題全部答對，故當(dāng)時，甲校友獲得獎勵的概率，所以，因為，所以，即，所以甲校友應(yīng)選．19.試回答下面問題：（1），均有成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）已知函數(shù)，設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．（3）設(shè)，，其中a，．設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使成立，求b的取值范圍．第19頁/共23頁【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）不妨設(shè)，先把原式化簡為在上恒成立，設(shè)，只需證明在上單調(diào)遞減，即在上恒成立.（2）將變形為，即，不妨設(shè)，只需證，利用極值點偏移，構(gòu)造函數(shù),證明即可.（3）求出的導(dǎo)數(shù)，通過單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)在上的值域為，由題意分析時，結(jié)合的導(dǎo)數(shù)得到在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，再由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得到所求范圍．【小問1詳解】不妨設(shè)，則原式可轉(zhuǎn)化為，均有恒成立,設(shè)，則，只需證明在上單調(diào)遞減，即