五年級(jí)數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)解析與習(xí)題集五年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就像為一座宏偉的知識(shí)大廈添磚加瓦，既承接了低年級(jí)的基礎(chǔ)運(yùn)算，又為高年級(jí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想打下伏筆。這個(gè)階段的知識(shí)點(diǎn)，不少同學(xué)會(huì)覺得有些“繞”，有些“抽象”。別擔(dān)心，咱們今天就一起把這些重點(diǎn)難點(diǎn)捋一捋，再通過一些典型的習(xí)題來鞏固一下，相信你會(huì)豁然開朗。一、小數(shù)的乘除法小數(shù)的乘除法是在整數(shù)乘除法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，但多了小數(shù)點(diǎn)的處理，這就成了不少同學(xué)容易出錯(cuò)的地方。重點(diǎn)難點(diǎn)解析1.小數(shù)乘法法則：計(jì)算小數(shù)乘法，先按照整數(shù)乘法的法則算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。如果積的小數(shù)位數(shù)不夠，要用“0”補(bǔ)足，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。特別注意：積的末尾有0時(shí)，要先點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，再去掉末尾的0，順序不能顛倒。2.小數(shù)除法法則：*除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法：按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添0再繼續(xù)除。*除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法：關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化。先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)；除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的，在被除數(shù)的末尾用0補(bǔ)足）；然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算。3.積與商的近似值：在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常需要用“四舍五入”法求積或商的近似值。關(guān)鍵是要明確保留幾位小數(shù)或精確到哪一位。4.簡(jiǎn)便運(yùn)算：整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律同樣適用于小數(shù)乘法，靈活運(yùn)用這些定律可以使計(jì)算更簡(jiǎn)便。典型習(xí)題演練習(xí)題1：計(jì)算3.6×2.5和7.8÷0.12習(xí)題2：一個(gè)長(zhǎng)方形的廣告牌，長(zhǎng)4.5米，寬1.8米。如果每平方米的廣告牌需要用油漆0.6千克，那么漆好這個(gè)廣告牌共需要多少千克油漆？（結(jié)果保留一位小數(shù)）習(xí)題3：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：0.25×3.2×1.25和1.2×9.9思路點(diǎn)撥與解答：*習(xí)題1：*3.6×2.5：可以將3.6拆分為0.9×4，然后利用4×2.5=10進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，即0.9×(4×2.5)=0.9×10=9?；蛘咧苯影捶▌t計(jì)算：先算36×25=900，因數(shù)中共有兩位小數(shù)，從積的右邊起數(shù)兩位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，得9.00，即9。*7.8÷0.12：除數(shù)是小數(shù)，先把0.12變成12，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，被除數(shù)7.8的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)兩位變成780，然后計(jì)算780÷12=65。*習(xí)題2：先求出廣告牌的面積：4.5×1.8=8.1（平方米），再求油漆用量：8.1×0.6=4.86（千克），結(jié)果保留一位小數(shù)，看百分位是6，向十分位進(jìn)1，得4.9千克。*習(xí)題3：*0.25×3.2×1.25：將3.2拆分為4×0.8，然后0.25×4=1，0.8×1.25=1，所以結(jié)果是1×1=1。*1.2×9.9：將9.9看作10-0.1，利用分配律：1.2×10-1.2×0.1=12-0.12=11.88。二、簡(jiǎn)易方程從算術(shù)到代數(shù)，簡(jiǎn)易方程是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。它能幫助我們更方便地解決一些逆向思維的問題。重點(diǎn)難點(diǎn)解析1.用字母表示數(shù)：這是代數(shù)的基礎(chǔ)。要理解字母可以表示任意數(shù)、特定公式里的量，或者問題中的未知數(shù)。在含有字母的式子里，數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“·”或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母前面。2.方程的意義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。判斷一個(gè)式子是不是方程，要看兩點(diǎn)：一是含有未知數(shù)，二是必須是等式。3.解方程：求方程的解的過程叫做解方程。解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)：*等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，左右兩邊仍然相等。*等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，左右兩邊仍然相等。解完方程后，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣非常重要。4.列方程解決實(shí)際問題：這是方程學(xué)習(xí)的落腳點(diǎn)。關(guān)鍵步驟是：*弄清題意，找出未知數(shù)，用字母x（或其他字母）表示。*分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出方程。*解方程。*檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，并寫出答案。典型習(xí)題演練習(xí)題4：解下列方程：3x+4.5=13.5和4(x-1.2)=10習(xí)題5：果園里有蘋果樹和桃樹共120棵，蘋果樹的棵數(shù)是桃樹的2倍。蘋果樹和桃樹各有多少棵？（用方程解）習(xí)題6：學(xué)校圖書館買來一批新書，其中故事書有240本，比科技書的3倍少30本?？萍紩I了多少本？（用方程解）思路點(diǎn)撥與解答：*習(xí)題4：*3x+4.5=13.5：等式兩邊同時(shí)減去4.5，得3x=9，再兩邊同時(shí)除以3，得x=3。*4(x-1.2)=10：方法一，等式兩邊先同時(shí)除以4，得x-1.2=2.5，再兩邊同時(shí)加上1.2，得x=3.7。方法二，先運(yùn)用乘法分配律展開，得4x-4.8=10，然后兩邊同時(shí)加上4.8，得4x=14.8，再兩邊同時(shí)除以4，得x=3.7。*習(xí)題5：設(shè)桃樹有x棵，則蘋果樹有2x棵。根據(jù)“蘋果樹棵數(shù)+桃樹棵數(shù)=總棵數(shù)”，可列方程：x+2x=120，即3x=120，解得x=40。所以桃樹有40棵，蘋果樹有2×40=80棵。*習(xí)題6：設(shè)科技書買了x本。根據(jù)“科技書本數(shù)×3-30=故事書本數(shù)”，可列方程：3x-30=240。兩邊同時(shí)加上30，得3x=270，解得x=90。所以科技書買了90本。三、多邊形的面積五年級(jí)我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算，以及組合圖形的面積計(jì)算。掌握這些圖形的面積公式及其推導(dǎo)過程是關(guān)鍵。重點(diǎn)難點(diǎn)解析1.平行四邊形的面積：公式是底×高(S=a×h)。它的面積公式是通過“割補(bǔ)法”轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)出來的，所以這里的“高”必須是對(duì)應(yīng)底邊上的高。2.三角形的面積：公式是底×高÷2(S=a×h÷2)。它的面積公式可以通過兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形推導(dǎo)出來，所以一定要記得除以2。同樣要注意底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.梯形的面積：公式是(上底+下底)×高÷2(S=(a+b)×h÷2)。它的面積公式可以通過兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形推導(dǎo)出來。4.組合圖形的面積：計(jì)算組合圖形的面積，通常有“分割法”和“添補(bǔ)法”。分割法是把組合圖形分割成幾個(gè)我們學(xué)過的基本圖形，分別求出面積再相加；添補(bǔ)法是把組合圖形添補(bǔ)成一個(gè)大的基本圖形，用大圖形面積減去添補(bǔ)部分的面積。典型習(xí)題演練習(xí)題7：一個(gè)平行四邊形的停車位，底是5米，高是2.5米。這個(gè)停車位的面積是多少平方米？如果每平方米的地磚需要32元，鋪好這個(gè)停車位需要多少錢？習(xí)題8：一塊三角形的菜地，底是28米，高是底的一半。如果每平方米收白菜8.5千克，這塊地一共可以收白菜多少千克？習(xí)題9：計(jì)算下面梯形的面積。（上底5厘米，下底9厘米，高4厘米）習(xí)題10：計(jì)算一個(gè)組合圖形的面積（可以描述一個(gè)簡(jiǎn)單的，比如一個(gè)長(zhǎng)方形中間挖去一個(gè)三角形，或者一個(gè)由梯形和三角形組成的圖形）。思路點(diǎn)撥與解答：*習(xí)題7：面積S=5×2.5=12.5(平方米)。費(fèi)用：12.5×32=400(元)。*習(xí)題8：高是底的一半，即高h(yuǎn)=28÷2=14(米)。面積S=28×14÷2=196(平方米)。收白菜總量：196×8.5=1666(千克)。*習(xí)題9：S=(5+9)×4÷2=14×4÷2=28(平方厘米)。*習(xí)題10：(假設(shè)組合圖形是一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形，在它的右上角剪去一個(gè)底3厘米、高4厘米的直角三角形)。思路：用長(zhǎng)方形面積減去三角形面積。長(zhǎng)方形面積：10×6=60(平方厘米)。三角形面積：3×4÷2=6(平方厘米)。組合圖形面積：60-6=54(平方厘米)。四、因數(shù)與倍數(shù)這一單元的概念比較多，也比較抽象，需要同學(xué)們理解并記憶。重點(diǎn)難點(diǎn)解析1.因數(shù)和倍數(shù)的意義：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。注意：因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說某個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。2.2、3、5的倍數(shù)的特征：*個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)（偶數(shù)）；個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)。*一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。*個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）；一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。4.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的常用方法有列舉法、短除法等。典型習(xí)題演練習(xí)題11：寫出18的所有因數(shù)，并判斷18是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。習(xí)題12：在100以內(nèi)的數(shù)中，找出所有既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)。習(xí)題13：求12和18的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。習(xí)題14：有兩根繩子，一根長(zhǎng)24米，另一根長(zhǎng)36米?，F(xiàn)在要把它們剪成同樣長(zhǎng)的小段，每段要盡可能長(zhǎng)，且沒有剩余。每段繩子長(zhǎng)多少米？一共可以剪成多少段？思路點(diǎn)撥與解答：*習(xí)題11：18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。因?yàn)?8除了1和它本身還有其他因數(shù)，所以18是合數(shù)。*習(xí)題12：既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，就是15的倍數(shù)。100以內(nèi)15的倍數(shù)有：15、30、45、60、75、90。*習(xí)題13：*求最大公因數(shù)：列舉法：12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。公有的因數(shù)有1、2、3、6，最大的是6。短除法：用公因數(shù)2去除，得6和9；再用公因數(shù)3去除，得2和3。最大公因數(shù)是2×3=6。*求最小公倍數(shù)：列舉法：12的倍數(shù)有12、24、36、48...；18的倍數(shù)有18、36、54...。公有的倍數(shù)有36、72...，最小的是36。短除法：同上面短除法，把除數(shù)和最后的商相乘，2×3×2×3=36。*習(xí)題14：要把兩根繩子剪成同樣長(zhǎng)的小段且無剩余，每段長(zhǎng)度就是24和36的公因數(shù)。要盡可能長(zhǎng)，就是求它們的最大公因數(shù)。24和36的最大公因數(shù)是12。所以每段繩子長(zhǎng)12米。24米的繩子可以剪24÷12=2段，36米的繩子可以剪36÷12=3段，一共可以剪成2+3=5段。五、長(zhǎng)方體和正方體這部分內(nèi)容主要是培養(yǎng)同學(xué)們的空間觀念，掌握長(zhǎng)方體和正方體的特征及表面積、體積的計(jì)算。重點(diǎn)難點(diǎn)解析1.長(zhǎng)方體和正方體的特征：*長(zhǎng)方體：有6個(gè)面（一般是長(zhǎng)方形，特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)的面面積相等；有12條棱，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。*正方體：正方體是特殊的長(zhǎng)方體，它的6個(gè)面都是正方形，6個(gè)面的面積都相等；12條棱的長(zhǎng)度都相等。2.表面積：長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積叫做它的表面積。*長(zhǎng)方體表面積公式：S=2(ab+ah+bh)(a、b、h分別為長(zhǎng)、寬、高)*正方體表面積公式：S=6a2(a為棱長(zhǎng))在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意是否需要計(jì)算所有面的面積（如無蓋的魚缸、粉刷墻壁等）。3.體積和容積：*體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。*容積：容器所能容納物體的體積叫做容器的容積。*長(zhǎng)方體體積公式：V=abh*正方體體積公式：V=a3*通用體積公式：V=Sh(S為底面積，h為高)*體積（容積）單位：立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)、升(L)、毫升(mL)。1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。4.體積單位間的進(jìn)率：相鄰兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。典型習(xí)題演練習(xí)題15：一個(gè)長(zhǎng)方體的禮品盒，長(zhǎng)20厘米，寬15厘米，高10厘