矩形的性質(zhì)與判定綜合練習題在平面幾何的學習中，矩形作為一種特殊的平行四邊形，因其獨特的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用，始終是我們關(guān)注的重點。掌握矩形的性質(zhì)與判定，不僅能夠幫助我們更深入地理解平面圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，也是解決復(fù)雜幾何問題的基礎(chǔ)。今天，我們就通過一系列綜合練習題，來鞏固和深化對矩形相關(guān)知識的理解與應(yīng)用能力。一、知識梳理與回顧在著手練習之前，讓我們簡要回顧一下矩形的核心性質(zhì)與判定方法，這將是我們解決問題的“利器”。（一）矩形的性質(zhì)我們知道，矩形是一個內(nèi)角為直角的平行四邊形。因此，它不僅具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有其特殊性：1.角的特性：矩形的四個內(nèi)角都是直角（90°）。這是矩形最顯著的標志。2.邊的特性：矩形的對邊平行且相等。這一點繼承自平行四邊形。3.對角線的特性：矩形的對角線相等且互相平分。這是矩形非常重要的一個性質(zhì)，常常在計算和證明中發(fā)揮關(guān)鍵作用。4.對稱性：矩形既是中心對稱圖形（對稱中心為對角線的交點），也是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，分別是對邊中點的連線。（二）矩形的判定判定一個四邊形是否為矩形，我們通常有以下幾種方法：1.定義法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。這是最基本的判定方法，直接源于矩形的定義。2.對角線法：對角線相等的平行四邊形是矩形。這是基于矩形對角線性質(zhì)的逆命題。3.內(nèi)角法：有三個角是直角的四邊形是矩形。因為四邊形內(nèi)角和為360°，三個角為直角，則第四個角必然也是直角。在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)題目所給的條件，靈活選擇合適的判定方法。有時，題目不會直接給出明顯的條件，需要我們通過已知信息進行推導和轉(zhuǎn)化。二、綜合練習題（一）基礎(chǔ)鞏固練習1：已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4。求矩形對角線的長及BC的長。分析：這道題主要考查矩形對角線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)。我們知道矩形的對角線相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。又因為∠AOB=60°，所以三角形AOB是等邊三角形，由此可求出AO的長度，進而得到對角線AC的長度。在直角三角形ABC中，已知AB和AC，利用勾股定理即可求出BC。解答：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=(1/2)AC，BO=DO=(1/2)BD，∠ABC=90°?！郃O=BO。又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形?！郃O=AB=4?！郃C=2AO=8。在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，根據(jù)勾股定理，BC=√(AC2-AB2)=√(82-42)=√(64-16)=√48=4√3。故矩形對角線的長為8，BC的長為4√3。練習2：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，且AF=DE。求證：平行四邊形ABCD是矩形。分析：要證明平行四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的判定方法，我們可以考慮證明它有一個角是直角，或者證明它的對角線相等。已知AF=DE，且四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是AB、CD的中點，我們可以通過證明三角形全等，得到角相等的關(guān)系，進而推出直角。解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD?！逧、F分別是AB、CD的中點，∴AE=(1/2)AB，DF=(1/2)CD。∴AE=DF。又∵AB∥CD，∴四邊形AEFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。∴AF∥DE。又∵AF=DE，∴四邊形AEFD是矩形嗎？不對，一組對邊平行且相等，且這組對邊也相等，只能說明是平行四邊形，若要證其為矩形，還需一個直角?；蛘?，我們換個思路，證明△ADE≌△BCF？或者，直接在平行四邊形ABCD中，連接EF?！逧、F分別是AB、CD的中點，AB=CD，AB∥CD，∴AE=DF，且AE∥DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD∥EF，AD=EF。同理，BC∥EF，BC=EF，所以AD=BC（平行四邊形性質(zhì)已具備）。已知AF=DE，AE=DF，EF為公共邊，∴△AEF≌△DFE（SSS）?！唷螦EF=∠DFE?！逜B∥CD，∴∠AEF+∠DFE=180°（同旁內(nèi)角互補）。∴∠AEF=∠DFE=90°。∵AD∥EF，∴∠BAD=∠AEF=90°（兩直線平行，同位角相等）?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，且有一個角是直角，∴平行四邊形ABCD是矩形。（二）能力提升練習3：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，對角線AC、BD相交于點O，且OA=OD。求證：四邊形ABCD是矩形。分析：首先，由AB=CD，AD=BC，可判定四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）。然后，在平行四邊形中，對角線互相平分，即OA=OC，OB=OD。已知OA=OD，可推出OA=OB=OC=OD，即對角線AC=BD。根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”即可得證。解答：∵在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）?！郞A=OC=(1/2)AC，OB=OD=(1/2)BD（平行四邊形對角線互相平分）?！逴A=OD，∴OA=OC=OB=OD?！郞A+OC=OB+OD，即AC=BD。∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）。練習4：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E。求證：四邊形ADCE是矩形。分析：要證明四邊形ADCE是矩形，我們可以嘗試證明它有三個角是直角。已知CE⊥AN，所以∠AEC=90°。AB=AC，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，AD⊥BC，即∠ADC=90°。接下來只需證明∠DAE=90°即可。AN是外角∠CAM的平分線，AD是頂角平分線（由等腰三角形三線合一），可推出∠DAN=90°。解答：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊），∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的中線重合）。∴∠ADC=90°?！逜N是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAN=∠CAN?！摺螧AC+∠CAM=180°（平角定義），∠BAD+∠CAD+∠MAN+∠CAN=180°，又∵∠BAD=∠CAD，∠MAN=∠CAN，∴2∠CAD+2∠CAN=180°，∴∠CAD+∠CAN=90°，即∠DAE=90°?！逤E⊥AN，∴∠AEC=90°。在四邊形ADCE中，∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）。（三）拓展應(yīng)用練習5：如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P從點A出發(fā)沿AD向點D勻速運動，速度為每秒1個單位；同時點Q從點C出發(fā)沿CB向點B勻速運動，速度為每秒2個單位。設(shè)運動時間為t秒（0<t<4）。連接PQ，DQ，BP。當t為何值時，四邊形PBQD是矩形？分析：四邊形ABCD是矩形，AD∥BC，AD=BC=8，AB=CD=6。點P從A出發(fā)，速度1單位/秒，t秒后AP=t，PD=8-t。點Q從C出發(fā)，速度2單位/秒，t秒后CQ=2t，BQ=8-2t。要使四邊形PBQD是矩形，已知PD∥BQ（因為AD∥BC），所以只需PD=BQ且∠DPB=90°？或者，更簡單的，因為在平行四邊形的基礎(chǔ)上，若對角線相等或有一個角是直角則為矩形。首先判斷四邊形PBQD是否為平行四邊形。PD∥BQ，若PD=BQ，則四邊形PBQD是平行四邊形。然后，若為平行四邊形，再證其對角線相等或一個角為直角。解答：由題意得：AP=t，CQ=2t?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，CD=AB=6。∴PD=AD-AP=8-t，BQ=BC-CQ=8-2t?！逜D∥BC，即PD∥BQ，∴當PD=BQ時，四邊形PBQD是平行四邊形。即8-t=8-2t，解得t=0。但t>0，所以此情況不成立？或者，我們考慮BP和DQ是否相等？另一種思路：若四邊形PBQD是矩形，則∠BPD=90°？或者，對角線PQ=BD？或者，在矩形ABCD中，BD是對角線，BD=√(AB2+AD2)=√(62+82)=10。若四邊形PBQD是矩形，則其對角線相等，即PQ=BD=10。但這樣計算可能復(fù)雜?；蛘?，我們用坐標法試試會更清晰。以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系。則A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)。P點坐標為(0,t)，Q點坐標為(6,8-2t)。四邊形PBQD的四個頂點坐標為P(0,t)，B(6,0)，Q(6,8-2t)，D(0,8)。要使四邊形PBQD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，其相鄰兩邊應(yīng)垂直。比如，向量BP和向量BQ是否垂直？或者，向量PB和向量PD是否垂直？向量PB=B-P=(6-0,0-t)=(6,-t)向量PD=D-P=(0-0,8-t)=(0,8-t)若∠BPD是直角，則PB·PD=0。6*0+(-t)(8-t)=0→-t(8-t)=0→t=0或t=8。均不在0<t<4范圍內(nèi)。向量BP=P-B=(-6,t)向量DQ=Q-D=(6-0,(8-2t)-8)=(6,-2t)若四邊形PBQD是矩形，則BP·DQ=0？似乎不是這樣直接判斷?；氐阶畛?，四邊形PBQD的對邊分別是PB與DQ，PD與BQ。PD=8-t，BQ=8-2t，PB的長度：√(AP2+AB2)=√(t2+62)=√(t2+36)DQ的長度：√(CQ2+CD2)=√((2t)2+62)=√(4t2+36)若四邊形PBQD是矩形，則PB=DQ且PD=BQ？當PD=BQ時，8-t=8-2t→t=0（舍去）?？磥鞵D≠BQ，所以四邊形PBQD不是以PD、BQ為對邊的平行四邊形。那么它可能是平行四邊形嗎？AP=t，CQ=2t，AQ的長度？不，P在AD上，Q在BC上。連接PQ。要使四邊形PBQD是平行四邊形，應(yīng)該是PB∥DQ且PD∥BQ。PD∥BQ是顯然的（AD∥BC）。所以只需PB∥DQ。PB的斜率：(t-0)/(0-6)=-t/6。DQ的斜率：[(8-2t)-8]/(6-0)=(-2t)/6=-t/3。令PB斜率=DQ斜率：-t/6=-t/3→t/3-t/6=0→t/6=0→t=0。還是t=0。這說明，在P、Q運動過程中，四邊形PBQD一般不是平行四邊形。那么要使其為矩形，只能是三個角為直角的四邊形?！螾DQ=90°？D點處，PD⊥DQ。PD是AD方向，DQ是從D到Q。Q在BC上，坐標(6,8-2t)，D(0,8)。DQ向量為(6,-2t)，DP向量為(0,t)（P(0,t)，D(0,8)，所以DP=P-D=(0,t-8)，PD=D-P=(0,8-t)）?！螾DQ即PD與DQ的夾角。PD向量(0,8-t)，DQ向量(6,-2t)。PD·DQ=0*6+(8-t)(-2t)=-2t(8-t)。若∠PDQ=90°，則PD·DQ=0→-2t(8-t)=0→t=0或t=8（舍去）。∠PBQ=90°？B點處，PB⊥BQ。PB向量(-6,t)，BQ向量(0,(8-2t)-0)=(0,8-2t)（Q(6,8-2t)，B(6,0)，所以BQ向量為(0,8-2t)）。PB·BQ=(-6)*0+t*(8-2t)=t(8-2t)=0→t=0或t=4。t=4時Q與B重合，也舍去?！螿PB=90°或∠QDP=90°？看來常規(guī)思路有點卡殼。換個角度，當四邊形PBQD是矩形時，PQ=BD。P(0,t)，Q(6,8-2t)，則PQ2=(6-0)2+[(8-2t)-t]2=36+(8-3t)2。BD2=102=100。所以36+(8-3t)2=100→(8-3t)2=64→8-3t=±8。8-3t=8→-3t=0→t=0（舍去）。8-