復(fù)習(xí)任務(wù)群一現(xiàn)代文閱讀Ⅰ把握共性之“新”打通應(yīng)考之“脈”第7章三角函數(shù)7.1角與弧度7.1.1任意角學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解任意角的概念，了解兩角的和、互為相反角和兩角的差的概念．2．理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．(重點(diǎn))3．掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．(難點(diǎn))1．通過終邊相同角的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助任意角的終邊位置的確定，提升邏輯推理素養(yǎng)．初中對角的定義是：射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個(gè)過程中可以得到0°～360°范圍內(nèi)的角．但是現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0°～360°范圍的角．例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540°”，主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致．如何定義角才能解決這些問題呢？必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識點(diǎn)1任意角的概念(1)角的概念：一個(gè)角可以看作平面內(nèi)__________繞著__________從一個(gè)位置______到另一個(gè)位置所形成的圖形．射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的__________和__________稱為角的始邊和終邊．一條射線它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)開始位置終止位置(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按____________旋轉(zhuǎn)所形成的角負(fù)角按____________旋轉(zhuǎn)所形成的角零角一條射線____________旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角逆時(shí)針方向順時(shí)針方向沒有作任何思考1．如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？[提示]

不一定．若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角；若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角．(3)兩角的和、互為相反角、兩角的差：對于兩個(gè)任意角α，β，將角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β(當(dāng)β是正角時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是負(fù)角時(shí)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是零角時(shí)，不旋轉(zhuǎn))，這時(shí)________________稱為α與β的和，記作α＋β．射線OA繞端點(diǎn)O分別按逆時(shí)針方向、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角．角α的相反角記為_____，于是有α－β＝____________．終邊所對應(yīng)的角－αα＋(－β)體驗(yàn)1．如圖，角α＝________，β＝________．240°240°－120°

[α是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，為240°，β是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，為－120°．]－120°知識點(diǎn)2象限角與軸線角(1)象限角：以角的______為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的______為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．(2)軸線角：終邊在________上的角．體驗(yàn)2．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)180°角是第二象限角． (

)(2)－30°角是第四象限角． (

)(3)第一象限內(nèi)的角都小于第二象限內(nèi)的角． (

)頂點(diǎn)始邊坐標(biāo)軸×√×知識點(diǎn)3終邊相同的角與角α終邊相同的角的集合為_____________________________．思考2．終邊相同的角一定相等嗎？其表示方法唯一嗎？[提示]

終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角的表示方法不唯一．{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}體驗(yàn)3．與－215°角終邊相同的角的集合可表示為________________________________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}

[由終邊相同的角的表示可知與－215°角終邊相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}類型1角的概念辨析【例1】(1)給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上)．(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°；②855°；③－510°．關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難①(1)①

[①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．](2)[解]作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：①420°角是第一象限角．②855°角是第二象限角．③－510°角是第三象限角．反思領(lǐng)悟

1．理解角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．2．象限角的判定方法(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限．(2)第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判斷β的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為________，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為______________．

－100°－1200°類型2終邊相同的角與象限角【例2】【鏈接教材P170例1】已知α＝－1910°．(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°；(3)若與α終邊相同的最大負(fù)角、最小正角分別為θ1，θ2，求θ1＋θ2．[思路點(diǎn)撥]

(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式后，判斷β所在的象限即可．(2)將θ寫成θ＝β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，用觀察法驗(yàn)證k的不同取值即可．[解]

(1)因?yàn)椋?910°＝－6×360°＋250°，所以－1910°角與250°角終邊相同，所以α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．故θ＝－110°或－470°．(3)因?yàn)榕cα終邊相同的角為β＝k·360°＋250°(k∈Z)，所以取k＝－1，0得與α終邊相同的最大負(fù)角為θ1＝－110°，最小正角為θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°．【教材原題·P170例1】例1在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′．分析：只需將這些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，然后根據(jù)α來確定它們所在的象限．解：(1)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以650°的角與290°的角終邊相同，是第四象限角．(2)因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以－150°的角與210°的角終邊相同，是第三象限角．(3)因?yàn)椋?90°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角與89°45′的角終邊相同，是第一象限角．反思領(lǐng)悟

1．把任意角化為k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，關(guān)鍵是確定k，可以用觀察法(α的絕對值較小)，也可用除法．2．要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時(shí)，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．3．終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍．(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．提醒：k∈Z，即k為整數(shù)這一條件不可少．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在與10030°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)－360°～720°內(nèi)的角．

(2)由－360°≤10030°＋k·360°<720°，得－10390°≤k·360°<－9310°，又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26．當(dāng)k＝－28時(shí)，β＝10030°－28×360°＝－50°，當(dāng)k＝－27時(shí)，β＝10030°－27×360°＝310°，當(dāng)k＝－26時(shí)，β＝10030°－26×360°＝670°，故所求的角β的值為－50°，310°，670°．類型3區(qū)域角的表示【例3】已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解]

(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由題干圖可知，該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母題探究]1．(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2．(變條件)若將本例改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則所有滿足條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．反思領(lǐng)悟

表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的0°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．寫出終邊落在如圖所示陰影部分的角的集合．[解]法一：設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：與30°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．與180°－75°＝105°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，結(jié)合圖形可知，陰影部分的角的集合為{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．

[母題探究]在本例條件下，求角2α的終邊的位置．[解]

∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上．

1．(多選題)以下說法，其中正確的有(

)A．－75°角是第一象限角B．265°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°角是第一象限角學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)√BCD

[由終邊相同角的概念知：BCD都正確．]√√2．與45°角終邊相同的角是(

)A．－45°

B．225°

C．395°

D．－315°√D

[因?yàn)?5°＝－315°＋360°，所以與45°角終邊相同的角是－315°．]3．30°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是________．－690°

[由題意知，所得角是30°－2×360°＝－690°．]－690°4．已知－990°<α<－630°，且角α與120°角的終邊相同，則α＝________．－960°

[∵角α與120°角的終邊相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z．又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，k∈Z，即－1110°<k·360°<－750°，k∈Z，∴k＝－3．當(dāng)k＝－3時(shí)，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°．]－960°5．(教材P171練習(xí)T5改編)已知0°≤α<360°，且α與800°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．80°一

[因?yàn)?00°＝360°×2＋80°，所以80°角與800°角終邊相同，且0°≤80°<360°，故α＝80°，它是第一象限角．]80°一回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．任給一個(gè)角，如何判定該角所在的象限？[提示]

將角化為α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，α所在的象限即為任意角所在的象限．2．已知角的終邊范圍，怎樣求終邊相同的角的集合？[提示]

先寫出邊界對應(yīng)的角，再寫出0°～360°內(nèi)符合條件的角的范圍，最后加上k·360°(k∈Z)即可．章末綜合測評(一)動量守恒定律題號13524687910111213√1415一、選擇題1．(多選題)下列命題中錯(cuò)誤的是(

)A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．第四象限角一定是負(fù)角D．鈍角比第三象限角小課時(shí)分層作業(yè)(二十九)任意角√√ACD

[只有B正確．對于A，如90°角不在任何象限；對于C，如330°角在第四象限但不是負(fù)角；對于D，鈍角不一定比第三象限角?。甝題號135246879101112131415題號21345687910111213√14152．(多選題)下列角中與80°終邊相同的是(

)A．800° B．1160°C．1200° D．1280°AB

[與80°終邊相同的角的集合為{α|α＝80°＋k·360°，k∈Z}．取k＝2，得α＝800°．取k＝3，得α＝1160°．]√3．在0°～360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是(

)A．120° B．60°C．180° D．240°√題號213456879101112131415D

[與－120°終邊相同角的集合為{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°～360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°．]√4．若α是第四象限角，則180°－α所在象限是(

)A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限題號213456879101112131415B

[如圖所示，∵α是第四象限角，則－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]√

題號213456879101112131415

二、填空題6．已知角α的終邊與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，則α的取值集合為_____________________________．題號213456879101112131415{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}

[如圖，－80°角與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，因此α的取值集合為{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．]{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}7．α滿足180°<α<360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么α＝________．題號213456879101112131415270°

[5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z．又∵180°<α<360°，∴α＝270°．]270°

8．若角α＝2025°，則與角α具有相同終邊的最小正角為________，最大負(fù)角為________．題號213456879101112131415225°－135°

[∵2025°＝5×360°＋225°，∴與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角為225°，最大負(fù)角為－135°．]225°－135°三、解答題9．(源自人教A版教材)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合S．S中滿足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？題號213456879101112131415[解]如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°．因此，終邊在直線y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°．題號21345687910111213141510．已知角x的終邊落在如圖陰影部分區(qū)域(包括邊界)，寫出角x組成的集合．題號213456879101112131415[解]

(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．題號213456879101112131415√11．(多選題)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的終邊可能落在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題號21345687910111213