數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黒.如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設不等式的解集為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合一元二次不等式的解法、元素與集合的關(guān)系求解即可.【詳解】由，得，，，．故選：A.2.若直線與直線垂直，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)直線與直線的垂直列等式即可．【詳解】因為直線與直線垂直，所以，解得．故選：C．3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)2，4，5，2，3，6，8，4，5，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)與中位數(shù)分別是（）A.4，6 B.5，4 C.6，4 D.6，5【答案】C【解析】【分析】先對數(shù)據(jù)進行升序排列，再分別求出中位數(shù)和第百分位數(shù)，進而判斷選項．【詳解】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為2，2，3，4，4，5，5，6，8，這組數(shù)據(jù)個數(shù)，中位數(shù)位置為，取第5個數(shù)，即為4，，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)取第8個數(shù),即為6，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)與中位數(shù)分別是6和4，故C正確．故選：C．4.若，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合兩角和差公式和二倍角公式計算即可.【詳解】因為，所以．故選D.5.在平行四邊形中，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用平面向量加減運算法則和數(shù)量積即可求解.【詳解】在平行四邊形中，因為，所以，所以故選：6.在中，角，，的對邊分別為，，．已知，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理和均值不等式運算，再通過三角形面積公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以．因為，所以，當且僅當時，等號成立，則的面積，則面積的最大值為．故選：A7.已知函數(shù)的值域是，則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，把分式看成動點到定點的斜率，然后通過代數(shù)法來求切線斜率，即可得到函數(shù)值域.【詳解】因為，且，所以函數(shù)的定義域為．設，，則是直線的斜率．點是半圓上的動點．如圖，設點，則．設切線的方程為，即．由圓心到切線的距離，解得（舍去）或．由圖可知，即的值域為，則．故選：A.8.在正四棱臺中，，且，記能將正四棱臺罩住的半球的最小半徑為，正四棱臺外接球的半徑為，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】取，的中點分別為，，通過計算分別求得，通過比較可知，設外接球的球心到平面的距離為，通過勾股定理計算求得、，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，連接，，它們的中點分別記為，，連接，，易知為此正四棱臺的高，，則，所以，，過點作的垂線，垂足為，則，，則，，故能將正四棱臺罩住的半球的最小半徑．設該正四棱臺外接球的球心到平面的距離為，則，解得，，故．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的后，再將所得圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.圖象的對稱軸方程為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖像求出，結(jié)合余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)依次判斷選項即可.【詳解】由圖可得，由，得．由，得，因為，所以，A正確．由A的分析可得，令，得，所以圖象的對稱軸方程為，C錯誤．，B正確．令，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確．故選：ABD10.（多選題）定義：當且時，恒成立，則稱是同號增函數(shù)．下列函數(shù)是同號增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)同號增函數(shù)的定義逐一分析每個選項中的函數(shù)是否滿足當且時，恒成立.【詳解】A選項，由得，由得，又在，上單調(diào)遞增，故A正確；B選項，，得，取，則，滿足，但，不滿足的條件，故B錯誤；C選項，得，得，因為在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故C正確；D選項，得；得，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.已知，是雙曲線上兩個不同的點，是的左頂點，則（）A.的焦距為B.當軸時，與可能垂直C.當時，，的橫坐標之和的取值集合為D.當，的縱坐標異號時，對任意的點，都存在點，使得【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)雙曲線方程進行判斷；對于B，利用向量法進行判斷；對于C，得到Q，R的軌跡方程，聯(lián)立雙曲線方程，求解；對于D，根據(jù)傾斜角和漸近線進行判斷.【詳解】的焦距為，A正確．當軸時，．（方法一），則，因為的兩條漸近線互相垂直，所以，B錯誤．（方法二）設，，則，，則，若，則，解得，此時，，三點重合，這與題意不符合，所以與不可能垂直，B錯誤．當時，，在以為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為，由得，整理得，解得，，所以，的橫坐標之和可能為，，，故，的橫坐標之和的取值集合為，C正確．如圖，設在第一象限，當直線的傾斜角為時，設直線與軸交于點，若，則，則直線與的一條漸近線平行，從而點不存在，D錯誤．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】.故答案為：13.若直線是曲線的一條切線，則________．【答案】e【解析】【分析】設切點為，求出切線斜率，利用切點在切線上，代入方程，即可得出結(jié)論.【詳解】設直線與曲線相切于點．因為，所以且，解得，．故答案為.14.將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一個的方格中，每個格子填1個數(shù)字，且不重復，要求第一行數(shù)字滿足，第三行數(shù)字滿足，第三列數(shù)字滿足，則符合要求的填數(shù)方法共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】1080【解析】【分析】由計數(shù)原理分析求解即可.【詳解】從9個數(shù)中任取2個數(shù)填入和的位置，有種方法．因為，，所以在剩下的7個數(shù)中，最大的數(shù)只能填入的位置，再從剩下的6個數(shù)字中選擇4個數(shù)字填入，，，的位置，且這4個數(shù)字只能按照從小到大的順序分別填入，，，的位置，最后剩下的2個數(shù)字只能按照從小到大的順序分別填入，的位置，故填好，，，，，，共有種方法．因此，按照要求填好該方格共有種方法．故答案為：1080.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設等比數(shù)列的公比，，且（1）求的值；（2）若，，成等差數(shù)列，求的值；（3）設數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】(1)由計算公比；(2)根據(jù)等差中項性質(zhì)計算；(3)由是以為首項，為公比的等比數(shù)列計算，再計算出的表達式，通過比較證明不等式成立.【小問1詳解】因為，所以．又，所以．【小問2詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，所以．因為，，所以，解得．【小問3詳解】因為，所以，，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．16.如圖，在四棱錐中，平面，，是以為斜邊的等腰直角三角形．（1）證明：平面平面．（2）若，，且直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判定，面面垂直的判定推理得證.（2）以點為原點建立空間直角坐標系，由已知線面角求出線段長，進而求出平面的法向量，再利用線面角的向量法求解.【小問1詳解】由是以為斜邊的等腰直角三角形，得，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）得，而平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由平面，得直線與平面所成的角為，且，則，而，則，，，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.某工廠生產(chǎn)的零件分為合格品與不合格品兩類．現(xiàn)采用一臺檢測儀器對零件進行檢測，該儀器存在檢測誤差，具體檢測特性如下：當零件為合格品時，單次檢測判定為“合格”的概率為0.8，判定為“不合格”的概率為0.2；當零件為不合格品時，單次檢測判定為“合格”的概率為0.1，判定為“不合格”的概率為0.9.對同一個零件連續(xù)檢測3次，若檢測結(jié)果中“合格”的次數(shù)多于“不合格”的次數(shù)，則最終判定該零件為合格品；否則判定為不合格品．假設各次檢測結(jié)果相互獨立．已知該批零件中合格品占80%，不合格品占20%．（1）若某零件為不合格品，求該零件最終被誤判為合格品的概率．（2）若隨機抽取1個零件進行檢測，求該零件最終被判定為合格品的概率．（3）已知生產(chǎn)一個零件的成本為50元，每個零件被連續(xù)檢測3次的總費用為10元．若某零件最終被判定為合格品，則以每件120元的價格出廠銷售；否則作銷毀處理．若出廠的零件實際為不合格品，則需向客戶全額退款，并賠償客戶40元．設一個零件的利潤為元，若的均值小于25，則該工廠將停止生產(chǎn)該零件；否則繼續(xù)生產(chǎn)，試問該工廠是否會停止生產(chǎn)該零件？請說明理由．【答案】（1）0.028.（2）0.7224.（3）該工廠不會停止生產(chǎn)該零件，理由見解析【解析】【分析】（1）連續(xù)檢測3次該零件的結(jié)果中，“合格”的次數(shù)不低于2才能被誤判為合格品，再結(jié)合二項分布的概率公式，即可求解；（2）通過由全概率公式得出即可；（3）的所有可能取值為，60，，求出對應概率，即可求出分布列，再根據(jù)期望公式計算即可.【小問1詳解】設該零件被誤判為合格品是事件．連續(xù)檢測3次該零件的結(jié)果中，“合格”次數(shù)不低于2才能被誤判為合格品，所以，所以該零件最終被誤判為合格品的概率為0.028.【小問2詳解】設被檢測的零件為合格品是事件，被檢測的零件為不合格品是事件，被檢測的零件最終被判定為合格品是事件，則．由（1）知，又因為，，所以由全概率公式得，故該零件最終被判定為合格品的概率為0.7224.【小問3詳解】的所有可能取值為，60，．，，，則．因為，所以該工廠不會停止生產(chǎn)該零件．18.設拋物線（為常數(shù)，且）的焦點為，準線為，點在上且位于第一象限，過點作的垂線，垂足為．（1）若點的坐標為，求．（2）設過，，三點可作橢圓，且的兩個焦點均在軸上，記軸正半軸上的焦點為，且在的左側(cè)．（?。┳C明：的周長為定值．（ⅱ）證明：的離心率大于．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出拋物線方程，結(jié)合已知幾何性質(zhì)求出點，再利用兩點間距離公式計算求解；（2）利用拋物線的焦點弦公式結(jié)合橢圓的定義求出三角形的周長，進而證明的周長為定值；利用橢圓的離心率公式結(jié)合點在上且位于第一象限構(gòu)造不等式，進而證明結(jié)論．【小問1詳解】將點的坐標代入，得，解得，拋物線的方程為，故，準線的方程為，則，．【小問2詳解】證明：（i）設，，，則，由題意知，，，經(jīng)過，兩點，且這兩個點的縱坐標相同，由橢圓的對稱性可得，的短軸必在線段的垂直平分線上，且的中心的橫坐標．又的焦點均在軸上，在軸上，即．設的長半軸長為，則．設的左焦點為，則，則的周長．，且，，故的周長為定值．（ⅱ）設的焦距為，離心率為，則．由（ⅰ）知，為的右頂點，為右焦點，則．由在軸正半軸上可知，則，．設的短半軸長為，則，將點的坐標代入的方程，并結(jié)合，得，整理得，代入與，化簡得，解得．點在第一象限且為的右頂點，，即．由知，，則．要證，只需證，即證，即證，的離心率大于，得證．19.已知函數(shù)，．（1）證明：當時，（2）若是的極大值點，求的取值范圍．（3）若，且，其中，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得證；（2）將函數(shù)求導得，記，再求導得，根據(jù)，分成，和三類情況討論函數(shù)的單調(diào)性，即可逐一判斷求得參數(shù)范圍；（3）由（1）知，當時，，先后令，令，將其化成，再令，，可得，利用結(jié)合條件可得，從而要證，即證，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性，需證，設，利用求導判斷單調(diào)性證明即可.【小問1詳解】因，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故當時，．【小問2詳解】的定義域為，則，記，則，則．①若，即，則令，則，所以在上單調(diào)遞增，當時，此時，則，故在上單調(diào)遞增，不合題意；②若，即，則必存