高三普通部上學(xué)期期末模擬(一)數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合，則集合（

）A． B．C． D．2．為了研究某種商品的廣告投入x和收益y之間的相關(guān)關(guān)系，某研究小組收集了5組樣本數(shù)據(jù)如表所示，得到線性回歸方程為，則當(dāng)廣告投入為10萬元時，收益的預(yù)測值為（

）萬元．/萬元12345/萬元0.500.801.001.201.50A．2.48 B．2.68 C．2.78 D．2.883．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．34．若（a為實數(shù)且）在其定義域上有最大值為M，最小值為N.則（

）A．4 B．6 C．8 D．105．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛地應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．則函數(shù)的最小值為

A.16 B.25 C.36 D.496．已知點分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點，且滿足，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7.如圖，在直角梯形中，，以四條邊為直徑向外作四個半圓，點是這四個半圓弧上的一個動點，則的最大值是（

）A．8 B．16 C．D．8．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個最值點，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知（為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．若為線段上的動點，則的最小值為D．圓錐外接球的表面積為11．已知為拋物線上一點，為的焦點，直線的方程為，則下列說法正確的有（

）A．點到的最小距離為B．若，則C．點到的距離與到直線的距離之和的最小值為3D．若存在點，使得過可作兩條互相垂直的直線與圓相切，則三、填空題12．已知，若在方向上的投影向量為，則與的夾角為.13．已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為．14．已知函數(shù)，若僅存在唯一整數(shù)解，則的取值范圍為．四、解答題15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若的面積為2，求的周長.16．某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當(dāng)輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當(dāng)輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問題表達不清晰的概率為.(1)求智能客服的回答被采納的概率；(2)在某次測試中輸入了3個問題，設(shè)X表示智能客服的回答被采納的次數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.17.已知三棱柱，平面平面，.(1)證明：平面平面；(2)若是邊長為2的等邊三角形，平面與平面所成角的正弦值為，求的長.18．已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，使得的解集為，求的取值范圍.19.雙曲線的左、右頂點分別為、，點到的漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)按照如下方式依次構(gòu)造點（且）：過點作斜率為的直線交于另一點，設(shè)是點關(guān)于實軸的對稱點，記點的坐標(biāo)為．（i）證明：數(shù)列、是等比數(shù)列，并求數(shù)列和的通項公式；（ii）記的面積為，的面積為，求的最大值．《2025年12月29日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號12345678910答案DBBBDCDAABDBCD題號11答案ACD1．D【分析】利用并集運算即可求解.【詳解】因為，所以，故選：D.2．B【分析】計算出、代入線性回歸方程求出，得到線性回歸方程可得答案.【詳解】由題意，得，，則，則，則當(dāng)廣告投入為10萬元時，收益的預(yù)測值為萬元．故選：B3．B【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系，依次計算確定周期即可得解.【詳解】數(shù)列中，，由，得，，，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以.故選：B4．【答案】B【分析】解法一：根據(jù)關(guān)于對稱即可求解；解法二：特值法，令即可求解.【詳解】解法一：由于,可得關(guān)于點對稱，故，解法二：特殊值法：可令，，當(dāng)時，由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），可得，同理可得當(dāng)時，的最小值為。故當(dāng)時，的最大值，最小值，故故選：B.5.D

【解答】

解：因為a，b，x，y

是正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為故選：D6．C【分析】根據(jù)橢圓的概念，以及橢圓離心率的定義，根據(jù)題目條件，以及勾股定理，求出參數(shù)的齊次方程，進而求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)，因為，所以，因為，所以，根據(jù)橢圓定義可知，解得，則，則，因為，所以，化簡得，所以.故選：C.7.D【分析】根據(jù)點的位置，分類討論，利用數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】要使最大，與的夾角小于，當(dāng)點在弧上時，，當(dāng)點在弧上時，，當(dāng)點在弧上時，取線段中點為，則，所以當(dāng)與同向時，，此時最大值為，故選：D.8．B【解析】先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：

令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.9．ABD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法與乘方運算法則運算可判斷ABD，利用復(fù)數(shù)的模的計算公式計算可判斷C.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，，故，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10．BCD【分析】對A，計算圓錐側(cè)面積需用到圓錐側(cè)面積公式；對B，求三棱錐體積最大值，要先明確其體積公式，這里高是圓錐的高，底面積是的面積，需找出面積的最大值；對C，求的最小值，可通過將側(cè)面展開，利用平面上兩點之間線段最短的原理求解；對D，求圓錐外接球表面積，要先確定外接球的半徑，可根據(jù)圓錐的軸截面特征結(jié)合外接球的性質(zhì)來計算.【詳解】對于A，由條件可知，，圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B，當(dāng)是的高時，的面積最大，則三棱錐的體積最大，體積的最大值是，故B正確；對于C，若，則是等腰直角三角形，，，所以是等邊三角形，如圖，將沿翻折，使四點共面，當(dāng)三點共線時，的最小值是，在中，，，由余弦定理可知，，故C正確；對于D，因為，所以圓錐外接球的球心即為點，半徑為，所以外接球的表面積為，故D正確．故選：BCD.11．ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義及性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離、圓的切線性質(zhì)逐項分析即可.【詳解】選項A：設(shè)點，則，點到的距離為，又，當(dāng)時取等號，所以，所以，故A正確；選項B：拋物線焦點，準(zhǔn)線，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，，則，當(dāng)點、、共線時，等號成立，故B錯誤；選項C：點到直線的距離等于點到焦點的距離加1，則點到的距離與到直線的距離之和的最小值為焦點到的距離加1，焦點到的距離為，所以最小值為，故C正確；選項D：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)點，則，過可作兩條互相垂直的直線與圓相切，則，即.又，所以，解得，故D正確.故選：ACD.12．/【分析】根據(jù)在方向上的投影向量為，進而得到，再根據(jù)求解即可．【詳解】因為在方向上的投影向量為，所以，又，且，所以．故答案為：．13．60【分析】先利用正態(tài)分布對稱性求出的值，然后利用二項展開式求出常數(shù)項即可.【詳解】由隨機變量，正態(tài)分布關(guān)于均值對稱，因為，所以和關(guān)于2對稱，所以，所以二項式為：，又二項展開式的通項為：，令解得：，所以二項展開式中常數(shù)項為：，故答案為：60.14．【分析】由題意知，原題等價于函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，進而研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，令，，僅存在唯一整數(shù)解的圖象在的圖象下方的部分有且只有一個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，當(dāng)與相切時，設(shè)切點，由于，故切線斜率，切線方程為：，代入得，解得，此時，切點為，又當(dāng)時，，，所以符合要求的條件為，解得．即的取值范圍為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理對等式進行化簡，進而可求出結(jié)果.（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）由已知等式利用正弦定理可得，因為，所以，所以，又，所以，則.由，可得.（2）由余弦定理得.因為，所以，所以.所以，所以.所以的周長為.16.(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可.（2）結(jié)合題意得到，再求出對應(yīng)取值的概率，進而得到分布列和數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)“智能客服的回答被采納”，“輸入問題表達不清晰”，由題意可知，，，，，由全概率公式得，故智能客服的回答被采納的概率為.（2）由題意得，的可能取值為，且，，，，則X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.17．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）過點在平面內(nèi)作，垂足為點，由面面垂直的性質(zhì)得出平面，可得出，由已知條件得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出的長.【詳解】（1）證明：過點作交于點O，平面平面，平面平面，平面，又平面，，三棱柱中，，又，平面，平面ABC，∴平面平面．（2）因為是邊長為的等邊三角形，則為的中點，且，因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個法向量為，，則，取，可得，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，又因為，解得，故.18.(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）先對進行求導(dǎo)，根據(jù)即可解出的值；（2）先求導(dǎo)，分別對，，，四種情況分類討論函數(shù)單調(diào)性即可；（3）的解集為，說明的解為，由于，由可得，所以要么只有一個根為2，要么恒成立.①若只有一個根為2，可得；若恒成立，當(dāng)時該不等式恒成立，當(dāng)時，取代入，不符合題意，舍；當(dāng)時，可化為，設(shè)，求導(dǎo)求單調(diào)性求其最大值即可解得，再考慮端點值時，不符合題意，舍，即得的取值范圍.【詳解】（1）由題可得，由曲線在處的切線與軸垂直，可得，因此.（2）由題知定義域為，且，①當(dāng)時，對任意，令，則，列表如下：1-0+極小值所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當(dāng)時，由，可得，且，列表如下：1+0-0+極大值極小值所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；③當(dāng)時，，令，可得，列表如下：1+0+所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，令，可得，且，列表如下：1+0-0+極大值極小值所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，綜上所述：當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.（3）.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)不等式解集求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是對進行因式分解后，分析有根，無根，根大于2，小于2的各個情況，再結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.19．(1)(2)（i）證明見解析，，（ii）．【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式可求出的值，即可得出雙曲線的方程；（2）（i）寫出直線方程，將該直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達定理可得出，，再利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論