2025年統(tǒng)計與數據分析基礎期末考試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設隨機變量X~N(A.0.90??B.0.95??C.0.975??D.0.99答案：B解析：標準正態(tài)分布雙側95%置信區(qū)間對應臨界值1.96，故P(2.在簡單隨機抽樣中，樣本均值Xˉ的抽樣分布隨著樣本量nA.方差增大??B.方差減小??C.均值增大??D.均值減小答案：B解析：由Var(3.對一組右偏數據取對數后，其偏度將A.增大??B.減小??C.不變??D.無法判斷答案：B解析：對數變換可壓縮右側長尾，降低偏度。4.若兩變量X,A.兩者獨立??B.兩者無線性關系??C.兩者無單調關系??D.兩者無協(xié)方差答案：B解析：皮爾遜相關系數僅度量線性關系，0僅說明不存在線性相關。5.在假設檢驗中，增大顯著性水平α會導致A.第一類錯誤概率減小??B.第二類錯誤概率減小??C.檢驗功效減小??D.臨界值變大答案：B解析：α增大，拒絕域擴大，β（第二類錯誤概率）減小，功效1?6.對p維數據做主成分分析，若前兩個主成分累計貢獻率達92%，則A.只需保留兩個主成分即可無損重構原始數據??B.信息損失約8%??C.第三主成分方差為0??D.原始變量間必無相關性答案：B解析：累計貢獻率92%表示信息損失8%。7.在多元線性回歸中，若某自變量的方差膨脹因子VIF=15，則A.該變量與響應變量無關??B.存在嚴重多重共線性??C.該變量系數顯著為0??D.該變量應被刪除答案：B解析：VIF>10通常視為強共線性信號。8.對計數數據擬合泊松回歸時，若殘差偏差/自由度遠大于1，則首要考慮A.增加樣本量??B.改用負二項回歸??C.刪除異常點??D.對響應變量取對數答案：B解析：過離散現象提示泊松假設不成立，負二項可引入額外離散參數。9.在時間序列中，若ACF拖尾、PACF在滯后2后截尾，則初步判定為A.AR(2)??B.MA(2)??C.ARMA(2,1)??D.ARIMA(0,2,0)答案：A解析：PACF截尾對應AR階數。10.Bootstrap置信區(qū)間的覆蓋率最接近名義水平的情況是A.樣本量極小且分布高度偏斜??B.樣本量極大且分布對稱??C.使用百分位區(qū)間??D.使用反切區(qū)間答案：B解析：大樣本下bootstrap分布逼近真實抽樣分布，對稱分布進一步提升區(qū)間精度。二、多項選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列哪些統(tǒng)計量具有穩(wěn)健性（對異常值不敏感）A.中位數??B.MAD??C.四分位距??D.算術均值??E.截尾均值答案：ABCE解析：算術均值對異常值敏感。12.關于t分布與標準正態(tài)分布，下列說法正確的是A.t分布峰度大于正態(tài)??B.自由度越大越接近正態(tài)??C.t分布尾部更厚??D.兩者均值均為0??E.兩者方差均為1答案：BCD解析：t方差為ν/(ν13.在分類問題中，下列哪些指標適用于類別不平衡數據A.Accuracy??B.F1-score??C.AUC??D.Precision??E.Recall答案：BCDE解析：Accuracy易被多數類主導。14.下列哪些方法可用于缺失值插補A.均值插補??B.熱卡插補??C.EM算法??D.多重插補??E.刪除含缺失行答案：ABCD解析：E為列表刪除，非插補。15.在貝葉斯框架下，下列哪些屬于后驗推斷內容A.后驗均值??B.可信區(qū)間??C.最大似然估計??D.貝葉斯因子??E.MAP估計答案：ABDE解析：MLE僅基于似然，非后驗。三、填空題（每空2分，共20分）16.設,…,~ii答案：1解析：總體一階矩E(17.在線性模型Y=Xβ答案：(18.若隨機變量X的偏度為0、峰度為3，則其分布必為__________分布。答案：正態(tài)19.對n=100的樣本，計算樣本比例答案：=20.在K-means聚類中，若簇內平方和（WCSS）隨聚類數k增加而__________，則肘部法則可用于選擇最優(yōu)k。答案：單調遞減21.設X~Bin(答案：泊松22.若ARIMA(1,1,1)模型經一階差分后變?yōu)槠椒€(wěn)，則原序列的階數為__________。答案：123.在假設檢驗中，若p值為0.027，則在α=答案：拒絕24.對多元數據做標準化后，所有變量的均值變?yōu)開_________，標準差變?yōu)開_________。答案：0；125.在隨機森林中，對分類問題投票階段采用__________規(guī)則決定最終類別。答案：多數表決四、計算與證明題（共45分）26.（8分）設,…f(1)寫出對數似然函數l((2)求θ的最大似然估計θ^(3)計算Fisher信息量I(答案：(1)l(2)令導數為0：=(3)=27.（10分）某電商平臺欲估計用戶日均瀏覽時長（分鐘）。隨機抽取64名用戶，得樣本均值118min，樣本標準差32min。(1)構建總體均值的95%置信區(qū)間；(2)若希望估計誤差不超過5min，在95%置信水平下至少需要多大樣本量？答案：(1)118(2)n28.（9分）對二元響應變量建立邏輯回歸l其中為連續(xù)協(xié)變量。現有200個觀測，得=0.82，SE(1)檢驗:=(2)計算優(yōu)勢比OR的95%置信區(qū)間；(3)解釋x每增加1單位，優(yōu)勢如何變化。答案：(1)W(2)O(3)優(yōu)勢增加約127%。29.（8分）設,…,~ii:給出檢驗統(tǒng)計量及拒絕域（顯著性水平α）。答案：似然比Λ其中=∑(??在下，?2lnΛ≈30.（10分）某城市交通流量（萬輛/日）序列為,…,。擬合ARIMA(0,1,1)后得殘差，其ACF與Ljung-Box統(tǒng)計量Q(1)在α=(2)若否，給出下一步改進方案；(3)寫出ARIMA(0,1,1)的預測公式（一步向前）。答案：(1)(12)=(2)已滿足，無需改進；若顯著，可考慮增加AR或MA階數。(3)=五、綜合應用題（共40分）31.（15分）為研究廣告投入（萬元）對銷售額（萬元）的影響，收集30個月度數據，擬合多元線性回歸Y其中為電視廣告，為網絡廣告，為紙質媒體。輸出如下：變量估計標準誤\(t\)值\(\mathrm{VIF}\)截距12.43.14.0—電視2.150.425.11.8網絡1.760.384.62.0紙質0.920.511.87.5殘差標準誤σ^=4.3，=(1)檢驗整體顯著性（α=(2)判斷是否存在多重共線性，并說明依據；(3)若下月預算增加5萬元電視、3萬元網絡、減少1萬元紙質，預測銷售額及95%置信區(qū)間；(4)給出改進模型的一條建議并說明理由。答案：(1)整體F檢驗：F拒絕，模型整體顯著。(2)紙質媒體VIF=7.5>5，提示中度共線性；電視、網絡VIF可接受。(3)增量向量ΔxΔ原均值Yˉ12.4+標準誤S95%置信區(qū)間27.91(4)可對紙質廣告做嶺回歸或主成分回歸，以降低共線性帶來的系數不穩(wěn)定。32.（13分）某工廠質檢抽取10件產品，測得缺陷數：0,2,1,0,3,1,0,2,1,0。假設缺陷數服從泊松分布。(1)計算λ的矩估計；(2)構造λ的95%漸近置信區(qū)間；(3)用卡方擬合優(yōu)度檢驗判斷泊松假設是否成立（α=答案：(1)樣本均值xˉ=1.0(2)S(3)分組：x=0（4次），x=1（3次），=合并末組使期望≥5，將x=2與x≥3卡方統(tǒng)計量=自由度3?1?1=33.（12分）為評估兩種推薦算法A、B的點擊率（CTR），隨機分配1000名用戶，各500人。結果：算法A：點擊65次，曝光500；算法B：點擊45次，曝光500。(1)構建兩總體CTR差值的95%置信區(qū)間；(2)用卡方檢驗判斷CTR是否顯著不同（