1、理論力學,普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,第2章共點力系和力偶系,理論力學,2.5力偶系的合成與平衡,2.4力偶及其性質(zhì),2.2力的投影力沿坐標軸的分解,2.1共點力系合成與平衡的幾何法,靜力學,2.3共點力系合成與平衡的解析法,第2章共點力系和力偶系,2.1共點力系合成與平衡的幾何法,共點力系合成的幾何法,共點力系平衡的幾何條件,F2,F1,FR,F3,F4,B,C,D,E,表達式：FR=F1+F2+F3+F4,2.1.1合成的幾何法,2.1共點力系合成與平衡的幾何法,把各力矢首尾相接，形成一條折線（稱為開口的多邊形）。,加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形。,力多邊形法則,2

2、.1共點力系合成與平衡的幾何法,共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。,矢量的表達式：,平面共點力系的合成結(jié)果,FR,2.1共點力系合成與平衡的幾何法,該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和于零。,共點力系平衡的充分必要幾何條件為：,2.1.2共點力系平衡的充要幾何條件,2.1共點力系合成與平衡的幾何法,2.2力的投影力沿坐標軸的分解,力的投影,力沿坐標軸的分解,力在某軸上投影，等于力的模乘以與該軸正向間夾角的余弦。,2.2.1力在軸上的投影,2.2力的投影力沿坐標軸的分解,力在坐標軸的投影,已知力F的三個投影，

3、力F的大小和方向可分別表示為,2.2力的投影力沿坐標軸的分解,注意力在軸上的投影是一代數(shù)量。力在一平面上的投影仍是一矢量。,由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂線，由垂足A到B所構(gòu)成的矢量AB，就是力F在平面Oxy上的投影，記為Fxy。,2.2.2力在平面上的投影,力Fxy的大小,2.2力的投影力沿坐標軸的分解,二次投影,x,y,z,F,力在平面上的投影,力在軸上的投影,O,2.2力的投影力沿坐標軸的分解,引入x，y，z軸單位矢i，j，k。則可寫為,將力F按坐標軸x，y，z方向分解得Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，稱為力F沿各坐標軸的軸向分量。,2.2.3力沿坐標軸的分解,有,2.2力的投影力沿坐標

4、軸的分解,合力投影定理,共點力系平衡的充要解析條件,2.3共點力系合成與平衡的解析法,共點力系的合力在任一軸上的投影，等于力系中所有各力在同一軸上投影的代數(shù)和。,2.3.1合力投影定理,Fx=ae=ab+bc-cd+de,F2x=bc,F3x=-cd,F4x=de,F1x=ab,2.3共點力系合成與平衡的解析法,Fx=ae=ab+bc-cd+de,F2x=bc,F3x=-cd,F4x=de,F1x=ab,Fx=F1x+F2x+F3x+F4x,Fx=F1x+F2x+Fnx=Fx,推廣到任意多個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n組成的平面共點力系，可得,Fy=F1y+F2y+Fny=Fy,Fz=F1z+F2z+F

5、nz=Fz,2.3共點力系合成與平衡的解析法,空間共點力系的平衡方程,力系中各力在三個坐標軸中每一軸上的投影之和分別等于零。,2.3.2共點力系平衡的充要條件,2.3共點力系合成與平衡的解析法,例2-1曲桿CD與直桿AB的中點C鉸鏈連接，如圖2-7b所示。今在桿端B作用鉛垂力F=20kN，已知AD=AC=l，不計桿的重量，求固定鉸鏈支座A和D的約束力。,2.3共點力系合成與平衡的解析法,解1幾何法,曲桿CD是二力體，受力如圖b所示。,(b),(c),2.3共點力系合成與平衡的解析法,取直桿AB為研究對象，受力如圖c所示。,F,畫出封閉的力三角形,如圖d所示。,(c),由正弦定理可得,其中=45

6、。=2638,解得,2.3共點力系合成與平衡的解析法,解2解析法,(c),選坐標軸如圖c所示。,2.3共點力系合成與平衡的解析法,例2-2直桿AB和AC用球鉸鏈A、B、C連接，如圖2-8a，并用繩索AD系住，在A的下端懸掛重G的物體E。桿AB與AC垂直，并使O、A、B、C四點在同一水平面內(nèi)。如果不計其余物體的重量，求桿AB、AC以及繩索AD所受的力。,2.3共點力系合成與平衡的解析法,(a),2.3共點力系合成與平衡的解析法,解:,取球鉸鏈A為研究對象，受力如圖b所示。,聯(lián)立求解得,列平衡方程,(b),FAC和FAB為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿AB實與桿AC際上受壓力。,力

7、偶矩矢,力偶力偶矩,力偶等效定理,2.4力偶及其性質(zhì),作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動。力和力偶是靜力學的二基本量。,力偶大小相等的二反向平行力。,力偶特性二：力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。,力偶特性一：力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。,2.4.1力偶力偶矩,2.4力偶及其性質(zhì),力偶矩力偶中任何一個力的大小與力偶臂p的乘積，加上適當?shù)恼撎枴?M=F1p,力偶臂力偶中兩個力的作用線之間的距離。,力偶矩正負規(guī)定：若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負號。,p,F1,F2,A,B,2.4力偶及其性質(zhì),M=F1p,一般力偶表示為：,力矩

8、的值也可由三角形OAB面積的2倍表示,M=2OAB面積,2.4力偶及其性質(zhì),2.4.2力偶的等效條件,1.平面內(nèi)力偶的等效定理,作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。,力偶特性三：力偶可以在其作用面內(nèi)任意搬移。即力偶在作用面內(nèi)的位置不是力偶效應的特征。,2.4力偶及其性質(zhì),因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。,M=F1p=F1p,力偶特性四：唯一決定平面內(nèi)力偶效應的特征量是力偶矩的代數(shù)值。即保持力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大小。,2.4力偶及其性質(zhì),2.平行平面內(nèi)力偶的等效定理,空間力偶作用面的平移并不改變對剛體的效應。,力偶等效定理,作用在剛體上

9、同一平面內(nèi)或平行平面內(nèi)的兩個力偶，設有大小相等的力偶矩，且轉(zhuǎn)向相同，即是等效力偶。,2.4力偶及其性質(zhì),(3)符號：M,(1)概念：用來表示力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向、作用面方位的有向線段。,(2)力偶的三要素：力偶矩的大小。力偶的轉(zhuǎn)向。力偶作用面的方位,2.4.3力偶矩矢,2.4力偶及其性質(zhì),矢量M的模表示力偶矩的大??；方位垂直于力偶作用平面；指向表示力偶的轉(zhuǎn)向，符合右手螺旋規(guī)則。,力偶矩矢是自由矢量，一般從力偶矩中點畫出。,空間力偶可用一個矢量M表示，該矢量M稱為力偶矩矢。,空間力偶等效定理,空間兩個力偶等效的充要條件是：這兩個力偶的力偶矩矢相等。,2.4力偶及其性質(zhì),力偶系的合成,力偶系平衡的充

10、要條件,2.5力偶系的合成與平衡,空間力偶系可合成為一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,2.5.1.力偶系的合成,即,證明：,B點：FR=F1+F2,（F1，F(xiàn)1）和（F2，F(xiàn)2）分別為作用平面和內(nèi)的力偶。,A點：FR=F1+F2,由于F1=F1，F(xiàn)2=F2，故FR=FR。,2.5力偶系的合成與平衡,求合力偶矢M。,M2=F2q,M1=F1q，,MR=FRq，,FR=F1+F2,FRq=F1q+F2q,MR=M1+M2,合成結(jié)果為一個合力偶（FR，F(xiàn)R）。,設力偶系由任意個力偶組成：則有,即：力偶矩矢是按平行四邊形定律相加。,2.5力偶系的合成與平衡,上式投影到直角坐標軸上，得,即

11、合力偶矩矢在某一軸上的投影，等于它的各分力偶矩矢在同一軸上投影的代數(shù)和。,如果已知合力偶矩矢的三個投影，可由下式確定合力偶矩矢的大小和方向。,2.5力偶系的合成與平衡,力偶矩矢多邊形自行閉合，即力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。,力偶系的平衡方程,2.5.2力偶系平衡的充要條件,2.5力偶系的合成與平衡,例題2-7,第二章平面基本力系,解：桿AB為二力桿。,例2-3如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知力偶矩M2，OA=r，DB=2r，=30，不計桿重，試求力偶矩M1的值。,由于力偶只能與力偶平衡，則AO桿與BD桿的受

12、力如圖所示。,2.5力偶系的合成與平衡,第二章平面基本力系,M1rFABcos=0,M1=M2/2,分別寫出桿AO和BD的平衡方程：,M2+2rFBAcos=0,由,FAB=FBA,得,因為,則得,2.5力偶系的合成與平衡,2.5力偶系的合成與平衡,例2-4曲柄OA長r，作有用力偶矩為M的力偶，通過連桿AB帶動滑塊B作水平往復運動。假設在圖a位置時，整個機構(gòu)處于靜止狀態(tài)，已知作用在滑塊B的水平力F，角度、和曲柄長r，不計機構(gòu)重量、摩擦和滑塊尺寸，求作用在曲柄OA上的力偶M。,F,(a),O,A,B,r,M,2.5力偶系的合成與平衡,取曲桿OA為研究對象，由于力偶只能與力偶平衡，受力如圖b所示。,取滑塊B為研究對象，受力如圖c所示。,解：連桿AB為二力體。,rFABsin(+)M=0,由,得,FABcosF=0,解得,例2-5圖示是正方體剛體的一半。在其中三個側(cè)面分別作用著一個力偶。已知力偶（F1，F(xiàn)1）的矩M1=20