1、第二章完全信息靜態(tài)博弈,基本分析思路和方法納什均衡無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)混合策略和混合策略納什均衡,第一節(jié)基本分析思路和方法,上策均衡；嚴(yán)格下策反復(fù)消去法；劃線法;剪頭法。,一、上策均衡,博弈中如果不管其他博弈方選擇什么策略，一博弈方的某個(gè)策略給他帶來的得益始終高于其他策略（至少不低于其他策略），這種策略為該博弈方的“上策”（Dominant-strategy）。如果一個(gè)博弈的某個(gè)策略組合是由各個(gè)博弈方各自的上策構(gòu)成的，這個(gè)策略組合必然是該博弈的穩(wěn)定的結(jié)果，稱這樣的策略組合為該博弈的一個(gè)“上策均衡”（Dominant-strategyEquilibrium）。,二、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法（It

2、eratedEliminationofStrictlyDominatedStrategies）,一博弈方的某個(gè)策略給他帶來的得益總比其它策略帶來的得益小，就稱這種策略為“嚴(yán)格下策”。通過對(duì)可選策略的相互比較，把不可能采用的較差策略排除掉，從而篩選出較好的策略。博弈方2左中右博弈上方1下圖2.1,嚴(yán)格下策反復(fù)消去法算例分析,博弈方2博弈方2左中左中博弈上博弈上方1下方1圖2.2消去博弈方2圖2.3進(jìn)一步消去右策略后的博弈博弈方1下策后的博弈,嚴(yán)格下策反復(fù)消去法并不能解決所有博弈的分析問題。（如猜硬幣博弈、石頭剪子布博弈）嚴(yán)格下策反復(fù)消去法失效的原因，仍然是在典型的博弈問題中，博弈方之間普遍存在策

3、略依存的特征，也就是說一個(gè)博弈方的不同策略之間，往往不存在絕對(duì)的優(yōu)劣關(guān)系，而只存在相對(duì)的、有條件的優(yōu)劣關(guān)系。,三、劃線法,先找出自己針對(duì)其他博弈方每種策略或策略組合（對(duì)多人博弈）的最佳對(duì)策，即自己的可選策略中與其他博弈方的策略或策略組合相配合，給自己帶來最大得益的策略（這種相對(duì)最佳對(duì)策總是存在的，不過不一定唯一），然后在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)其他博弈方策略選擇的判斷，包括對(duì)其他博弈方對(duì)自己策略判斷的判斷等，預(yù)測(cè)博弈的可能結(jié)果和確定自己的最優(yōu)策略。,劃線法算例分析,博弈方2左中右博弈上方1下圖2.4劃線法分析,無法用劃線法確定結(jié)果的博弈,猜硬幣猜硬幣方正面反面蓋硬正面幣方反面圖2.5劃線法分析猜硬幣博

4、弈,夫妻之爭(zhēng)（BattleofSexes）丈夫時(shí)裝足球妻時(shí)裝子足球圖2.6劃線法分析夫妻之爭(zhēng),四、箭頭法,箭頭法的基本思路是對(duì)博弈中的每個(gè)策略組合進(jìn)行分析，考察在每個(gè)策略組合處各個(gè)博弈方能否通過單獨(dú)改變自己的策略而增加得益。如能，則從所分析的策略引一箭頭，到能夠帶來更多得益的策略。最后綜合對(duì)每個(gè)策略組合的分析情況，形成對(duì)博弈結(jié)果的判斷。,箭頭法分析,囚徒2坦白抵賴囚坦白徒1抵賴圖2.7箭頭法分析囚徒的困境,第二節(jié)納什均衡（NashEquilibrium）,納什均衡的定義納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法,一、納什均衡的定義,n個(gè)參與人的策略式表達(dá)博弈：，策略組合是一個(gè)納什均衡，如果對(duì)于每一個(gè)i，是給

5、定其他所有參與人選擇的情況下第i個(gè)參與人的最優(yōu)策略。即：對(duì)于任意和任意的i都成立。,二、納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)一致預(yù)測(cè)性是納什均衡的本質(zhì)屬性?！耙恢滦灶A(yù)測(cè)”是指：如果所有博弈方都預(yù)測(cè)一個(gè)特定的博弈結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，那么所有的博弈方的實(shí)際行為選擇都會(huì)與他們的預(yù)測(cè)一致，即沒有哪個(gè)博弈方有偏離這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的愿望，因此這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果最終真會(huì)成為博弈的結(jié)果。,一致預(yù)測(cè)性在博弈分析中是重要的，原因在于一個(gè)博弈方在博弈中所作預(yù)測(cè)的內(nèi)容包括他自己的選擇，因此博弈方有可能會(huì)利用預(yù)測(cè)改變自己的選擇，而具有一致預(yù)測(cè)性質(zhì)的博弈分析概念就能避免這樣的矛盾，從而是穩(wěn)定的和自我強(qiáng)制的（Selfenforcing），相應(yīng)選擇也才是真

6、正可預(yù)測(cè)的。納什均衡具有一致性預(yù)測(cè)的性質(zhì)，而且只有納什均衡才有這種性質(zhì)，任何非納什均衡的預(yù)測(cè)都不是一致預(yù)測(cè)，因此一致預(yù)測(cè)正是納什均衡的本質(zhì)屬性。,正是由于納什均衡是一致性預(yù)測(cè)，因此才進(jìn)一步有下列性質(zhì)：首先，各博弈方可以預(yù)測(cè)它，可以預(yù)測(cè)他們的對(duì)手會(huì)預(yù)測(cè)它，還可以預(yù)測(cè)他們的對(duì)手會(huì)預(yù)測(cè)自己會(huì)預(yù)測(cè)它，；其次，預(yù)測(cè)任何非納什均衡策略組合將是博弈的最終結(jié)果，意味著要么各博弈方的預(yù)測(cè)其實(shí)并不相同（預(yù)測(cè)不同的納什均衡會(huì)出現(xiàn)等），要么預(yù)期至少一個(gè)博弈方要“犯錯(cuò)誤”，包括對(duì)博弈結(jié)構(gòu)理解的錯(cuò)誤，對(duì)其他博弈方的策略預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，其理性和計(jì)算能力有問題，或者是實(shí)施策略時(shí)會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)等。,三、納什均衡與上述分析方法的關(guān)系,（一

7、）納什均衡與上策均衡的關(guān)系上策均衡是比納什均衡更強(qiáng)、穩(wěn)定性更高的均衡概念圖2.8納什均衡與上策均衡的關(guān)系,（二）納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法,命題2.1在n個(gè)博弈方的博弈中，如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除之外的所有策略組合，那么一定是該博弈唯一的納什均衡。命題2.2在n個(gè)博弈方的博弈中，如果是G的一個(gè)納什均衡，那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會(huì)將它消去。,第三節(jié)無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù),古諾的寡頭模型反應(yīng)函數(shù)伯特蘭德寡頭模型,一、古諾寡頭模型產(chǎn)量博弈,設(shè)一市場(chǎng)有1、2兩家廠商生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品。如果廠商1的產(chǎn)量為，廠商2的產(chǎn)量為，則市場(chǎng)總產(chǎn)量為。設(shè)市場(chǎng)出清價(jià)格P（可以將產(chǎn)品全部賣出去的價(jià)格）是市場(chǎng)總

8、產(chǎn)量的函數(shù)：再設(shè)兩廠商的生產(chǎn)都無固定成本，且每增加一單位產(chǎn)量的邊際成本相等。最后強(qiáng)調(diào)兩廠商同時(shí)決定各自的產(chǎn)量，即他們?cè)跊Q策之前都不知道另一方的產(chǎn)量。,古諾寡頭模型產(chǎn)量博弈分析（1）,兩廠商的利潤(rùn)函數(shù)分別為：,古諾寡頭模型產(chǎn)量博弈分析（2）,利潤(rùn)最大化條件：解得：,博弈結(jié)果效率比較,古諾寡頭模型產(chǎn)量博弈分析（3）,從兩廠商的總體來看，根據(jù)總體利益最大化確定產(chǎn)量效率更高。換句話說，如果兩廠商更多考慮合作，聯(lián)合起來決定產(chǎn)量，先定出使總利益最大的產(chǎn)量后各自生產(chǎn)一半（1.5單位），則各自可分享到的利益為4.5，比只考慮自身利益的獨(dú)立決策行為得到的利益要高。,二、反應(yīng)函數(shù),前面討論的兩寡頭古諾模型中，根據(jù)

9、兩廠商的利潤(rùn)最大化條件可以得到兩廠商的反應(yīng)函數(shù)（ReactionFunction）：,q2(0,6)(0,3)(2,2)(3,0)(6,0)q1圖2.9古諾模型的反應(yīng)函數(shù)幾何描述,三、伯特蘭德寡頭模型價(jià)格博弈,當(dāng)廠商1和廠商2價(jià)格分別是和時(shí)，它們各自的需求函數(shù)為：設(shè)兩廠商無固定成本，邊際生產(chǎn)成本分別為和，策略空間分別為，兩廠商是同時(shí)決策的。,伯特蘭德寡頭模型價(jià)格博弈分析（1）,兩廠商的利潤(rùn)函數(shù)（關(guān)于價(jià)格的函數(shù)）：兩廠商對(duì)對(duì)方策略（價(jià)格）的反應(yīng)函數(shù)為：,伯特蘭德寡頭模型價(jià)格博弈分析（2）,解此方程組，得：為該博弈唯一的納什均衡。,第四節(jié)混合策略和混合策略納什均衡,嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn)多重

10、均衡博弈和混合策略混合策略和嚴(yán)格劣策略重復(fù)剔除混合策略反應(yīng)函數(shù),一、嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn),1、猜硬幣博弈猜硬幣方正面反面蓋硬正面幣方反面圖2.10猜硬幣博弈,2、嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈原則,第一個(gè)原則：自己的策略選擇不能預(yù)先被另一方知道或猜中。這正是沒有納什均衡博弈與存在唯一納什均衡博弈之間的一個(gè)重要的本質(zhì)區(qū)別。第二個(gè)原則：在該博弈的多次重復(fù)中，博弈方一定要避免自己的選擇帶有規(guī)律性，在該博弈中博弈方必須隨機(jī)選擇策略。,很顯然，上述猜硬幣博弈中兩博弈方都以1/2的相同概率隨機(jī)選擇正面、反面時(shí)，雙方都無法根據(jù)對(duì)方的選擇獲益。這種博弈方以一定的概率分布在可選策略中隨機(jī)選擇的策略，稱為“混合策略”。與此

11、相對(duì)，把原來意義上的策略稱為“純策略”。,3、混合策略定義,定義：在博弈中，博弈方i的策略空間為，則博弈方i以概率分布隨機(jī)在其k個(gè)可選擇策略中選擇的“策略”，稱為一個(gè)“混合策略”。其中對(duì)于j=1,k都成立，且。,4、混合策略和混合策略納什均衡,事實(shí)上，把策略擴(kuò)展到包括混合策略時(shí)，納什均衡概念仍然成立。其本質(zhì)規(guī)定性也仍然相同，即如果一個(gè)策略組合滿足各博弈方的策略相互是對(duì)對(duì)方策略的最佳對(duì)策時(shí)，就是一個(gè)納什均衡。不過現(xiàn)在其中的策略既可能是純策略，也可能是混合策略。這種令各個(gè)博弈方隨機(jī)選擇純策略的概率分布，以使對(duì)方或其他博弈方采用不同策略的期望得益相同，從而計(jì)算出各個(gè)博弈方隨機(jī)選擇各純策略概率的方法，

12、在求其他嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈的混合策略納什均衡時(shí)也適用。,5、混合策略博弈算例分析,博弈方2CD博弈A方1B圖2.11,如圖2.11所示的博弈，用劃線法很容易發(fā)現(xiàn)該博弈不存在純策略納什均衡。如果設(shè)博弈方1選擇A的概率為，選B的概率；博弈方2選C的概率為，選D的概率為。根據(jù)嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈的兩個(gè)原則有：,由，解得：、當(dāng)博弈方1以（0.8，0.2）的概率隨機(jī)選擇A和B，博弈方2以（0.8，0.2）的概率隨機(jī)選擇C和D時(shí)，誰都無法通過單獨(dú)改變自己隨機(jī)選擇的概率分布改善自己的期望得益，因此這個(gè)混合策略組合是穩(wěn)定的。這就是本博弈唯一的混合策略納什均衡。,雙方采用該混合策略的期望得益為：,二、多重均衡博弈和混合策略,

13、1、夫妻之爭(zhēng)丈夫時(shí)裝足球妻時(shí)裝子足球圖2.12夫妻之爭(zhēng),用劃線法可知，該博弈有兩個(gè)納什均衡，即（時(shí)裝，時(shí)裝）和（足球，足球）。夫妻倆人首先從自身的最大利益出發(fā)獨(dú)立同時(shí)決策時(shí)，也不能肯定他們究竟會(huì)做怎樣的選擇，無法知道博弈的結(jié)果最終會(huì)是哪個(gè)純策略組合。因此也需要考慮博弈方采用混合策略的可能性。,現(xiàn)在設(shè)和分別為妻子選擇時(shí)裝表演和足球時(shí)的概率；設(shè)和為丈夫選擇時(shí)裝表演和足球賽的概率。根據(jù)嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)策略的兩個(gè)原則及混合策略的定義有：,解得：當(dāng)妻子以（3/4，1/4）的概率分布隨機(jī)選擇時(shí)裝表演和足球，丈夫以（1/3，2/3）的概率隨機(jī)選擇時(shí)裝表演和足球是該博弈的混合策略納什均衡。,該混合策略納什均衡給妻子和

14、丈夫各自帶來的期望得益為：,2、制式問題,廠商2AB廠A商1B圖2.13制式問題,容易看出，該博弈與夫妻之爭(zhēng)博弈一樣，也有兩個(gè)純策略納什均衡，分別為（A，A）和（B，B）。利用與夫妻之爭(zhēng)博弈同樣的分析方法，很容易解出該博弈的混合策略納什均衡就是廠商1以概率分布（0.4，0.6）隨機(jī)選擇A和B，廠商2則以概率分布（0.67，0.33）隨機(jī)選擇A和B。在該混合策略納什均衡下，雙方的期望得益分別為0.664和1.296。,3、市場(chǎng)機(jī)會(huì)博弈,廠商2進(jìn)不進(jìn)廠進(jìn)商1不進(jìn)圖2.14市場(chǎng)機(jī)會(huì),本博弈有（進(jìn)，不進(jìn)）和（不進(jìn)，進(jìn)）兩個(gè)純策略納什均衡。利用混合策略的分析方法可得，雙方各以（2/3，1/3）的概率選擇

15、進(jìn)與不進(jìn)，正是本博弈的一個(gè)混合策略納什均衡。這時(shí)，兩廠商的期望得益都是：,對(duì)于一次性博弈來說，兩個(gè)廠商是否會(huì)按照這種混合策略納什均衡行為可能還有疑問，但如果把上述混合策略理解成在遇到類似問題的大量廠商中，有2/3會(huì)選擇進(jìn)，1/3會(huì)選擇不進(jìn)，則反而更清楚一些和更有意義。實(shí)際上，混合策略博弈的意義就在于對(duì)于在一次性博弈中不存在納什均衡或多個(gè)納什均衡的情況下，當(dāng)我們從多次進(jìn)行該博弈的角度考察時(shí)，從平均意義上（期望得益的角度）尋求博弈均衡解的一種有效的辦法。,三、混合策略和嚴(yán)格劣策略重復(fù)剔除,任何博弈方都不會(huì)采用任何嚴(yán)格劣策略，不管他們是純策略還是混合策略；嚴(yán)格劣策略重復(fù)剔除不會(huì)消去任何納什均衡，包括

16、純策略納什均衡和混合策略納什均衡；如果經(jīng)過反復(fù)消去后留下的策略組合是唯一的，那么一定是納什均衡。,算例分析,博弈方2LR博弈UM方1D圖2.15混合策略和嚴(yán)格劣策略重復(fù)剔除在上述博弈中，不存在任何嚴(yán)格劣策略，因而嚴(yán)格劣策略重復(fù)剔除法就無從運(yùn)用。但是，如果我們?cè)试S博弈方1采取混合策略，情況就會(huì)有所不同。設(shè)博弈方1采取如下混合策略：以概率分布（1/2，1/2，0）隨機(jī)選擇U、M、D，即各一半機(jī)會(huì)選U、M，不選D。那么與這個(gè)混合策略相比，D一定是博弈方1的嚴(yán)格劣策略。,當(dāng)博弈方2采用純策略L時(shí)，博弈方1用上述混合策略的期望得益為當(dāng)博弈方2采用純策略R時(shí)，博弈方1用上述混合策略的期望得益為即使博弈方2

17、也采用混合策略（q，1-q），博弈方1采用上述混合策略的期望得益還是一樣，即,也就是說，不管博弈方2采用哪種策略，包括有可能的純策略和所有混合策略（對(duì)應(yīng)q的不同值），博弈方1采用上述混合策略的期望得益始終為3/2，都大于采用D策略時(shí)能得到的確定性得益1。假設(shè)博弈方1是風(fēng)險(xiǎn)中性的，因此D策相對(duì)于混合策略（1/2，1/2，0）是嚴(yán)格劣策略。,既然D策在有混合策略時(shí)是嚴(yán)格劣策略，因此可以從博弈方1的策略空間中去掉，博弈的得益矩陣變?yōu)橄聢D。此時(shí)L策是博弈方2的相對(duì)于R策的嚴(yán)格劣策略，也可以將它從博弈方2的策略空間中消去。最后，在剩下的兩個(gè)策略組合中，博弈方1當(dāng)然選M策略，于是（M，R）策略組合就是該博

18、弈的納什均衡，此時(shí)雙方的得益為（3，3）。博弈方2LR博弈U3，10，2方1M0，23，3圖2.16消去D后的得益矩陣,四、混合策略反應(yīng)函數(shù),在純策略的范圍內(nèi)，反應(yīng)函數(shù)是各博弈方選擇的純策略對(duì)其他博弈方純策略的反應(yīng)；在混合策略的范圍內(nèi)，博弈方的決策內(nèi)容為選擇概率分布，反應(yīng)函數(shù)就是一方對(duì)另一方的概率分布的反應(yīng)，同樣也是一定的概率分布；由于純策略可以理解為混合策略，因此實(shí)際上反應(yīng)函數(shù)的概念，可以在混合策略概率分布之間反應(yīng)的意義上統(tǒng)一起來。,猜硬幣,猜硬幣方正面反面蓋硬正面幣方反面圖2.16猜硬幣博弈設(shè)（r，1-r）是蓋硬幣一方隨機(jī)選擇正反面的混合策略的概率分布，（q，1-q）是猜硬幣方隨機(jī)選擇正反面的混合策略的概率分布，那么兩博弈方的反應(yīng)函數(shù)就是r和q之間的相互決定關(guān)系。,本博弈中當(dāng)猜硬幣方選擇猜正面的概率q1/2時(shí)，蓋硬幣一方應(yīng)選擇正面，相當(dāng)于在混合策略（r，1-r）中令r=1，因?yàn)檫@樣贏多輸少；相反，如果q1/2，則蓋硬幣方應(yīng)選擇反面，相當(dāng)于r=0；而當(dāng)q=1/2時(shí)，對(duì)蓋硬幣方來說，