1、彈性力學(xué),蔣玉川,2007.5.17,彈性力學(xué),第5章彈性力學(xué)問(wèn)題的解法第6章柱體的扭轉(zhuǎn)第7章平面問(wèn)題直角坐標(biāo)解第8章平面問(wèn)題極坐標(biāo)解第9章能量原理及其變分法,軸對(duì)稱問(wèn)題的工程實(shí)例實(shí)例1：厚壁圓筒一般應(yīng)力解答,邊界條件要求：,前兩個(gè)條件自然滿足，而后兩個(gè)條件要求,(8.20),現(xiàn)在邊界條件都以用完，但兩個(gè)方程不能決定三個(gè)常數(shù)A、B、C。,因?yàn)閳A環(huán)是多連體，考察位移單值條件。,環(huán)向位移v的表達(dá)式中有一項(xiàng),要求：,則由(8.20)式求得：,代入式(8.17)可得，,(8.22),注意：,為常數(shù)項(xiàng),處處相等，整個(gè)圓筒橫截面將沿筒軸方向發(fā)生均勻伸長(zhǎng)或縮短，從而使橫截面變形后保持為平面。,將(8.21)

2、式代入(8.18)并略去剛性位移得厚壁筒的位移表達(dá)式,即沿筒壁厚度上,(8.23),僅受外壓作用,由式(8.23)得：,(8.25),可見(jiàn)，總為壓應(yīng)力，總為拉應(yīng)力，最大拉應(yīng)力、壓應(yīng)力均發(fā)生在內(nèi)壁處，其值分別為:,僅受內(nèi)壓作用,(8.26),其位移由式(8.23)簡(jiǎn)化可得,(8.27),3.在只有內(nèi)壓時(shí)，且圓筒的外半徑趨于無(wú)限大時(shí)，成為圓形孔道的無(wú)限大彈性體(如無(wú)襯砌的壓力隧洞)，式(8.26)成為,(8.28),解：由式(8.26)可得,如圖8-5中虛線所示，由此可見(jiàn)，內(nèi)壁處的環(huán)向應(yīng)力過(guò)大。通常采用組合筒來(lái)改善其應(yīng)力分布。,例8-1有一內(nèi)半徑a=0.1m，外半徑b=0.2m的圓筒承受內(nèi)壓，試確

3、定此圓筒的內(nèi)外表面上和壁厚中間處的環(huán)向應(yīng)力。,4.組合筒由內(nèi)外筒兩部分組成(圖8-5)，外筒的內(nèi)半徑略小于內(nèi)筒的外半徑，并預(yù)先將外筒加熱使其膨脹，然后裝配而成，冷卻后在內(nèi)外筒之間產(chǎn)生了接觸壓力，稱之為冷縮配合應(yīng)力。,設(shè)內(nèi)圓筒的外半徑受力前比外圓筒的內(nèi)半徑大,于是裝配后產(chǎn)生了接觸壓力q,的大小可由外圓筒內(nèi)半徑的增量與內(nèi)圓筒外半徑的減量之和等于這一條件，因此，由式(8.25)和(8.27)得,從而得：,(8.29),例8-2圖8-5所示組合筒的鋼材料的彈性模量，內(nèi)壓，,試確定筒內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力。,解：內(nèi)外圓筒之間的接觸應(yīng)力可由式(8.29)得,由式(8.29)可得內(nèi)圓筒由此壓力引起的環(huán)向預(yù)應(yīng)力，,由式

4、(8-14)可得外圓筒中的環(huán)向預(yù)應(yīng)力,環(huán)向預(yù)應(yīng)力沿筒壁厚度的分布，在圖8-5b中用虛線mn和mn表示。內(nèi)壓產(chǎn)生的應(yīng)力與例8-1相同，在圖8-5b中用虛線S-S表示。實(shí)際的環(huán)向應(yīng)力由上兩部分疊加而成，在圖8-5b中用實(shí)線表示。,8-4圓孔孔邊的應(yīng)力集中,設(shè)受力的彈形體具有小孔，則孔邊的應(yīng)力將遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力以及距孔邊較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種現(xiàn)象稱為孔邊應(yīng)力集中?？走厬?yīng)力集中是局部現(xiàn)象。在幾倍于孔徑以外，應(yīng)力幾乎不受孔的影響，應(yīng)力的分布情況以及數(shù)值的大小都幾乎與無(wú)孔時(shí)相同。一般說(shuō)來(lái)，應(yīng)力集中的程度越高，集中的現(xiàn)象越是局部性的，也就是，應(yīng)力隨著距孔的距離增大而更快地趨于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。另外，應(yīng)力集中的程度

5、與孔的形狀有關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，圓孔孔邊的應(yīng)力集中程度最低。因此，如果有必要在構(gòu)件中挖孔或留孔，也應(yīng)盡可能留圓孔。,圖8-6所示一矩形薄板受均勻拉伸作用，板中有一圓孔，孔徑為2a，板厚為1。坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓孔中心，坐標(biāo)平行于邊界。,為此作如下等代變換，以圓點(diǎn)0為圓心，以遠(yuǎn)大于a的某一長(zhǎng)度為半徑作一大圓。根據(jù)應(yīng)力集中的局部性，在大圓的周邊上任意一點(diǎn)A處的應(yīng)力與無(wú)孔時(shí)相同，即，應(yīng)用坐標(biāo)變換公式，可得A點(diǎn)的極坐標(biāo)分量,(8.30),于是矩形板變成了內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒的一個(gè)截面。又稱為等代變換。第一部分是外壁受均勻拉力，其解答由式(8.24)確定。第二部分是外壁上法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。,(1)、用

6、半逆解法.可以假設(shè)為r的某一函數(shù)乘以，而為r的另一函數(shù)乘以。且,因此可以推設(shè)：,(8.31),代入相容方程(8-11)得，,利用變換將其化為常微分方程，即,其特征方程的根為，,故,A、B、C、D為任意常數(shù)。上式代入(8.31)得應(yīng)力函數(shù),(8.32),由式(8-9)得應(yīng)力分量,(8.33),2.由邊界條件確定積分常數(shù),(8.34),(a),(b),(c),(d),由式(a)兩端乘以得,由于圓孔相對(duì)于板寬較小，所以令，則上式簡(jiǎn)化為,即，,式(b)兩端乘以并將B的值代入,于是式(c)、(d)簡(jiǎn)化為,解得：,將常數(shù)代入式（8.33）,再加上第一部分，由(8.24)求得的應(yīng)力，得總應(yīng)力為,（8.36）,3、討論,1).沿孔邊（r=a)的環(huán)向應(yīng)力為，其分布如圖8-7b所示。,2)、沿y軸橫截面面上的環(huán)向應(yīng)力為