1、必修4第一章三角函數(shù)教材分析函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)則的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)則必須用不同的函數(shù)描述。 三角函數(shù)是描述客觀世界周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域具有重要作用，它是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的另一個(gè)重要基本初等函數(shù)。 在本章中，在數(shù)學(xué)1中學(xué)習(xí)了函數(shù)概念和基本初等函數(shù)I的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，并體會(huì)到解決三角函數(shù)具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題的作用。 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)概念解決問(wèn)題的能力。一、內(nèi)容和課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)及其基本性質(zhì)。 要在本章中學(xué)習(xí)，需要指導(dǎo)學(xué)生1 .理解任意角的概念和弧度制，能使弧度和角

2、度互相化2 .用單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、馀弦、正切)的定義3 .通過(guò)從單位圓中的三角函數(shù)線導(dǎo)出誘導(dǎo)式(的正弦、馀弦、正切)，可以描繪出y=sin x、y=cos x、y=tan x的圖像，可以知道三角函數(shù)的周期性4 .從圖像理解正弦函數(shù)、馀弦函數(shù)在正切函數(shù)上的性質(zhì)(單調(diào)性、最大與最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等)5 .理解等角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin2x cos2x=1；6 .結(jié)合具體實(shí)例，可以理解的實(shí)際意義計(jì)算機(jī)或計(jì)算機(jī)描繪的圖像觀察到參數(shù)a、w、f對(duì)函數(shù)圖像變化的影響7 .用三角函數(shù)解決了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，三角函數(shù)獲得了描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。二、內(nèi)容的安排本章準(zhǔn)備了6個(gè)

3、小節(jié)和2個(gè)選擇項(xiàng)內(nèi)容，教育時(shí)間約為16小時(shí)，大致分配如下(僅供參考)。一。 1任意角和弧度制約2個(gè)小時(shí)一。 2任意角的三角函數(shù)約三幀一。 三角函數(shù)的誘導(dǎo)式約2個(gè)小時(shí)一。 4三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)約4幀一。 5函數(shù)y=Asin()的圖像約兩幀一。 6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用約2個(gè)會(huì)話小結(jié)，小結(jié)，小結(jié)，小結(jié)，小結(jié)本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)如下1 .本章學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何學(xué)中的圓的性質(zhì)、相似形的相關(guān)知識(shí)，數(shù)學(xué)1中確立的函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，根據(jù)其直觀， 由于能讓學(xué)生理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，三角

4、函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于理解數(shù)學(xué)結(jié)合思想，三角函數(shù)作為記述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科(特別是物理、地理)密切相關(guān)，本章的學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。2 .為了加強(qiáng)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的目的性，本章采用月相變化圖和簡(jiǎn)單調(diào)和運(yùn)動(dòng)圖的組合作為章頭圖，前言“宇宙天體大，質(zhì)點(diǎn)小的運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)實(shí)世界中到處都有周期性變化的現(xiàn)象”，在章前序言中明確地說(shuō)“三角函數(shù)是描繪周期性變化規(guī)則的數(shù)學(xué)模型” 這種配置可以更明確地表現(xiàn)三角函數(shù)的作用，使學(xué)生更明確地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的意義。3 .任何角的三角函數(shù)可以具有不同的定義方法，并且對(duì)各種定義具有獨(dú)特的特征。 以往習(xí)慣于用角的終點(diǎn)坐標(biāo)的“比”來(lái)定義，該定義方法可以表現(xiàn)從銳角的三角函數(shù)向

5、任意角的三角函數(shù)的普及，有助于學(xué)生從自己已有的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對(duì)正確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定不良影響的“從角的集合到比的集合”的對(duì)應(yīng)與學(xué)生熟知的一般函數(shù)概念對(duì)“數(shù)集合到數(shù)集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系矛盾，“比”需要通過(guò)運(yùn)算得到，這與函數(shù)值是確定的實(shí)數(shù)不同，這影響了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解。本章中，使用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，定義任意角的正弦函數(shù)、馀弦函數(shù)。 這樣的定義明確地表示正弦馀弦函數(shù)中的自變量到函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，還表示這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系。 另外，若為弧度數(shù)，即xOP=rad，則正弦、馀弦函數(shù)是與任意實(shí)數(shù)相關(guān)的函數(shù)，此時(shí)的自變量和函數(shù)值為實(shí)數(shù)，這與數(shù)學(xué)1中給出的一般函數(shù)概念完全一致。 實(shí)際上，

6、在弧度制(用半徑測(cè)量角度的方法)中，角度和長(zhǎng)度的單位是統(tǒng)一的，因?yàn)槭窃搯挝坏慕y(tǒng)一，所以這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以如下記述如果把實(shí)軸看作柔軟的細(xì)線，把原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)a (1，0 )，把軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把負(fù)半軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到單位圓，那么軸上的任意實(shí)數(shù)(點(diǎn)) t就纏繞在單位圓上的點(diǎn)P(cost，sint )。根據(jù)以上理由，這種定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，即三角函數(shù)的形式?jīng)Q定了其在數(shù)學(xué)(特別是應(yīng)用數(shù)學(xué))中的重要性。 實(shí)際上，后續(xù)內(nèi)容，特別是微積分中最常用的是弧控制和弧控制中的三角函數(shù)。此外，這種定義使三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更直接，使數(shù)形的結(jié)合更緊密，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)更為方便，使三角函數(shù)

7、更為方便。 例如，可以從定義容易地導(dǎo)出同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)式、和(差)方式，為式的存儲(chǔ)提供了圖形支持的單位圓為討論三角函數(shù)的性質(zhì)提供了很好的直觀的載波，我們可以利用單位圓，從定義直接討論三角函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)然，這個(gè)定義等效于用人們熟悉的角的終點(diǎn)坐標(biāo)的“比”來(lái)定義，這是教科書(shū)1。 二。 把例2的原因放在第一位。4 .三角函數(shù)的誘導(dǎo)式以往是從求出三角函數(shù)的值導(dǎo)出的，的三角函數(shù)和的三角函數(shù)關(guān)系作為誘導(dǎo)式，并且將相關(guān)的誘導(dǎo)式作為和(差)方式的推論給出。 這本教科書(shū)改變了這個(gè)做法。 教科書(shū)利用單位圓，首先討論這些角的終點(diǎn)和角的終點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)定義導(dǎo)出所有的誘導(dǎo)式。 這樣，可以很好地反映誘導(dǎo)

8、式的本質(zhì)(圓的對(duì)稱性的代數(shù)表現(xiàn))，成為有機(jī)的整體。 另外，關(guān)于的誘導(dǎo)式被刪除(因?yàn)楹?的誘導(dǎo)式等價(jià))，追加了被追加的誘導(dǎo)式。 為了使學(xué)生盡快養(yǎng)成使用弧制度的習(xí)慣，在引導(dǎo)式中全部采用了弧制度。5 .正弦、馀弦函數(shù)以從函數(shù)的定義到函數(shù)圖像，再?gòu)挠懻摵瘮?shù)性質(zhì)的最后到應(yīng)用函數(shù)模型為止的順序展開(kāi)，三角恒等變換不進(jìn)入其中。 該順序與其他函數(shù)的研究順序一致，使三角函數(shù)的研究更簡(jiǎn)潔。 另外，以周期性為第一性質(zhì)，以表現(xiàn)其重要性為目的。 正切函數(shù)的目的是首先利用誘導(dǎo)式、單位圓討論性質(zhì)，其次利用性質(zhì)制作圖像，使學(xué)生可以從不同的角度討論函數(shù)的性質(zhì)。6 .函數(shù)圖像的研究有三個(gè)相關(guān)參數(shù)，本章討論某參數(shù)對(duì)圖像的影響(其馀參

9、數(shù)相對(duì)固定)，并集成到完整的問(wèn)題解決方法中安排內(nèi)容。 具體的線索如下。探索對(duì)(y=sin(x )圖像的影響探索對(duì)(y=sin(x )圖像的影響探索a對(duì)(y=Asin(x )圖像的影響(4)上述三個(gè)過(guò)程的合成。在上述四個(gè)問(wèn)題的具體討論中，首先學(xué)生給參數(shù)指定值，形成對(duì)圖像變化的具體認(rèn)識(shí)，然后展開(kāi)到一般情況。這種安排分散難點(diǎn)，讓學(xué)生形成明確的討論線索，從中學(xué)習(xí)如何將復(fù)雜問(wèn)題分解為簡(jiǎn)單問(wèn)題并“個(gè)別破壞”，整合到解決問(wèn)題的想法中，培養(yǎng)有序的思考習(xí)慣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力。7 .“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是一個(gè)新的內(nèi)容，主要以三角函數(shù)模型的應(yīng)用方法為例進(jìn)行說(shuō)明。 選定的問(wèn)題如下：(1)用已知的三角

10、函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題(2)將復(fù)雜的函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為等基本初等函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題(3)根據(jù)問(wèn)題情景建立正確的三角函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題(4)通過(guò)數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)內(nèi)容的目的是讓學(xué)生在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題上感受三角函數(shù)的作用，讓學(xué)生體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，讓學(xué)生體驗(yàn)三角函數(shù)的價(jià)值和作用，提高應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生理解知識(shí)。 安排內(nèi)容時(shí)，特別注意數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程的完整性，加強(qiáng)了問(wèn)題情景和解題想法的分析和解題后的反思兩個(gè)環(huán)節(jié)。 這樣可以保持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思考水平，提高學(xué)生對(duì)相應(yīng)思想方法的認(rèn)知水平，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。三、新舊教材的變化1、以基本概念為中心的內(nèi)

11、容貫穿本書(shū)，削枝強(qiáng)干，教材體系更合理。“標(biāo)準(zhǔn)”設(shè)定的三角函數(shù)和三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)如下(1)通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)則的問(wèn)題中的作用(2)用向量方法導(dǎo)出基本三角恒等變換式，導(dǎo)出其他三角恒等變換式，用這些式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換。根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標(biāo)，在寫(xiě)教科書(shū)的過(guò)程中，特別強(qiáng)調(diào)主干內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想。“三角函數(shù)”一章強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)作為記述周期性變化的數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。 即通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象，在學(xué)生感到有必要導(dǎo)入三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，提取三角函數(shù)的概念，研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。與傳統(tǒng)的處理方法不同，這里使三

12、角恒等變換從三角函數(shù)獨(dú)立出來(lái)，其目的也是在三角函數(shù)章中強(qiáng)調(diào)“函數(shù)是記述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”的主線。為了達(dá)到剪枝的目標(biāo)，教科書(shū)不僅把三角恒等轉(zhuǎn)換成獨(dú)自的章，還用具體的內(nèi)容進(jìn)行了處理。用新教材，學(xué)生學(xué)了1。 1任意角，弧度，1。 2在任意角的三角函數(shù)后面放置了“1”。 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的內(nèi)容，使用三角式三角恒等變換的內(nèi)容有所延遲。 這和原來(lái)的教材相比，兩個(gè)內(nèi)容正好相反。三角式利用三角函數(shù)的周期性、奇偶校驗(yàn)等性質(zhì)導(dǎo)出，因此這種配置有合理性。 相應(yīng)地強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)廣泛應(yīng)用的地位。在原來(lái)的教材中準(zhǔn)備了“已知的三角函數(shù)值求角”這一節(jié)，從新教材中刪除了。 但是，在新教材的“1”中。

13、 在“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”中，插入了已知的三角函數(shù)的值求角的主題。 例如，P32例2 :“求下一個(gè)函數(shù)的最大值和最大值時(shí)的參數(shù)x的集合： (1) P33是第4問(wèn)，P35是第1問(wèn)，P46是第1問(wèn)。 3第4題、P49復(fù)習(xí)題第10題等。大家都知道三角函數(shù)值求角的內(nèi)容在新教材中是不獨(dú)立的，所以在學(xué)生學(xué)習(xí)、解答關(guān)于這個(gè)內(nèi)容的問(wèn)題時(shí)，請(qǐng)注意總結(jié)說(shuō)明其中的規(guī)則和方法。新教材的“第三章三角恒等變換”中追加了“3”。 三個(gè)三角常數(shù)式”將和差化積、積化和差、萬(wàn)能置換、半角等組式配置在此節(jié)。 原來(lái)的教材，把這些公式分散在例題、練習(xí)題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題上。這一系列公式系統(tǒng)地安排在一個(gè)部分，所以今后學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)可以

14、直接應(yīng)用。 雖然可以讓富裕的學(xué)生記住，但是不能強(qiáng)制要求學(xué)生統(tǒng)一記住。任意角、弧度制概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、周期函數(shù)和最小正周期、三角函數(shù)的奇偶校驗(yàn)等內(nèi)容降低了要求。 在三角恒等變換中，兩角和和差的正馀弦、正切式被削弱，使得二倍角的正馀弦、正切式可以從原來(lái)的把握中導(dǎo)出兩角差的馀弦式。 積化和差、和差化積、半角式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練的例題，不需要積化和差、和差化積、半角式進(jìn)行復(fù)雜的恒等變形。如上所述，本模塊首先配置三角函數(shù)，然后配置平面向量，然后將三角恒等變換作為平面向量的應(yīng)用，配置在第3章，接著配置解三角形的內(nèi)容(放置在數(shù)學(xué)5的第1章)。 這種教材體系的合理性(1)根據(jù)現(xiàn)有的集合和

15、函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)，把三角函數(shù)置于上位概念(即函數(shù))之下，使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)具有很好的“先行組織者”，找到有力的“扎根點(diǎn)”。 三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是“逐漸分化”式的學(xué)習(xí)。(2)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)為平面向量的學(xué)習(xí)做了必要的準(zhǔn)備，但平面向量的某些內(nèi)容(向量的數(shù)積)需要使用鈍角的三角函數(shù)。(3)將三角恒等變換配置在平面向量上后，讓學(xué)生感受到平面向量的威力(以向量為工具導(dǎo)出三角變換式非常簡(jiǎn)單，其他方法很麻煩)。 另外，三角恒等變換與“函數(shù)”討論的主題的關(guān)系很遠(yuǎn)，所以作為平面向量的應(yīng)用獨(dú)立地組成章，不損害三角函數(shù)的系統(tǒng)性。(4)通過(guò)將解三角形的內(nèi)容配置在平面向量之后，可以在正弦定理、馀弦定理的證明中得到

16、更多的根，更好地表現(xiàn)向量的工具性作用。2、加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)合思想從三角函數(shù)的定義方法來(lái)看，三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓直接相關(guān)。 實(shí)際上，任意角、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)(周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)式、三角函數(shù)的圖像等能夠用單位圓識(shí)別，也是將三角函數(shù)稱為“圓函數(shù)”的理由。 因此，在三角函數(shù)的研究中，單位圓的幾何學(xué)直觀是非常重要的手段，也是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)合思想、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)合來(lái)思考問(wèn)題的機(jī)會(huì)。為了在幾何學(xué)直觀中發(fā)揮單位圓的作用，教科書(shū)在導(dǎo)入圓弧制度時(shí)滲透單位圓的概念，在說(shuō)三角函數(shù)的概念之前提出單位圓的概念，從單位圓直接導(dǎo)出三角函數(shù)的定義。 在后續(xù)內(nèi)容的

17、處理中，總是將單位圓作為一個(gè)載體。例如三角函數(shù)的誘導(dǎo)式的導(dǎo)出，教科書(shū)利用單位圓的對(duì)稱性，通過(guò)研究單位圓上的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)式，誘導(dǎo)式2式6與單位圓上的對(duì)稱圖形(即角的終點(diǎn)的對(duì)稱性)結(jié)合，引導(dǎo)這5組式形成一個(gè)有機(jī)的整體。數(shù)形結(jié)合的思想表現(xiàn)在數(shù)形和從形到數(shù)兩個(gè)方面。 教科書(shū)在討論三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，一方面從函數(shù)的圖像和單位圓中的三角函數(shù)線兩個(gè)角度探討正弦函數(shù)、馀弦函數(shù)的性質(zhì)，另一方面在研究正切函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上研究函數(shù)的圖像。在此，特別說(shuō)明用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)、馀弦函數(shù)的意義。 這樣定義三角函數(shù)，考慮到學(xué)生從學(xué)習(xí)三角函數(shù)開(kāi)始就感受到單位圓的重要性，除了為通過(guò)單位圓討論直觀的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)外，主要為了這樣的定義，還能更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)。實(shí)際上，任何角的三角函數(shù)都可以