1、 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 1 / 8 第六講 壓軸題專項 2 定值問題壓軸題 【真題練習】 一選擇題（本大題共一選擇題（本大題共 6 題，每題題，每題 4 分，滿分分，滿分 24 分）分） 1下列運算結(jié)果正確的是（ ） 632 aaa； 6332) (baab； 532) (aa； 32 32aaa 2若關(guān)于x的方程032 2 xkx有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 （ ） k 3 1 ； k 3 1 ； k 3 1 且0k； k 3 1 且0k 3下列事件是必然事件的是 （ ） 方程34x有實數(shù)根； 方程0 22 2 x x x 的解是2x； 直線bxy 3經(jīng)過第一象限； 當

2、a是一切實數(shù)時，aa 2 4一個斜坡的坡角為，斜坡長為m米，那么斜坡的高度是（ ） sinm米 ； cosm米； tanm米； cotm米 5下列命題中假命題是（ ） 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； 一組對邊平行一組對角相等的四邊形是平行四邊形； 一組對邊平行一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 6函數(shù))(xfy 的圖像如右圖所示，根據(jù)圖像提供的信息， 下列結(jié)論中錯誤的是（ ） 0)5(f； 2)6(f； 當73 x時，42y； 當63 x時，y隨x的增大而增大 x 0 y 3 6 7 4 5 2 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 2 / 8 二填空

3、題（本大題共二填空題（本大題共 12 題，每題題，每題 4 分，滿分分，滿分 48 分）分） 7分解因式： xx3 8化簡： 1 11 m mm _ 9方程xx12的解是 10函數(shù) 1 1 x y的定義域是 . 11反比例函數(shù) x k y 的圖像經(jīng)過點) 1, 2( ，那么這個反比例函數(shù)的解析式為 12拋物線 2 (2)2yx向右平移 2 個單位后所得拋物線的解析式為 13一次函數(shù)bkxy的圖像如圖所示， 那么不等式0bkx的解集是 14方程組 3 1 22 yx yx 的解是 15如圖，梯形ABCD中，ABCD，CDAB2， ADa ， ABb ，請用向量ba 、 表示 向量 AC 16擲一

4、枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面 分別刻有 1 到 6 的點數(shù)，擲出的點數(shù)大于 4 的 概率為 17O 的直徑為10，O 的兩條平行弦8AB，6CD，那么這兩條平行弦之間的距 離是_ 18平行四邊形 ABCD 中，3, 4BCAB，B60 ，AE 為 BC 邊上的高，將ABE 沿 AE 所在直 線翻折后得AFE，那么AFE 與四邊形 AECD 重疊部分的面積是 1.B；2D；3C；4A；5D；6D7) 1)(1(xxx；81；91x；10x1； 11 x y 2 ； 122 2 xy； 131x； 14 1 2 x y ； 15ba 2 1 ； 16 3 1 ； 171或7； 18 4 3

5、7 A B C D 0 1 x y 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 3 / 8 x y E D C B A o x y 備用圖 E D C B Ao 【壓軸真題】 1. 如圖所示，四邊形 OABC 是矩形，點 A、C 的坐標分別為（3，0） ， （0，1） ，點 D 是線段 BC 上的動 點（與端點 B、C 不重合） ，過點 D 作直線bxy 2 1 交折線 OAB 于點 E （1）記ODE 的面積為 S，求 S 與 b 的函數(shù)關(guān)系式； （2）當點 E 在線段 OA 上時，且 2 1 tan DEO若矩形 OABC 關(guān)于直線 DE 的對稱圖形為四邊形 O1A1B1C1，試探究四邊形 O1A1

6、B1C1與矩形 OABC 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出 該重疊部分的面積；若改變，請說明理由 解： （1）四邊形 OABC 是矩形，點 A（3，0） ，C（0，1） ，B（3，1） ， 若直線經(jīng)過點 A（3，0）時，則 b= 3 2 ，若直線經(jīng)過點 B（3，1）時，則 b= 5 2 ， 若直線經(jīng)過點 C（0，1）時，則 b=1， 若直線與折線 OAB 的交點在 OA 上時，即 1b 3 2 ，如圖 1，此時 E（2b，0） ， S= 1 2 OECO= 1 2 2b 1=b； 若直線與折線 OAB 的交點在 BA 上時，即 3 2 b 5 2 ，如圖 2， 此時 E（3，b 3

7、2 ） ，D（2b2，1） ， S=S矩（SOCD+SOAE+SDBE） =3 1 2 （2b2） 1+ 1 2 （52b）（ 5 2 b）+ 1 2 3（b 3 2 ）= 5 2 bb2， S= ) 2 5 2 3 ( 2 5 ) 2 3 1( 2 2 bbb bb ； （2）如圖 3，設(shè) O1A1與 CB 相交于點 M，OA 與 C1B1相交于點 N，則矩形 O1A1B1C1與矩形 OABC 的 重疊部分的面積即為四邊形 DNEM 的面積 由題意知，DMNE，DNME， 四邊形 DNEM 為平行四邊形， 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 4 / 8 x y M 圖3 H N O1 C1 B

8、1 A1 E D C B A o x y N M Q P FBA o 根據(jù)軸對稱知，MED=NED，又MDE=NED， MED=MDE，MD=ME，平行四邊形 DNEM 為菱形 過點 D 作 DHOA，垂足為 H， 由題意知， 2 1 HE DH ，DH=1，HE=2， 設(shè)菱形 DNEM 的邊長為 a， 則在 RtDHN 中，由勾股定理知：a2=（2a）2+12， 4 5 a，S四邊形DNEM=NEDH= 5 4 矩形 OA1B1C1與矩形 OABC 的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 5 4 2. 已知拋物線 1 C： 2 1 1 1 2 yxx點 F(1，1) （1）求拋物線 1 C的

9、頂點坐標； （2）拋物線 1 C上任意一點 P（ PP xy，） （01 P x） 連接 PF并延長交拋物線 1 C于點 Q（ QQ xy，） ， 試判斷 QFPF 11 是否為定值若是請求出該定值；若不是請說明理由。 解 （1） 22 1 111 1(1) 222 yxxx ，拋物線 1 C的頂點坐標為( 1 1 2 ， ) （2）如圖，過點 P（ PP xy，）作 PMAB 于點 M，則 FM=1 P x，PM=1 P y（01 P x） RtPMF 中，有勾股定理，得 22222 (1)(1) PP PFFMPMxy 又點 P（ PP xy，）在拋物線 1 C上， 得 2 11 (1)

10、22 PP yx，即 2 (1)21 PP xy 222 21 (1) PPP PFyyy 即 P PFy 過點 Q（ QQ xy，）作 QNB，與 AB 的延長線交于點 N， 同理可得 Q QFy 圖文PMF=QNF=90 ，MFP=NFQ，PMFQNF，有 PFPM QFQN 這里11 P PMyPF ，11 Q QNyQF ， 1 1 PFPF QFQF 即 11 2 PFQF 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 5 / 8 圖1 O F E D C B A 圖1 O F E D C B A P 圖2 F E D C B A J I P 圖2 F E D C B A G N M P 圖3

11、F E D C B A 3. 已知菱形 ABCD 邊長為 1ADC=60 ，等邊AEF 兩邊分別交邊 DC、CB 于點 E、F。 （1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖 1，若點 E、F 分別是邊 DC、CB 的中點 求證：菱形 ABCD 對角線 AC、BD 交點 O 即為等邊AEF 的外心； （2）若點 E、F 始終分別在邊 DC、CB 上移動記等邊AEF 的外心為點 P 猜想驗證：如圖 2猜想AEF 的外心 P 落在哪一直線上，并加以證明； 拓展運用：如圖 3，當AEF 面積最小時，過點 P 任作一直線分別交邊 DA 于點 M，交邊 DC 的延長 線于點 N，試判斷 DNDM 11 是否為定值若是請求出該定

12、值；若不是請說明理由。 解： （1）證明：如圖 1，分別連接 OE、OF 四邊形 ABCD 是菱形 ACBD，BD 平分ADCAO=DC=BC COD=COB=AOD=90 ADO= 1 2 ADC= 1 2 60 =30 又E、F 分別為 DC、CB 中點 OE= 1 2 CD，OF= 1 2 BC，AO= 1 2 AD OE=OF=OA 點 O 即為AEF 的外心。 （2）猜想：外心 P 一定落在直線 DB 上。 證明：如圖 2，分別連接 PE、PA，過點 P 分別作 PICD 于 I，P JAD 于 J PIE=PJD=90 ，ADC=60 IPJ=360 -PIE-PJD-JDI=12

13、0 點 P 是等邊AEF 的外心，EPA=120 ，PE=PA， IPJ=EPA，IPE=JPA PIEPJA， PI=PJ 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 6 / 8 G N M P 圖3 F E D C B A x y Q PF E D C B Ao 點 P 在ADC 的平分線上，即點 P 落在直線 DB 上。 1 DM 1 DN 為定值 2. 當 AEDC 時AEF 面積最小，此時點 E、F 分別為 DC、CB 中點 連接 BD、AC 交于點 P，由（1）可得點 P 即為AEF 的外心 如圖 3設(shè) MN 交 BC 于點 G 設(shè) DM=x，DN=y(x0y0)，則 CN=y1 BCDA

14、GBPMDPBG=DM=xCG=1x BCDA，GBPNDM CN DN = CG DM ，y1 y = 1x x xy=2xy 1 x 1 y =2，即 1 DM 1 DN =2 4. 如圖，已知ABC 為直角三角形，ACB=90 ，AC=BC，點 A、C 在 x 軸上，點 B 坐標為（3，m） （m 0） ，線段 AB 與 y 軸相交于點 D，以 P（1，0）為頂點的拋物線過點 B、D （1）求點 A 的坐標（用 m 表示） ； （2）求拋物線的解析式； （3）設(shè)點 Q 為拋物線上點 P 至點 B 之間的一動點，連結(jié) PQ 并延長交 BC 于點 E，連結(jié) BQ 并延長交 AC 于點 F，試

15、證明：FC(ACEC)為定值 解： （1）由(3,)Bm可知3OC ，BCm，又ABC 為等腰直角三角形， ACBCm，3OAm，所以點 A 的坐標是（3,0m）. （2）45ODAOAD 3ODOAm，則點D的坐標是（0,3m）. 又拋物線頂點為(1,0)P，且過點B、D， 所以可設(shè)拋物線的解析式為： 2 (1)ya x， 2 2 (3 1) (0 1)3 am am 解得 1 4 a m 拋物線的解析式為 2 21yxx （3）過點Q作QMAC于點M，過點Q作QNBC于點N，設(shè)點Q的坐標是 2 ( ,21)x xx， 則 2 (1)QMCNx，3MCQNx . /QMCE PQMPEC Q

16、MPM ECPC 即 2 (1)1 2 xx EC ，得2(1)ECx 壓軸題專項（壓軸題專項（2 2） 7 / 8 /QNFC BQNBFC QN BN FCBC 即 2 34(1) 4 xx FC ，得 4 1 FC x 又4AC 444 ()42(1)(22)2(1)8 111 FC ACECxxx xxx 即 FC(ACEC)為定值 8. 1. 已知關(guān)于x的二次函數(shù)cbxaxy 2 （0 a的圖像經(jīng)過點 C(0,1)， 且與x軸交于不同的兩點 A、B，點 A 的坐標是（1，0） 。 （1）求c的值； （2）求a的取值范圍； （3）該二次函數(shù)的圖像與直線1 y交于 C、D 兩點，設(shè) A、B、C、D 四點構(gòu)成的四邊形的對角線相 交于點 P，記PCD 的面積為 S1，PAB 的面積為 S2，當10 a時，求證：S1- S2為常數(shù)，并求出 該常數(shù)。 解：(1)將點 C（0，1）代入 2 yaxbxc得 1c （2）由(1)知 2 1yaxbx，將點 A（1，0）代入得10ab ， 1ba 二次函數(shù)為 2 11yaxax 二次函數(shù)為 2 11yaxax的圖像與 x 軸交于不同的兩點