1、第八講留數(shù),1.定義2.分類3.性質(zhì)4.零點與極點的關系,5.1孤立奇點,1.定義,例如,-z=0為孤立奇點,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇點,-z=1為孤立奇點,這說明奇點未必是孤立的。,2.分類,以下將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤?特點：,沒有負冪次項,特點：,只有有限多個負冪次項,特點：,有無窮多個負冪次項,定義設z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù),沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;,只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m級極點;,有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。,3.

2、性質(zhì),若z0為f(z)的可去奇點,若z0為f(z)的m(m1)級極點,例如：,z=1為f(z)的一個三級極點，z=i為f(z)的一級極點。,若z0為f(z)的本性奇點,4.零點與極點的關系,定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成,例如：,定理,事實上，,必要性得證！,充分性略！,例如,定理:,證明,“”若z0為f(z)的m級極點,例,解顯然，z=i是(1+z2)的一級零點,綜合,1.留數(shù)的定義2.留數(shù)定理3.留數(shù)的計算規(guī)則,5.2留數(shù)(Residue),1.留數(shù)的定義,定義設z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項(z-z0)1的系數(shù)c1稱為f(z)在z0的留數(shù)

3、，記作Resf(z),z0或Resf(z0)。,由留數(shù)定義,Resf(z),z0=c1(1),2.留數(shù)定理,定理,證明,由復合閉路定理得：,用2i除上式兩邊得:,得證！,求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點的留數(shù)。,一般求Resf(z),z0是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù)c1的方法,但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。,以下就三類孤立奇點進行討論：,3.留數(shù)的計算規(guī)則,規(guī)則I,規(guī)則II,事實上，由條件,當m=1時，式(5)即為式(4).,規(guī)則III,事實上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留數(shù)定理得：,(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。,如,是f(z)的三級極點。,-該方法較規(guī)則II更簡單！,(2)由規(guī)則II的推導過程知，在使用規(guī)則II時，可將m取得比實際級數(shù)高，這可