1、數(shù)的整除,整除和除盡：,1202=60,1212=60.5,上面這兩個除法算式的共同點是：商到了某一位時，計算就結(jié)束了，,人們把這種情況叫做“除盡”了；,上面這兩個除法算式的不同點是：第一個算式的商是整數(shù)，第二個算式的商帶有小數(shù)，,所以，第一個算式叫做能夠“整除”；,第二個算式卻只能夠叫做“除盡”；,除此以外還有什么情況的除法呢？,1207=17.142857142857,10017=5.8823529411764,上面這兩個算式叫做“除不盡”。,數(shù)的整除性的基本性質(zhì)：【要記住】1、如果兩個【或者多個】數(shù)，都能夠被某個數(shù)a整除，那么，它們的和或者差，也一定能夠被a整除；,例如：1004=25,

2、644=16,(10064)4=41,(10064)4=9,2、如果兩個【或者多個】數(shù)，其中有一個不能夠被某個數(shù)a整除，那么，它們的和或者差，也一定不能夠被a整除；,例如：1004=25,624=15.5,(10062)4=40.5,(10064)4=9.5,3、如果兩個【或者多個】數(shù)，其中有兩個【或者好幾個】不能夠被某個數(shù)a整除，那么，它們的和或者差的整除性，無法確定；,例如：1024=25.5,624=15.5,1644=41,404=10,例如：1034=25.75,654=16.25,(10365)4=42,(10365)4=9.5,4、如果一個數(shù)能夠被a整除，那么，這個數(shù)與另外一個或

3、者幾個數(shù)的乘積，也一定能夠被a整除。,例如：1044=26,(1043)4=78,(10435)4=390,5、如果一個數(shù)能夠被a整除，那么，這個數(shù)除以另外一個數(shù)所得的商，不一定能夠被a整除。,例如：1004=25,(1002)4=12.5,(1005)4=5,總而言之：加減關(guān)系，都能整除，才能整除；相乘關(guān)系，一個能整除就能整除。,6、如果一個數(shù)能夠被a整除，也能夠被b整除，且a、b不能同時被除1以外的自然數(shù)整除【叫做“互素”】，那么這個數(shù)就能夠被ab的積整除。例如：24既能夠被3整除，也能夠被4整除，且3和4互素，所以它就能夠被12整除；24雖然既能夠被2整除，也能夠被8整除，但是它不能夠被

4、16整除【因為2和8不互素，都能夠被2整除】；,1、能夠被2或者5整除的數(shù)的特征：,如果一個數(shù)的個位數(shù)是0、2、4、6、8中的一個，這個數(shù)就能夠被2整除。,如果一個數(shù)的個位數(shù)是0或者5，這個數(shù)就能夠被5整除。,為什么不需要考慮除個位數(shù)以外的高位數(shù)？,因為：比如1238=1230+8，因為1230肯定能夠被2整除，所以根據(jù)前面的性質(zhì)1，可知，只要個位數(shù)的8能夠被2整除，1238就肯定能夠被2整除。,因為：比如1238=1230+8，因為1230肯定能夠被5整除，所以根據(jù)前面的性質(zhì)2，可知，只要個位數(shù)的8不能夠被5整除，1238就肯定不能夠被5整除。,2、能夠被3或者9整除的數(shù)的特征：,如果一個數(shù)

5、的各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就能夠被3整除。【可以一直求數(shù)字之和，到成為一位數(shù)】,這是為什么？,如果一個數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這個數(shù)就能夠被9整除?！究梢砸恢鼻髷?shù)字之和，到成為一位數(shù)】,原理比較難懂，要注意理解并思考。,1、各位數(shù)字都是9的數(shù)，一定能夠被3或者9整除；,2、個位數(shù)字是0的數(shù)，可以進行以下變形：,10=(9+1)，70=7(9+1)=79+7,100=(99+1)，500=5(99+1)=599+5,1000=(999+1)，2000=2(999+1)=2999+2,10000=(9999+1)，40000=4(9999+1)=49999+4,現(xiàn)在我們?nèi)我鈱懸粋€數(shù)：,比

6、如：4239,=4000+200+30+9,=4(999+1)+2(99+1)+3(9+1)+9,=4999+4+299+2+39+3+9,=4999+299+39+4+2+3+9,一定能夠被3或者9整除,如果也能夠被3或者9整除,則：,就也能夠被3或者9整除,如果不能夠被3或者9整除,就不能夠被3或者9整除,各位數(shù)字之和！,練習(xí)：從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。,要能同時被2、5整除，個位數(shù)只能是0；,個位數(shù)是0的三位數(shù)可以是：250，520，270，720，570，750；,其中能被3整除的有：,從小到大排列：270，570，

7、720，750；,練習(xí)：個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？,個位數(shù)是5，且能被9整除，百位和十位的和應(yīng)該是4或13；,可以是405、315、225、135；,也可以是945、495、855、585、765、675；,一共10個。,練習(xí)：一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？,9,9,1,2,3、能夠被4或者25整除的數(shù)的特征：,如果一個數(shù)的末兩位數(shù)【十位和個位】是4的倍數(shù)【包括00】，這個數(shù)就能夠被4整除。,這是為什么？,這個比較好懂。,1、因為425=100，所以100的倍數(shù)一定能夠被4和25

8、整除；,2、所以一個數(shù)的百位以上【包括百位】的部分，一定能夠被4和25整除；,如果一個數(shù)的末兩位數(shù)【十位和個位】是25的倍數(shù)【包括00】，這個數(shù)就能夠被25整除。,3、所以一個數(shù)能否被4和25整除，就決定于這個數(shù)的末兩位能否被4和25整除；,4、能夠被8整除的數(shù)的特征：,如果一個數(shù)的末三位數(shù)【百位、十位和個位】是8的倍數(shù)【包括000】，這個數(shù)就能夠被8整除。,這個道理也比較好懂。,1、因為8125=1000，所以1000的倍數(shù)一定能夠被8整除；,2、所以一個數(shù)的千位【包括千位】以上的部分，一定能夠被8整除；,3、所以一個數(shù)能否被8整除，就決定于這個數(shù)的末三位能否被8整除；,要考察一個三位數(shù)能不

9、能被8整除，可以把此數(shù)連續(xù)用2除3次，如果能整除，那么它就能夠被8整除，否則，就不能被8整除。因為：A8A(222)A222可以先只看個位數(shù)；不行再看十位數(shù)；再不行，再看百位數(shù)。也可以用短除法：,312,2,156,2,78,2,39,*能夠被8整除的部分三位數(shù)：【供查閱，不需要記住】813104；814112；815120；816128；817136；818144；819152；820160；821168；822176；823184；824192；825200；826208；827216；828224；829232；830240；831248；832256；833264；834272；835

10、280；836288；837296；838304；839312；840320；841328；842336；843344；844352；845360；846368；847376；848384；849392；850400；851408；852416；853424；854432；855440；856448；857456；858464；859472；860480；,5、能夠被7整除的數(shù)的特征：,判斷一個數(shù)能否被7整除，可以用“割減法”。,下面舉例介紹“割減法”：,比如：判斷6692能否被7整除。,寫出這個數(shù)：6692,從個位開始：,割掉末位數(shù)字,在它的前一位減去割去數(shù)字的2倍：,4,665,再割掉末位

11、數(shù)字,在它的前一位減去割去數(shù)字的2倍：,10,56,到能夠看出剩余數(shù)字能否被7整除時為止。,如果剩余數(shù)字能被7整除，則原來的數(shù)字也能被7整除。,如果剩余數(shù)字不能被7整除，則原來的數(shù)字也不能被7整除。,練習(xí)：判斷下列各數(shù)能否被7整除,189,584,5166,2632,13216,這又是為什么呢？,讓我們看一看“割減法”的實質(zhì)：,6692,4,665,10,56,6692,42,6650,1050,5600,=221=237,=5021=5037,原來，割掉末位數(shù)字，再在它的前一位減去割去數(shù)字的2倍，實際上就是從原數(shù)中減去了割掉數(shù)字的21倍。也就是說減去的這部分肯定是7的倍數(shù)。,所以剩余部分如果

12、是7的倍數(shù)，則原數(shù)能夠被7整除。,順便說一句，如果割減以后，剩余部分是21的倍數(shù)，說明原來的數(shù)可以被7整除，也可以被21整除，當(dāng)然也可以被3整除。,6、能夠被11整除的數(shù)的特征：,判斷一個數(shù)能否被11整除，也可以用“割減法”。,下面舉例介紹“割減法”：,比如：判斷9416能否被11整除。,寫出這個數(shù)：9416,從個位開始：,割掉末位數(shù)字,在它的前一位減去割去的數(shù)字：,6,935,再割掉末位數(shù)字,在它的前一位減去割去的數(shù)字：,5,88,到能夠看出剩余數(shù)字能否被11整除時為止。,如果剩余數(shù)字能被11整除，則原來的數(shù)字也能被11整除。,如果剩余數(shù)字不能被11整除，則原來的數(shù)字也不能被11整除。,可以

13、看出，割減法的實質(zhì)是減去所割去數(shù)字的11倍，所以有以上結(jié)論。,判斷一個數(shù)能否被11整除，還有一種“奇偶位差法”：,比如：判斷9416能否被11整除。,寫出這個數(shù)：9416,從個位開始，把個位、百位、萬位等奇位數(shù)字加起來；,10,10,再把十位、千位、十萬位等偶位數(shù)字加起來；,0,再把上面的兩個和相減；,如果差是11的倍數(shù)【包括0】，則原數(shù)能夠被11整除；,練習(xí)：判斷下列各數(shù)能否被11整除,198,584,9196,2633,13266,“奇偶位差法”的原理比較難懂，試試看吧：,1、先看一個事實：,911不能整除；,9911=9能整除；,99911不能整除；,999911=909能整除；,999

14、9911不能整除；,99999911=90909能整除；,奇數(shù)個911不能整除；,偶數(shù)個911能整除；,2、再看一個事實：,111不能整除；,1111=1能整除；,10111不能整除；,100111=91能整除；,1000111不能整除；,10000111=9091能整除；,奇數(shù)位11不能整除；,偶數(shù)位11能整除；,看看“奇偶位差法”的巧妙之處：,比如：判斷9416能否被11整除。,9416=9000+400+10+6,=9(10011)+4(99+1)+1(111)+6,=910019+499+4+1111+6,=91001+499+1119+41+6,肯定是11的倍數(shù),如果也是11的倍數(shù),

15、則原數(shù)肯定是11的倍數(shù)。,練習(xí)：用19九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。,如果不考慮能夠被11整除，則最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321；,這個數(shù)的奇偶位差：(97531)(8642)5；,可見，987654321不能被11整除；,為了滿足題意，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3(偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3)，就可以了；,(97534)(8612)11；,答案為：987652413。,7、能夠被13整除的數(shù)的特征：,判斷一個數(shù)能否被13整除，可以用“割加法”。,下面舉例介紹“割加法”：,比如：判斷22971能否被13整除。,寫出這個數(shù)：22971,從

16、個位開始：,割掉末位數(shù)字,在它的前一位加上割去數(shù)字的4倍：,4,+,2301,再割掉末位數(shù)字,4,+,234,在它的前一位加上割去數(shù)字的4倍：,再割掉末位數(shù)字,在它的前一位加上割去數(shù)字的4倍：,16,+,39,到能夠看出剩余數(shù)字能否被13整除時為止。,如果剩余數(shù)字能被13整除，則原來的數(shù)字也能被13整除。,如果剩余數(shù)字不能被13整除，則原來的數(shù)字也不能被13整除。,練習(xí)：判斷下列各數(shù)能否被13整除,76336111021112954883,這又是為什么呢？讓我們仔細觀察一下“割加法”的過程：,寫出這個數(shù)：22971,4,+,2301,4,+,234,16,+,39,這一步是從原數(shù)中減去1；,這

17、一步是再加上40；,總結(jié)果是把原數(shù)39，成為23010；,這一步是從23010中減去10；,這一步是再加上400；,總結(jié)果是把23010390，成為23400；,這一步是從23400中減去400；,這一步是再加上16000；,總結(jié)果是把2340015600，成為39000；,這些數(shù)都能夠被13整除：,最終和,加數(shù)1,加數(shù)2,加數(shù)3,根據(jù)數(shù)的整除性性質(zhì)1可以推出：如果各個加數(shù)與和都能夠被13整除，則被加數(shù)就一定能夠被13整除；如果和不能被13整除，則說明被加數(shù)也不能被13整除。,所以原數(shù)能夠被13整除。,8、能夠被17整除的數(shù)的特征：,判斷一個數(shù)能否被17整除，也可以用“割減法”。,下面舉例介紹

18、“割減法”：,比如：判斷6630能否被17整除。,寫出這個數(shù)：6630,從個位開始：,割掉末位數(shù)字,在它的前一位減去割去數(shù)字的5倍：,0,663,再割掉末位數(shù)字,在它的前一位減去割去數(shù)字的5倍：,15,51,到能夠看出剩余數(shù)字能否被17整除時為止。,如果剩余數(shù)字能被17整除，則原來的數(shù)字也能被17整除。,如果剩余數(shù)字不能被17整除，則原來的數(shù)字也不能被17整除。,為什么？,9、能夠被19整除的數(shù)的特征：,判斷一個數(shù)能否被19整除，可以用“割加法”。,下面舉例介紹“割加法”：,比如：判斷12939能否被19整除。,寫出這個數(shù)：12939,從個位開始：,割掉末位數(shù)字,在它的前一位加上割去數(shù)字的2倍

19、：,18,+,1311,再割掉末位數(shù)字,2,+,133,在它的前一位加上割去數(shù)字的2倍：,再割掉末位數(shù)字,在它的前一位加上割去數(shù)字的2倍：,6,+,19,到能夠看出剩余數(shù)字能否被19整除時為止。,如果剩余數(shù)字能被19整除，則原來的數(shù)字也能被19整除。,如果剩余數(shù)字不能被19整除，則原來的數(shù)字也不能被19整除。,練習(xí)：判斷下列各數(shù)能否被19整除,16644120461210411172,為什么？,“割尾法”判斷數(shù)的整除性小結(jié),“割尾法”判斷數(shù)的整除性，都是利用了數(shù)的整除性性質(zhì)1：“如果兩個【或者多個】數(shù)，都能夠被某個數(shù)a整除那么，它們的和或者差，也一定能夠被a整除?！本唧w方法是把原數(shù)加上或者減去一個已知能夠被該除數(shù)整除的一個數(shù)【是該除數(shù)的若干倍】，由于過程中尾位的0不寫出，所以數(shù)字會越來越簡單，直到能夠看出最后的數(shù)字能不能被該除數(shù)整除為止，得出結(jié)論。其中，割減法是把該除數(shù)擴大若干倍，成為10a1的形式，方法就是去掉末位數(shù)，從剩下的數(shù)中再減去末位數(shù)的a倍【簡稱為割1減a】；如果遇到過程中出現(xiàn)減數(shù)大于被減數(shù)時，可以倒過來減。也可以得出負數(shù)，考慮其絕對值。,其中，割加法是把該除數(shù)擴大若干倍，成為10a9的形式，方法就是去掉末位數(shù)，把剩下的數(shù)中再加上末位數(shù)的(a1)倍【簡稱為割1加(a1)】；,常用割加、割減法的小結(jié),、7：割1減2；【7321201】割1加5；【7749501】、11