1、-1-,第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值,多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的最值條件極值,-2-,一、多元函數(shù)的極值,定義:若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).,例如:,在點(diǎn)(0,0)有極小值;,在點(diǎn)(0,0)有極大值;,在點(diǎn)(0,0)無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,的某鄰域內(nèi)有,-3-,說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).,例如,定理1(必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值,取得極值,取得極值,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.,且在該點(diǎn)取得極值,則有,存在,故,-4-,時(shí),具有極值,定理2

2、(充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,令,則:1)當(dāng),A0時(shí)取極小值.,2)當(dāng),3)當(dāng),時(shí),沒有極值.,時(shí),不能確定,需另行討論.,若函數(shù),-5-,例1.,求函數(shù),解:第一步求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判別.,在點(diǎn)(1,0)處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),-6-,在點(diǎn)(3,0)處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2)處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2)處,不是極值;,-7-,例2.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解:,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能為,因此z(0,0)不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在點(diǎn)(0,0),并且在(

3、0,0)有,顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),-8-,二多元函數(shù)的最值,函數(shù)f在閉域上連續(xù),函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點(diǎn),區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別,在區(qū)域函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值,為最小值,(大),(大),依據(jù),當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有唯一的一個(gè)駐點(diǎn)P時(shí)，,則駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。,經(jīng)判別得,-9-,解,如圖,-10-,-11-,例4.,解:,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2,根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).,即當(dāng)長、寬均為,高為,時(shí),

4、水箱所用材料最省.,箱,設(shè)水箱長,寬分別為x,ym,則高為,-12-,例5.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成,解:設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積,一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,-13-,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有,一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,-14-,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條件極值:,條件極值的求法:,方法1代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對(duì)自變量只有定義域限制,對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如,-15-,方法2拉格朗日乘數(shù)法.,如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù),

5、可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,-16-,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).,利用拉格,極值點(diǎn)必滿足,則極值點(diǎn)滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,因此,函數(shù),在條件,下的極值點(diǎn),一定是函數(shù),的駐點(diǎn)。,-17-,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn).,例如,求函數(shù),下的極值.,在條件,-18-,例6.,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,則問題為求x,y,令,解方程組,解:,下水箱表面積,最小.,z使在條件,水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？,的長方體開口水箱,試問,設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,-19-,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.,因此,當(dāng)高為,思考:,1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?,提示:利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià),最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等.,-20-,例7,求原點(diǎn)到曲面,的最短距離。,解,問題可以轉(zhuǎn)化