1、第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法定義 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域內(nèi)的任一，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點定理1 （必要條件）設(shè)函數(shù)在點處可導，且在處取得極值，則定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導（1）若當時，而當時，則在處取得極大值；（2）若當時，而當時，則在處取得極小值；（3）若當時，的符號保持不變，則在處不取得極值例1 求函數(shù)的極值解 在內(nèi)可導，除外處處可導，且解方程得函數(shù)的駐點易知為函數(shù)的不可導點在內(nèi)，；在，故是函數(shù)的一個

2、極大值點又因在內(nèi)，故是函數(shù)的一個極小值點極大值為，極小值為定理2（第二充分條件） 設(shè)函數(shù)在處具有二階導數(shù)且，則（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值例2 求函數(shù)的極值解 解方程，得駐點因，故在處取得極小值因，故用定理3無法判別當取左側(cè)鄰近的值時，；當取右側(cè)鄰近的值時，函數(shù)在處不取極值同理，在處不取極值二、最大值最小值問題求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值的方法如下：（1）求出在內(nèi)的駐點及不可導點；（2）計算在上述駐點、不可導點處的函數(shù)值及，；（3）比較（2）中諸函數(shù)值的大小，其中最大的就是在區(qū)間上的最大值，最小的就是在區(qū)間上的最小值例3 求函數(shù)在上的最大值與最小值解 在內(nèi)

3、，的駐點為；不可導點為因為，所以在上的最大值為，最小值為例4 鐵路上段的距離為100km工廠距處20km，垂直于（如圖所示）為了運輸需要，要在線上選定一點向工廠修筑一條公路已知鐵路每千米貨運的運費與公路上每千米貨運的運費之比為為了使貨物從供應(yīng)站運到工廠的運費最省，問點應(yīng)選在何處？解 設(shè)km，則km，設(shè)鐵路上每千米的運費為，公路上每千米為（為某個正數(shù)），從點到點需要的需要的總運費為，則該函數(shù)的導數(shù)為方程的解為因為，所以該函數(shù)在區(qū)間上的最小值為因此當km時，總運費最省習題3-5 1.求下列函數(shù)的極值：（1）；解 令得駐點由知為極大值，由知為極小值（3）；解 令得駐點由知為極大值由知為極大值由知為極

4、小值（5）；解 令得駐點當時，因此函數(shù)在上單調(diào)增加；當時，因此函數(shù)在上單調(diào)減少，從而為極大值6.求下列函數(shù)的最大值、最小值：（1）；解 函數(shù)的導數(shù)為令得駐點比較，得函數(shù)的最大值為，最小值為（2）；解 函數(shù)的導數(shù)為令得駐點（舍去），比較，得函數(shù)的最大值為，最小值為（3）解 函數(shù)的導數(shù)為令，得駐點比較，得函數(shù)的最大值為最小值為10.某車間靠墻要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20m長的墻壁問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？解 如圖，設(shè)這間小屋的的寬為，長為，則小屋的面積為已知，即，故令，得駐點由知為極大值點，又駐點唯一，故極大值點就是最大值點，即當寬為m，長為m時，這間小屋的面積最大12.某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓（如圖所示）截面的面積為問底寬為多少時才能使截面的周長最小，從而使建造時所用的材料最省？解 設(shè)截面的周長為，已知及，