1、第一節(jié)平面向量和線性運(yùn)算的概念考試大綱很清楚。1.了解向量的實(shí)際背景。2.理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義。3.理解向量的幾何表示。4.掌握向量加減運(yùn)算，理解其幾何意義。5.掌握向量乘法運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線性的含義。6.理解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)和幾何意義。要點(diǎn)排序1.向量的相關(guān)概念名字定義評(píng)論矢量數(shù)量與大小和方向；向量的大小稱為其長(zhǎng)度(或模數(shù))例如，一個(gè)，零矢量長(zhǎng)度等于零的向量；它的方向是不確定的。記為0單位矢量給定一個(gè)非零向量A，一個(gè)與A方向相同且以1為模的向量，稱為向量A的單位向量，可以寫(xiě)成a0。a0=共線(平行)向量如果矢量的基線相互平行或重合，則稱其為共線或平行。向量

2、a和b是平行的，表示為a b。等向量具有相同方向和長(zhǎng)度的有向線段代表相同的向量或相同的向量。例如=a反向向量一個(gè)等長(zhǎng)的反向量稱為反向量注釋為-a2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義定律(或幾何意義)運(yùn)輸法則添加求兩個(gè)向量之和的運(yùn)算(1)交換法：a b=b a(2)結(jié)合律：(a b) c=a (b c)。減法求A和B-B的相反向量之和的運(yùn)算稱為A和B之間的差三角形規(guī)則a-b=a+(-b)數(shù)字乘法實(shí)數(shù)與向量A乘積的運(yùn)算(1)|a |=| | a |；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與A的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與A的方向相反；當(dāng)=0時(shí)， a=0(a)=()a；(+)a=a+a；(a+b)=a+b3.平行向量的基

3、本定理如果a= b，ab；相反，如果a b和b b，則一定有唯一的實(shí)數(shù)，使得a= b。提問(wèn)和詢問(wèn)：當(dāng)a b，b c時(shí)，必須有a c嗎？提示：不一定。當(dāng)b存在a c時(shí)，當(dāng)b=a時(shí)，c可以是任何矢量，不一定是共線的。小題大做1.如果O，E，F(xiàn)是任何三個(gè)不共線的點(diǎn)，那么下面是正確的()A.=+ B.=- C.=-+ D.=-2.如圖所示，e1和e2是相互垂直的單位矢量，那么矢量A-B可以表示為()a3 E2-E1 B- 2e 1-4e 2 c . E1-3e 2d . 3e 1-E23.給出以下命題：(1)向量的長(zhǎng)度等于向量的長(zhǎng)度，方向相反；+=0；(3)如果兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，它們的終點(diǎn)必須相

4、同；和是共線矢量，那么a、b、c、d是共線的。不正確命題的數(shù)量是()a.2b.3 c.4 d.5。4.如果A和B是兩個(gè)不共線的向量，并且向量A B與2A-B共線，則=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。5.在ABCD，=a，=b，=3，m是BC的中點(diǎn)，然后=_ _ _ _ _ _ _。(用a，b表示)測(cè)試點(diǎn)平面向量的基本概念(基本測(cè)試點(diǎn)可以獨(dú)立訓(xùn)練)方法鏈接(1)準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，尤其是理解等向量和零向量的概念。充分利用反例進(jìn)行否定也是一種有效的方法。(2)幾個(gè)重要結(jié)論(1)向量等式是可傳遞的，非零向量并行度是可傳遞的；(2)向量可以移位，并且移位的向量等于原始向

5、量。問(wèn)題小組培訓(xùn)1.給出以下命題：(1)如果| a |=| b |，a=b；(2)如果A，B，C，D是不共線的四個(gè)點(diǎn)，則=是ABCD是平行四邊形的一個(gè)充要條件；(3)如果a=b，b=c，a=c；a=b的充要條件是| a |=| b |和a b。正確命題的序號(hào)是()A.bcd2.下列命題是正確的()a和b共線，b和c共線，那么a和c也共線。任何兩個(gè)相等非零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.如果矢量a和b不共線，那么a和b都是非零矢量。D.具有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行測(cè)試點(diǎn)兩個(gè)向量的線性運(yùn)算(重點(diǎn)測(cè)試點(diǎn)師生研究)【例1】(1)(2014年新課程標(biāo)準(zhǔn)第一冊(cè))分別將D、E、F設(shè)為ABC的

6、三個(gè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，然后=()A.學(xué)士學(xué)位(2)如果在圖中，已知AB是圓o的直徑，點(diǎn)c和d是半圓弧的兩個(gè)三分點(diǎn)，=a，=b，然后=()a . a-b . a-b . c . a+b . d . a+b著名教師說(shuō)“法律”向量線性運(yùn)算的求解策略；關(guān)鍵問(wèn)題淺析解決方案向量的分解和合成利用向量加法的平行四邊形法則、三角形法則或向量減法的三角形法則，可以對(duì)向量進(jìn)行分解和合成，如=-等。未知向量由已知向量表示結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，利用矢量加減算法進(jìn)行矢量分解和合成運(yùn)算。但是，要有目標(biāo)感，逐步轉(zhuǎn)化為已知向量，最終達(dá)到目標(biāo)。查找參數(shù)的值結(jié)合圖形，利用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則或向量減法的三角

7、形法則進(jìn)行向量分解，然后利用向量的等式確定參數(shù)值。提示：(1)解決平面向量線性運(yùn)算相關(guān)問(wèn)題的一般原則是數(shù)與形的結(jié)合，即向量運(yùn)算是通過(guò)圖形與向量加減規(guī)則的結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)的。(2)兩個(gè)結(jié)論：P為AB段的中點(diǎn)=()； G是ABC=0的重心。跟蹤培訓(xùn)(1)如圖所示，在平方ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的三分之一，所以它等于()A.-b+c+d-(2)(2016鄭州模擬)已知ABC和點(diǎn)m滿足=0。如果有一個(gè)實(shí)數(shù)m使得=m成立，那么m=()a2 b . 3 c . 4d . 5試驗(yàn)場(chǎng)地3的共線矢量定理及其應(yīng)用(深化試驗(yàn)場(chǎng)地綜合開(kāi)挖)一個(gè)問(wèn)題改變示例2假設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e 2不共線。如果=E1 E

8、2，=2E1-3E2，=3E1-KE2，且A，C與F共線，則計(jì)算K值.散度1在這個(gè)例子的條件下，試著確定實(shí)數(shù)K，使KE1 E2和E1 KE2共線。散度2在本例的條件下，如果=E1-E2，=3E1 2E2，=-8E1-2E2，則驗(yàn)證：A、C、D共線。問(wèn)題分類(lèi)的一般方法(1)共線矢量定理及其應(yīng)用：(1)矢量共線性可用共線矢量定理證明，參數(shù)值也可用矢量共線性得到；(2)如果A和B不共線， A B=0的充要條件是=0。這一結(jié)論是解決參數(shù)問(wèn)題的重要依據(jù)。(2)如果=，a，b，c共線。(3)如果= ，a，b，c共線的充要條件是 =1。容易出錯(cuò)的警告6矢量共線性及其方向之間的不清楚的關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)誤一個(gè)典型的例

9、子(鄭州模擬2016)知道向量a和b不共線，c= a b，d=a (2-1) b。如果c和d在同一個(gè)方向，實(shí)數(shù)的值是_ _ _ _ _ _。易錯(cuò)分析在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)共線性、兩個(gè)向量的同向和反向的概念理解不清，以及它們之間的關(guān)系混亂，導(dǎo)致了錯(cuò)誤的解決方案：有兩種解決方案。提醒：兩個(gè)矢量共線，這意味著兩個(gè)矢量的方向相同或相反。它們也被稱為平行向量。因此，共線性包括兩種情況：在相同方向上共線或在相反方向上共線。解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意區(qū)分三者。通常，如果A= B，那么A和B是共線的；當(dāng) 0時(shí)，a和b方向相同；當(dāng) 0時(shí)，a和b相反。設(shè)D，E和F是ABC的三個(gè)邊BC，CA和AB上的點(diǎn)，并且=2，=2

10、，=2，然后和()A.反平行b .共平行c .垂直d .既不平行也不垂直課堂小結(jié)方法和技術(shù)1.向量的線性運(yùn)算必須滿足三角形法則和平行四邊形法則。做這道題時(shí)，我們應(yīng)該注意三角形法則和平行四邊形法則的要素。矢量加法三角形法則的要素是“端到端，指向末端”；矢量減法的三角形法則元素是“起點(diǎn)重合，指向簡(jiǎn)化矢量”；平行四邊形法則的要素是“起點(diǎn)重合”。2.矢量共線性可以用來(lái)證明線段是平行的或三點(diǎn)共線的。如果和AB與CD不共線，ABCD；如果,點(diǎn)a，b和c是共線的。錯(cuò)誤和預(yù)防1.要解決向量的概念問(wèn)題，需要注意兩點(diǎn)：一是向量的大小，二是向量的方向課時(shí)活頁(yè)作業(yè)(24)基礎(chǔ)培訓(xùn)股1.在四邊形中，ABCD，ab=3d

11、c，e是BC的中點(diǎn)，等于()A.+b+c+d+2.假設(shè)A和B是非零向量。在以下四個(gè)條件中，要建立=的充分條件是()A.| a |=| b |和ab . a=-b . c . ab . d . a=2b3.假設(shè)矢量A和B不共線，C=Ka B (K R)，D=A-B，如果C D，則()A.k=1，c和d在同一方向，b.k=1，c和d相反，c.k=-1，c和d在同一方向，d.k=-1，c和d相反。4.給定向量A，B，和=A 2B，=-5A 6B，=7A-2B，那么必須共線的三個(gè)點(diǎn)是()A.A、B、D、B、C、B、C、D、A、C、D5.(2016年福州質(zhì)檢)在ABC，=2，=A，=B，=C中，以下等式

12、成立()交流電=2 B-交流電=2a-交流電=-直流電=-6.在平行四邊形ABCD中，=e1，=e2，=，=，然后=_ _ _ _ _ _ _。(由E1代表，E2)7.假設(shè)D、E和F分別是ABC的邊BC、CA和AB的中點(diǎn)，并且=A，=B，則給出以下命題：=A-B；=a+b。=-a+b；=0。正確命題的序號(hào)是_ _ _ _ _ _。8.在ABC中，已知d是AB邊上的一個(gè)點(diǎn)。if=2，=，=_ _ _ _ _ _。9.在ABC中，d和e分別是BC，交流側(cè)的中點(diǎn)，g是BE上的點(diǎn)，GB=2ge，set=a，=b，試驗(yàn)a，b表示，10.假設(shè)A和B是兩個(gè)不共線的非零向量。(1)如果=2a-b，=3a b，

13、=a-3b，驗(yàn)證：a、b、c共線。(2)如果8kb與ka 2b共線，k的值是實(shí)際的。(3)如果=a b，=2a-3b，=2a-kb，并且a，c，d共線，則求出k的值。能力促進(jìn)股11.(山師大附中2016模擬)給定平面上的一個(gè)點(diǎn)P和ABC，如果=，點(diǎn)P和ABC的位置關(guān)系為()A.線段AB上的點(diǎn)p。線段BC上的點(diǎn)p。線段AC上的點(diǎn)p。三角形ABC外的點(diǎn)p12.(2016年“江南十?！甭?lián)考)如圖所示，在ABC中，a=60，a的平分線與BC相交于d，如果ab=4且= ( r)，AD的長(zhǎng)度為()a2 b . 3 c . 4d . 513.(2016年大連雙基測(cè)試)在ABC內(nèi)設(shè)置0，并有2 3=，則ABC

14、面積與AOC面積之比(a.3b.c.2d)14.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)o是BC的中點(diǎn)。穿過(guò)點(diǎn)o的直線分別在不同的兩點(diǎn)m和n處與直線AB和AC相交。如果=m，=n，m n的值是_ _ _ _ _ _。15.如圖所示，在ABC中，d和f分別是BC和AC的中點(diǎn)，=，=a，=b(1)向量由a和B表示、(2)驗(yàn)證：B、E和F共線。第二節(jié)平面向量和坐標(biāo)表示的基本定理考試大綱很清楚。1.理解平面向量的基本定理及其意義。2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。3.將使用坐標(biāo)來(lái)表示平面向量的加法、減法和乘法。4.理解用坐標(biāo)表示的平面矢量共線的條件。要點(diǎn)排序1.平面向量的基本定理：如果e1和e2是平面上的兩個(gè)非

15、平行向量，那么在該平面上的任何向量A中都有一對(duì)唯一的實(shí)數(shù)a1和a2，使得A=A1e1 A2e2。其中，非共線向量E1和E2被稱為表示該平面中所有向量的一組基，并被表示為e1，e2。A1E1 A2E2被稱為向量A相對(duì)于堿基e1，E2的分解公式。詢問(wèn)和詢問(wèn)：假設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1、e2是平面中所有向量的一組基，平面向量A、B可以被表示嗎，那么A、B必須被用作平面中所有向量的一組基嗎？為什么？提示不一定。由非共線向量e1和e2表示的向量A和B可以共線，也可以不共線。當(dāng)A和B共線時(shí)，它們不能，例如，A=E1 E2，B=2E1 3E2。2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量和向量模設(shè)A=

16、(X1，y1)和B=(X2，y2)，然后A B=(X1 X2，Y1 Y2)，A-B=(X1-X2，Y1-Y2)， A=( X1，y1)，| A |=。(2)矢量坐標(biāo)的求解(1)向量的坐標(biāo)等于向量末端的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)如果設(shè)置了A(x1，y1)和B(x2，y2)，則=(X2-X1，Y2-Y1)，| |=。3.共線平面向量的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中babx1y 2-x2y 1=0。小題大做1.下列結(jié)論的正確數(shù)目是()(1)平面上的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基。(2)在ABC中，矢量之間的夾角為ABC。(3)同一載體在不同底物下的表現(xiàn)是相同的。(4)如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a b的充要條件可以表示為。(5)如果A和B不共線，且 1a 1b= 2a 2b， 1= 2， 1= 2。()A.0B.1C.4D.52.(新課程標(biāo)準(zhǔn)第一卷，2015)給定點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量=(-4，-3)，向量=()A.(-7，-4) B.(7，4) C.(-1，4) D.(1，4)3.(2016