1、二項式定理1.二項式定理：.2.二項式定理的說明：（1）的二項展開式是嚴(yán)格按照a的降次冪（指數(shù)從逐項減到）、b的升次冪（數(shù)從逐項減到）排列的，其順序不能更改，且各項關(guān)于a、b的指數(shù)之和等于。所以與的二項展開式是不同的。（3）二項式項數(shù)共有項，是關(guān)于與的齊次多項式。（4）二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)為，.（5）二項式通項：展開式中的第項記作，共有項。（6）正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。如：的第2項的二次項系數(shù)為，而第2項的系數(shù)為.（7）常見二項式：令；令.3.二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等：即.（2

2、）二項式系數(shù)和：令，則二項式系數(shù)的和為：，變形有：.（3）；（4）求奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：已知，則奇數(shù)項的系數(shù)和：=_；偶數(shù)項的系數(shù)和：=_；（5）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的指數(shù)是偶數(shù)時，則中間項為第項的二項式系數(shù)取得最大值；如果二項式的指數(shù)是奇數(shù)時，則中間項有兩項，分別為第項和第項，對應(yīng)的二項式系數(shù)，同時取得最大值。，.（6）系數(shù)的最大、最小項的求法：求展開式中最大、最小項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有：且；如果設(shè)第項系數(shù)最小，應(yīng)有，從而解出的范圍。4.怎么求展開式中含的系數(shù)，其中且？解：把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項

3、為，故在中含的項為：，其系數(shù)為.5.近似計算的處理方法：當(dāng)?shù)慕^對值很小（趨近于0）且不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽略不計。類似地，有.但使用這兩個公式時應(yīng)注意的條件，以及對計算精確度的要求。若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：.二項式定理?？碱}型題型一：二項式定理的逆用題型二：求二項展開式的特定項（1）求單個二項式指定冪的系數(shù)（2）求多個二項式乘積的展開式指定冪的系數(shù)（3）利用通項公式求常數(shù)項（4）求有理項（5）求中間項題型三：求二項式系數(shù)或展開式系數(shù)最大或最小項（1）一般的系數(shù)最大或最小問題（2）特殊的系數(shù)最大或最小問題（3）系數(shù)絕對值最大的項（4）二項式系

4、數(shù)最大的項題型四：賦值法求值題型五：整除性題型六：證明不等式題型七：利用二項式定理求近似值例1.已知C2C22C2nC729，則CCC的值等于_例2.二項式（x+32）n（nN*）展開式中只有一項的系數(shù)為有理數(shù)，則n可能取值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9例3.若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項。例4.已知等式x4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，則b1，b2，b3，b4的值分別為_例5.若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是_例6.證明：（1） （2）當(dāng)且1，求證：例7.（2002全國）據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議政府工作

5、報告：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長7.3%”，如果“十五”期間（2001年2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（ ）A.億元B.億元C.億元D.億元變式訓(xùn)練：1.設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，所有二項式系數(shù)的和為，若，則等于_2.在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）2007的展開式中，x3的系數(shù)等于_3.把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展開成關(guān)于x的多項式，其各項系數(shù)和為an，則等于_4.（2016浦東新區(qū)一模）二項式的展開式前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則_5.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x

6、10.若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是_6.若5.在n的展開式中，所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為1 024，則中間項系數(shù)是_7.在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展開式中，含x4的項的系數(shù)是_8.n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則n等于_9.已知，若的展開式中各項系數(shù)的和為1458，則該展開式中項的系數(shù)為_10.(2011上海十三校二模)在二項式()n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且AB72，則n_11.（2015閘北區(qū)二模）若二項式展開式中只有第四項的系數(shù)最大，則這個展開式中任取一項為有理項的概率是_12.（20

7、10遼寧）的展開式中的常數(shù)項為_13.（2000北京）求的展開式中有理項共有_項。14.（2015全國）的展開式中，的系數(shù)為_ 15.（2x-1）（x+y）5的展開式中，x3y3的系數(shù)為_16.(1axby)n展開式中不含x的項的系數(shù)絕對值的和為243，不含y的項的系數(shù)絕對值的和為32，則a，b，n的值可能為（ ）A.a2，b1，n5 B.a2，b1，n6C.a1，b2，n6 D.a1，b2，n517.已知，則的值是_18.多項式x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，則a8的值為_ 19.若多項式，則的值為（ ）A.509B.510C.511D.102220.設(shè)，則_21.已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：（1）a1a2a7