1、八年級(jí)上冊(cè),13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題,1,課件說(shuō)明,本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問(wèn)題,2,學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題,課件說(shuō)明,3,引言：前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它

2、們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”,引入新知,4,問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？,探索新知,5,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,探索新知,6,追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？,將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線,探索新

3、知,7,（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；,探索新知,追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,8,探索新知,追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小（如圖）,9,追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB的

4、長(zhǎng)度相等？,探索新知,問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？,10,追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B嗎？,探索新知,問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。?11,作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C即為所求,探索新知,問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。?12,探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？,13,證明：如

5、圖，在直線l上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？,14,探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？,證明：在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,15,若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最小,探索新知,追問(wèn)1證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BCAC+BC？這里的“C”的作用是什么？,16,探索新知,

6、追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？,17,造橋選址問(wèn)題,如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,18,思維分析,1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？,2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？,19,我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？,思維火花,各抒己見(jiàn),1、把A平移到岸邊.,2、把B平移到岸邊.,3、把橋平移到和A相連.,4、把橋平移到和B相連.,古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵!,20,上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).,合作與交流,1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？,把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng),那么怎樣確定橋的位置呢?,21,問(wèn)題解決,A1,M,N,如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時(shí)路徑最短.,理由；另任作橋，連接，.,由平移性質(zhì)可知，.,AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為