1、第二章同余,同余作為數(shù)論中最基本的概念，在數(shù)論中占有極為重要的地位。同余理論是初等數(shù)論的核心，它包含了數(shù)論特有的思想方法.2.1同余的概念及基本性質(zhì)2.2剩余類與剩余系2.3歐拉定理,初等數(shù)論,2020年6月18日12時(shí)55分,問題：日常生活中最常見的同余問題是什么？,我國古代的干支紀(jì)年也是這樣的，它是以60作為除數(shù)的紀(jì)年法.,為什么稱“六十花甲”？,這樣,在數(shù)學(xué)中就產(chǎn)生了同余的概念，同余概念是Gauss在1800年前后創(chuàng)立的.,日常生活中的星期幾問題就是同余問題。例如今天6日是星期二，那么本月13日,20日都是星期二，這是因?yàn)樗鼈冇?去除得到的余數(shù)相同。這說明有時(shí)我們注意的是某些整數(shù)用某一個(gè)

2、固定的整數(shù)去除所得到的余數(shù)。,2020年6月18日12時(shí)55分,2.1同余的概念及基本性質(zhì),定義2.1,若a和b除以m所得余數(shù)不同，則稱a，b對(duì)模m不同余，記作ab(modm).,設(shè)m為正整數(shù)，稱為模。若用m去除兩個(gè)整數(shù)a和b所得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余,記作ab(modm).（1）讀作a同余于b模m。,2020年6月18日12時(shí)55分,例如：,27、31、36、42、20，它們對(duì)模5，哪些同余？哪些不同余？對(duì)于模1，任意的兩個(gè)整數(shù)同余嗎？關(guān)于模2同余的整數(shù)有什么特點(diǎn)？,同余是三個(gè)數(shù)a和b和m之間的關(guān)系，正整數(shù)m（模）起著同余標(biāo)準(zhǔn)的作用。,2020年6月18日12時(shí)55分,由同余定義可

3、知如下性質(zhì)成立,由(1)，若a=b，則ab(modm)；反之不然！,同余是整數(shù)間的一種等價(jià)關(guān)系！,E,(1)反身性：aa(modm).(2)對(duì)稱性：若ab(modm)，則ba(modm).(3)傳遞性：若ab(modm),bc(modm),則ac(modm).,2020年6月18日12時(shí)55分,定理2.1.1整數(shù)a和b對(duì)模m同余的充要條件是m|(ab).,因此m|(r1r2).而0r1m，0r2m故0|r1r2|m,所以只有r1r20，r1r2,即ab(modm).,證明：由帶余除法，可設(shè)amq1+r1,(0r1m),bmq2+r2,(0r2m),若ab(modm)，則r1r2,abm(q1q

4、2)，即m|(ab)。,2020年6月18日12時(shí)55分,每一個(gè)整數(shù)a恰與0，1，2，m1中的某一個(gè)數(shù)對(duì)于模m同余。,例1,證:,由帶余除法知,a=mq+r,0rd|(ab).,證明：,這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任何多個(gè)同余式的情況.,由充要條件,有m2|(ab)，m1|(ab),=m|(ab)，因?yàn)樽钚」稊?shù)整除任何公倍數(shù).,E,New,2020年6月18日12時(shí)55分,我喜歡數(shù)學(xué),若ab(modm)，則(a，m)=(b，m).,性質(zhì)(11),由a=b+km立得。,證明：,2020年6月18日12時(shí)55分,同余性質(zhì)小結(jié)-簡單而非常重要！,性質(zhì)等價(jià)關(guān)系性質(zhì)同余的加減乘，由推論，同余式也可以移項(xiàng)和數(shù)乘.

5、性質(zhì)關(guān)于多項(xiàng)式，涉及乘方，是性質(zhì)綜合應(yīng)用.性質(zhì)同余式的“除”.性質(zhì)涉及模的改變！分別與a，b和m的約數(shù)，倍數(shù)，公約數(shù)，最小公倍數(shù)有關(guān).性質(zhì)是關(guān)于a，b和m最大公約數(shù)的。,2020年6月18日12時(shí)55分,例2今天是星期二，101000天之后的那天是星期幾？,解:7|1001,1031(mod7),分析由于1乘a為a，1n=1，先求得某數(shù)的n次冪與1對(duì)模同余是非常方便的.我們已知7|1001,即10310(mod7),，1031(mod7),得1061(mod7).,1061(mod7),104104(mod7),101000106166+4,即1010004(mod7)。故101000天之后是

6、是星期六。,(106)166104,11664(mod7),可見,類似于等式的“等量代換”,同余式也可以“代換”,不妨即稱之為“同余代換”.,2020年6月18日12時(shí)55分,同余與數(shù)的整除特征,例3設(shè)a為整數(shù)，則a能被3或9整除的充分必要條件是它的十進(jìn)位數(shù)碼的和能被3或9整除.證：設(shè)a為正整數(shù)，a的十進(jìn)位數(shù)的形式為a=an10n+an110n1+a110+a0(0ai10,an0,i=0,1,2,n)101(mod3),aan+an1+a0(mod3).即得a能被3整除的充分必要條件，即它的十進(jìn)位數(shù)碼的和能被3整除.101(mod9),同理可證9的情況(前面已證).,2020年6月18日12

7、時(shí)55分,同余與數(shù)的整除特征,例6檢驗(yàn)a=75312289能否被7,11,13整除.,被7,11,13整除的數(shù)特征是:將這個(gè)數(shù)從個(gè)位起從右往左每三位分成一節(jié),奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和,所得的差能被7,11,13整除.,2020年6月18日12時(shí)55分,棄九法,正整數(shù)四則運(yùn)算(含乘方)的快速驗(yàn)算方法,例7用棄九法驗(yàn)算2894734578=1001865676是否正確.,棄九法只是運(yùn)算結(jié)果正確的必要條件，而非充分條件!因此只能判誤.,解,若通過計(jì)算，a、b的和與積分別是s與p.而r1、r2、r3、r4分別是a、b、s、p被9除所得的余數(shù),由同余的加減乘性質(zhì)可知，如果r1+r2與r3、r1r2

8、與r4關(guān)于模9不同余，那么計(jì)算一定錯(cuò)了.,2020年6月18日12時(shí)55分,例6,證明：641,2020年6月18日12時(shí)55分,作業(yè),P119習(xí)題2-1ex2,ex7,ex10,ex12,人們習(xí)慣稱六十歲為“花甲”，稱六十歲以上的老人為“花甲老人”、“花甲之年”?！盎住笔恰盎鬃印钡暮喎Q，這一名稱的來歷和我國古代的干支紀(jì)年法密不可分。干支，即天干、地支。天干本稱“干”，地支本稱“支”，是上古時(shí)代就已出現(xiàn)的一種計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)符號(hào)。天干有十個(gè)，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。地支共十二個(gè)，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。十個(gè)天干和十二個(gè)地支（組合時(shí)單數(shù)配單數(shù)，雙數(shù)配雙數(shù)，如甲子、乙丑，而不能是甲丑、乙子）組合為六十對(duì)不重復(fù)的計(jì)數(shù)單位（成語“丁是丁，卯是卯”即源于此。因?yàn)椤岸　焙汀懊狈謩e屬于天干和地支，混誤不了，所以這個(gè)成語的意思是辦事認(rèn)真，毫不含糊）。組合時(shí)，以十干為主，自“甲”開始，依次與十二地支相配合。到第十支時(shí)，十干已全部配完，那么再從第一干開始與第十一支相配，依次類