1、16:57,1,醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教研室宋寶蓮辦公室：B414電話：86868233-4,16:57,2,第一章函數(shù)、極限與連續(xù),函數(shù)、極限與微積分之間的關(guān)系,16:57,3,1.1函數(shù),一.常量與變量在某一變化過程中始終保持相對靜止?fàn)顟B(tài)的量稱為常量；時(shí)時(shí)處于變化著的量為變量。前者記為a,b,c等，后者記為x,y,t等。,1.1.1函數(shù)的概念,16:57,4,二、函數(shù)的概念,定義1設(shè)在某個(gè)變化過程中存在兩個(gè)變量x、y,若對于某一非空數(shù)集中的每一個(gè)x值,按照某一確定的關(guān)系f都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對應(yīng),則稱變量y是變量x的函數(shù),記作：yf(x)，xD,定義域,自變量,因變量,f(D)稱為值

2、域,函數(shù)圖形：,16:57,5,理解：,函數(shù)的定義有兩個(gè)要素：一、自變量x必須有明確的定義域D；二、在定義域范圍內(nèi),變量x與y有確定的對應(yīng)關(guān)系,這兩個(gè)要素決定值域R。如果兩個(gè)函數(shù)相等,則這兩個(gè)要素必須完全相同。思考：兩個(gè)函數(shù)y2(x1)與y2(x21)/(x1)是否相等？,16:57,6,約定：,定義域是自變量所能取的使算式有(實(shí)際)意義的一切實(shí)數(shù)值。,16:57,7,例1.1.1求下列函數(shù)的定義域,因此f(x)的定義域?yàn)椋?16:57,8,例1.1.2已知函數(shù)f(x)x21,求f(2),ff(x)。,解：,16:57,9,例1.1.3已知函數(shù)f(x1)x23x2,求f(x)。,解：令x1t,

3、則xt1,將其代入原式,得,16:57,10,函數(shù)舉例一,例1.1.4函數(shù)y2。定義域D(,),值域Rf2,例1.1.5絕對值函數(shù),例1.1.6判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由,16:57,11,函數(shù)舉例二,例1.1.7符號(hào)函數(shù),例1.1.8狄利克雷函數(shù),例1.1.9取整函數(shù)yx,其中x為不超過x的最大整數(shù),16:57,12,鄰域,是指如果x0是實(shí)數(shù)軸上一點(diǎn),為正實(shí)數(shù),則開區(qū)間x00,a1),(0,),16:57,30,(4)三角函數(shù),正弦函數(shù)ysinx,x(,),16:57,31,余弦函數(shù),ycosx,x(,),16:57,32,正切函數(shù),16:57,33,(5)反三角函數(shù),反正弦函數(shù),16

4、:57,34,反余弦函數(shù),16:57,35,反正切函數(shù),16:57,36,二.復(fù)合函數(shù),定義2設(shè)yf(u),而u(x),且x在函數(shù)(x)的定義域或其一部分上取值時(shí)所對應(yīng)的u值,函數(shù)yf(u)是有定義的,則稱y是x的復(fù)合函數(shù)。記作：yf(x),舉例：注意：有些函數(shù)不能復(fù)合，如：,16:57,37,復(fù)合函數(shù)舉例,例1.1.12設(shè),例1.1.13將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù),16:57,38,理解：,1.兩個(gè)函數(shù)復(fù)合要滿足復(fù)合條件；2.中間變量可以多個(gè)；3.復(fù)合函數(shù)分解不唯一。,16:57,39,課堂練習(xí),1.下列函數(shù)能否復(fù)合成yf(x)函數(shù)?若能,寫出其解析式、定義域、值域。,2.分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)

5、構(gòu),16:57,40,三.初等函數(shù),定義3由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)。,例如：,16:57,41,非初等函數(shù)舉例,符號(hào)函數(shù),16:57,42,1.1.4分段函數(shù)和反函數(shù),一、分段函數(shù)在定義域內(nèi),不同的區(qū)間上由不同解析式所表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)通常不是初等函數(shù),不過,在不同段內(nèi)的表達(dá)式,通常由初等函數(shù)表示。,16:57,43,二、反函數(shù),定義4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽,若對于任意一個(gè)yR，有唯一一個(gè)xD，使f(x)y成立,則x與y的對應(yīng)關(guān)系在R上定義了一個(gè)新函數(shù),稱為函數(shù)yf(x)的反函數(shù),記為xf1(y)。若把函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù),

6、則直接函數(shù)的定義域(或值域)恰好是它的反函數(shù)xf1(y)的值域(或定義域)。,16:57,44,在一般情況下，如果yf(x)在某個(gè)區(qū)間上有定義且是單調(diào)函數(shù)，就能保證它的反函數(shù)xf1(y)存在；,例如,yax(a0,a1)在定義域(,)上是單調(diào)函數(shù),它的值域是(0,),所以它的反函數(shù)xlogay存在,其定義域是(0,),即y(0,),值域是(,)。一般習(xí)慣上自變量用x表示,因變量用y來表示,這時(shí)yf(x)的反函數(shù)xf1(y)就可以寫成yf1(x)。如函數(shù)yax的反函數(shù)一般不寫成xlogay,習(xí)慣上寫成ylogax。,16:57,45,yf(x)的圖像與其反函數(shù)xf1(y)的圖像相同,但與yf1(

7、x)不同。,函數(shù)yf(x)與其反函數(shù)yf1(x)的圖形關(guān)于直線yx對稱。例如,指數(shù)函數(shù)yex,x(,)與對數(shù)函數(shù)ylnx,x(0,)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線yx對稱。,16:57,46,備用題,證明f(x)為奇函數(shù)。,16:57,47,1.2函數(shù)的極限,引例：設(shè)有半徑為r的圓,用其內(nèi)接正n邊形的面積An逼近圓面積S。如圖所示：,當(dāng)n無限增大時(shí),An無限逼近S。,16:57,48,劉徽(約225295年),我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家。他撰寫的重差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn)。他的“割圓術(shù)”求圓周率的方法

8、：“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣。”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想。,16:57,49,1.2.1數(shù)列極限,當(dāng)自變量按自然數(shù)1,2,3,依次順序增大時(shí),函數(shù)值按一定的法則排列的一列數(shù)x1,x2,xn,稱為數(shù)列,記為xn。,16:57,50,例1.2.1以下例子均為數(shù)列：,16:57,51,注意：,1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列?？煽醋饕粍?dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1,x2,xn,2.數(shù)列是整數(shù)函數(shù),16:57,52,以下數(shù)列的趨勢,收斂,趨勢不定，發(fā)散,16:57,53,定義5,對于數(shù)列xn,當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列xn中的項(xiàng)xn無限趨近于A,則

9、把常數(shù)A稱為數(shù)列xn的極限,或稱數(shù)列xn收斂于A,否則稱數(shù)列xn發(fā)散。,16:57,54,又如：,收斂,16:57,55,例1.2.2討論數(shù)列xn2n的極限。,解：給定數(shù)列：2,4,8,2n,當(dāng)n的數(shù)值無限增大時(shí),2n不趨向于一個(gè)確定的常數(shù),所以數(shù)列是發(fā)散的。,16:57,56,1.2.2函數(shù)極限,對yf(x),自變量變化過程的六種形式：,16:57,57,一、x時(shí),函數(shù)f(x)的極限,引例,16:57,58,定義6,如果自變量x的絕對值無限增大時(shí),函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱A為當(dāng)x時(shí)f(x)的極限。記作：,16:57,59,幾何意義：,直線yA為曲線yf(x)的水平漸近線注意：,

10、16:57,60,例1.2.3,16:57,61,二、xx0時(shí),函數(shù)f(x)的極限,16:57,62,定義7,設(shè)函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)附近有定義（在x0點(diǎn)可以無定義）,如果當(dāng)x無論以怎樣的方式趨近于x0時(shí)(xx0)，函數(shù)f(x)都趨近于常數(shù)A，則稱A為當(dāng)xx0時(shí)f(x)的極限。記作：,16:57,63,單側(cè)極限,定理極限存在的充分必要條件是左右極限都存在且相等。例1.2.4討論下列函數(shù)當(dāng)x0時(shí)的極限。,左極限,右極限,16:57,64,例1.2.5考察下列函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)的極限。,16:57,65,例1.2.6考察函數(shù),當(dāng)x0時(shí)的極限。,16:57,66,思考與練習(xí)：,1.若極限,存在,則a。,

11、16:57,67,1.2.3無窮小量,一.無窮小量的概念定義8極限為零的變量稱為無窮小量。簡稱無窮小。如x0時(shí)x,x2,sinx都是無窮小。當(dāng)x時(shí)ex是無窮小；當(dāng)x時(shí),1/x是無窮小。,16:57,68,注意：,無窮小量是一個(gè)變量,而不是一個(gè)數(shù)。但0可以作為無窮小的唯一一個(gè)常數(shù)。無窮小量與自變量變化過程有關(guān)。此概念對數(shù)列極限也適用,若,稱數(shù)列xn為n時(shí)的無窮小。,16:57,69,二、無窮小量定理,定理1在自變量的同一變化過程中,極限存在的充分必要條件是f(x)A(x)。,定理2有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和、積以及常數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。定理3有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量。,16:

12、57,70,例如：,16:57,71,三.無窮大量,定義9絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。,如x0時(shí),1/x、1/sinx都是無窮大量；x時(shí),lnx是無窮大量；x/2時(shí),tanx是無窮大量；,16:57,72,注意：,無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆。無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大。如：1,2,1,3,1,4,1,5,無窮小與無窮大之間呈倒數(shù)關(guān)系。,16:57,73,內(nèi)容小結(jié),無窮小與無窮大的定義；無窮小定理；無窮小與無窮大的關(guān)系。,16:57,74,1.2.4極限的運(yùn)算,一.極限的四則運(yùn)算法則定理4設(shè)limf(x)A，limg(x)B則：limf(x)g(x)limf

13、(x)limg(x)ABlimf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABlimf(x)/g(x)limf(x)/limg(x)A/B(B0),16:57,75,證明：,其中,由定理1可得：,由無窮小運(yùn)算法則,得,16:57,76,推論3,limCf(x)Climf(x)CA(C為常數(shù)),推論4limf(x)nlimf(x)nAn(n為正整數(shù)),例：設(shè)n次多項(xiàng)式,16:57,77,證明：,16:57,78,例1.2.7,16:57,79,例1.2.8,16:57,80,例1.2.9,由無窮小量和無窮大量之間的倒數(shù)關(guān)系,得,16:57,81,一般有如下結(jié)果：,16:57,82,例1.2.10

14、,16:57,83,內(nèi)容小結(jié),1.極限運(yùn)算法則1)無窮小運(yùn)算法則2)極限四則運(yùn)算法則,2.分式函數(shù)極限求法1)xx0時(shí),用代入法(分母不為0)2)xx0時(shí),對0/0型,約去公因子3)x時(shí),分子分母同除最高次冪,注意使用條件,16:57,84,例1.2.11*求下列函數(shù)的極限。,16:57,85,解,16:57,86,解,16:57,87,解,16:57,88,解,16:57,89,二.兩個(gè)重要的極限,(證明),(證明),16:57,90,例1.2.12*求下列函數(shù)的極限。,16:57,91,解,16:57,92,解,16:57,93,解,16:57,94,解,16:57,95,1.2.5無窮小

15、量的比較,引例:當(dāng)x0時(shí),3x,x2,sinx,x2sin(1/x)都是無窮小。,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同。,16:57,96,定義10,在同一個(gè)自變量變化過程中與為無窮小。,16:57,97,舉例,當(dāng)x1時(shí)，將下列各量與無窮小量x1進(jìn)行比較,16:57,98,內(nèi)容小結(jié),1.無窮小的比較,設(shè),對同一自變量的變化過程為無窮小,且0,16:57,99,2.常用等價(jià)無窮小,當(dāng)x0時(shí),16:57,100,課堂練習(xí),2*.求極限,1.任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎?,16:57,101,16:57,102,1.3函數(shù)的連續(xù)性,1.3.1函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的增量,16:57,103,定義11

16、設(shè)函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)及其附近有定義,當(dāng)自變量x在x0點(diǎn)的增量x0時(shí)，函數(shù)的增量y0。即,則稱yf(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。,16:57,104,定義12設(shè)函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)及其附近有定義,當(dāng)自變量xx0時(shí),f(x)f(x0)。即,則稱yf(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。,16:57,105,定義13,左連續(xù)：設(shè)yf(x)在(a,b有定義，,存在且等于f(b)，即,右連續(xù)：設(shè)yf(x)在a,b)有定義，,存在且等于f(a)，即,16:57,106,函數(shù)在某一點(diǎn)既左連續(xù)也右連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。,定理,區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)：在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，則稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。注意：(a,b),(a,b,a

17、,b),a,b,16:57,107,1.3.2間斷點(diǎn),f(x)在x0點(diǎn)無定義,例1.3.1,16:57,108,例1.3.2,16:57,109,例1.3.3,16:57,110,1.3.3初等函數(shù)的連續(xù)性,一、基本初等函數(shù)的連續(xù)性一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。二、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理6如果函數(shù)f(x)和g(x)都在x0點(diǎn)連續(xù),則函數(shù),在x0點(diǎn)連續(xù)。,16:57,111,三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理7設(shè)函數(shù)u(x)當(dāng)xx0時(shí)極限存在且等于a,函數(shù)yf(u)在相應(yīng)點(diǎn)ua連續(xù),則復(fù)合函數(shù)yf(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限也存在且等于f(a),即,推論5如果函數(shù)u(x)在x0點(diǎn)連續(xù),且u0(x0)

18、又函數(shù)yf(u)在u0點(diǎn)連續(xù),則復(fù)合函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。,16:57,112,練習(xí),原式,說明：當(dāng)ae,x0時(shí),有l(wèi)n(1x)x,ex1x。,16:57,113,四、初等函數(shù)的連續(xù)性,初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。,例1.3.4,例1.3.5,16:57,114,1.3.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理8（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。推論6閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有界。,16:57,115,介質(zhì)定理,定理9設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)f(b),則對介于f(a)與f(b)之間的任何值c,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得：f()c(ab)。推論7（根的存在定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),如果f(a)與f(b)異號(hào),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn),使得：f()0(ab)。,16:57,116,連續(xù)函數(shù)舉例一,左右連續(xù)例1.3.6已知函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，求b的值。,連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間例1.3.7討論函數(shù)在x0處的連續(xù)性。,16:57,117,連續(xù)函數(shù)舉例二,例1.3.8討論函數(shù)在x1處的連續(xù)性。,例1.3