1、2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，則的值為 （ B ）A1. B. C. D.2已知的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最大值為 （ B ）A5. B6. C7. D8.3方程的解的個(gè)數(shù)為 （ C ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè).4今有長度分別為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個(gè)正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有 （ C ）A5組. B7組. C9組. D11組.5如圖，菱形ABCD中，則 （ D ）A. B. C. D.6已知，則的值為

2、 （ C ）A1. B. C2. D.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1在ABC中，已知，則2二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于C點(diǎn)，若ABD和OBC均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 2 3能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為 11 4如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓的切線與CD的延長線交于點(diǎn)F，如果，D為EF的中點(diǎn)，則AB 24 第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知三個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足，方程和有一個(gè)相同的實(shí)根，方程和也有一個(gè)相同的實(shí)根求的值解 依次將題設(shè)中所給的四個(gè)方程編號(hào)為，設(shè)是方程和方程的一個(gè)相同的實(shí)

3、根，則 兩式相減，可解得設(shè)是方程和方程的一個(gè)相同的實(shí)根，則兩式相減，可解得。所以 又方程的兩根之積等于1，于是也是方程的根，則。又 ，兩式相減，得 若，則方程無實(shí)根，所以，故于是 又，解得 二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)求證：（1）；（2）證明 （1）由已知得 ，從而四點(diǎn)共圓，為直徑，為該圓的圓心 作于點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，所以，從而 （2）作于點(diǎn)，則又， ， RtRt， ，又，所以，故，所以 三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且（1）證明：；（2）求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式解 （1）因?yàn)椋?，即由，?又，從而有，即（2）

4、由，知是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 當(dāng)時(shí)，方程為，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，方程為，兩根為綜合知： 設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為第二試 （B）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點(diǎn)，且求證：證明 由已知得 ，從而四點(diǎn)共圓，為直徑設(shè)為AC的中點(diǎn)，則為四邊形ABCD的外接圓的圓心作于點(diǎn)，則M為BD的中點(diǎn),所以，從而 作于點(diǎn)，則又， ， RtRt，又，所以，所以，所以三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且）求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式解 因?yàn)?，所?，即由，得 又，從而有，即 又，故是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 當(dāng)時(shí)，方程為，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，方程為，兩根為綜合知： 設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，已知為銳角內(nèi)一點(diǎn)，過分別作的垂線，垂足分別為，為的平分線，的延長線交于點(diǎn)如果，求證：是的平分線證明 如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)設(shè)， ， 若，如圖2，作，分別交于點(diǎn)