1、2020 屆屆鎮(zhèn)江鎮(zhèn)江三?？荚嚁?shù)學(xué)卷三?？荚嚁?shù)學(xué)卷 一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分。不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題 卡相應(yīng)位置上。 1. 已知集合 2 1,2 ,1,ABa ，若 ABa，則實數(shù)a _. 2. 若復(fù)數(shù)z滿足(1 3 )3i zi，其中i是虛數(shù)單位，z _. 3. 已知, 是某個平行四邊形的兩個內(nèi)角，命題:P；命題:sinsinQ，則命題P是命題Q 的_條件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中選擇一個合適的填空） 。 4. 為了研究疫情病毒和人的血型間的關(guān)系， 在被感染的 600 人中，O型血有 200

2、人，A型血有 150 人，B 型血有 150 人，AB型血有 100 人。在這 600 人中，為抽取一個容量為 60 人的樣本，則應(yīng)從O型血中抽 取的人數(shù)為_. 5. 已知直線 12 :230,:20lxylxkyk，且 12 ll，則直線 12 ,l l間的距離為_. 6. 一周后的 6 月 25 日為端午節(jié)，國家規(guī)定調(diào)休放假 3 天，甲、乙、丙三人端午節(jié)值班，每人值班一天， 每天一人值班，則甲在乙前面值班的概率為_. 7. 中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七， 要將第八數(shù)來言”。意思是把 996 斤綿分給 8 個兒子作盤纏，按照年齡

3、從大到小的順序依次排列分綿，每 個弟弟都比前面的哥哥多 17 斤綿，那么第 8 個兒子分到的綿的斤數(shù)為_. 8. 已知拋物線 2 4yx的準(zhǔn)線是雙曲線 22 2 1(0) 2 xy a a 的左準(zhǔn)線，則a _. 9. 算數(shù)書竹簡于 20 世紀(jì) 80 年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我們現(xiàn)存最早的成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典 籍.其中記載有求“囷蓋”術(shù)：“冒如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐 的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式：hLV 2 36 1 .它實際上將圓錐體積公式中的圓周率取 近似值. 10. 已知圓4)2()( : 22 1 yaxC與圓1) 1()( :

4、 22 2 ybxC外切， 則ab的最大值為. 11. 九章算術(shù)是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其對勾股定理的論述比西方早一 千多年.其中有這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？” 其意為：今有直角三角形ABC，勾（短直角邊）BC長 5 步，股（長直角邊） AB長 12 步，問該直角三角形能容納的正方形DEBF邊長為多少？在如圖 所示中，求得正方形DEBF的邊長后，可求得ACEtan. 12. 已 知 在OAB中 ，PAOBOBOA,135, 2,2 為 平 面OAB上 一 點 ， 且 (),OPOAOBR 當(dāng)OP最小時，向量OP與OB的夾角為. 13. 已知函數(shù) , 31 , 34

5、, 1, )( 2 xxx xe xf x 若函數(shù)2)()(xkxfxg有三個零點， 則實數(shù)k的取值 范圍是. 14. 在銳角ABC 中，角 CBA, 的對邊分別為 cba, 若 ,cossincos)sin(CAACb 且 , 2a 則 CB A tantan tan 的最大值為 . 二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分. 15. （本小題滿分 14 分） 如圖，在直三棱柱 111 CBAABC 中，D為AC中點，., 11 ACDABCAB求證： （1）CB1平面BDA1； （2）平面BDA1平面. 11C AB 16、在ABC中，三角A B C, ,的對邊分別為a b c, ,

6、，且 5 cos 5 A ，sin5cosBC （1）求tanC的值； （2）若2 2a ，求ABC 的面積. 17、在平而直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓 22 22 :10 xy Cab ab 左、右焦點分別為 12 ,F F，離心率為 2 2 ， 兩準(zhǔn)線間距離為8， 圓O的直徑為 12 FF， 直線l與圓O相切于第四象限點T， 與y軸交于M點， 與橢圓C 交于點N（N點在T點上方） ，且OMON. （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程： （2）求直線l的方程: （3）求直線l上滿足到 12 ,F F距離之和為4 2的所有點的坐標(biāo). 18、鎮(zhèn)江市長江路江邊春江潮廣場要設(shè)計一尊鼎型塑像（如圖 1） ，塑像總高度

7、為 12 米，塑像由兩部分組 成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱組成（立柱上凸起部分忽略不計） ，下半部分由正四 棱臺的上底面四根水平橫柱和正四棱臺的四根側(cè)棱斜柱組成， 如圖 2 所示.設(shè)計要求正棱臺的水平橫柱長度 為 4 米，下底面邊長為 8 米，設(shè)斜柱與地面的所成的角為. （1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范圍？ （2）若該塑像上半部分立柱的造價為3千元/米(立柱上凸起部分忽略不計)，下半部分橫柱和斜柱的造價 都為2千元/米，問當(dāng)為何值時，塑像總造價最低？ 19. 各項為正數(shù)的數(shù)列 n a如果滿足：存在實數(shù), 1k對任意正整數(shù)k a a k n n n 1 1

8、 ,恒成立，且存在正整數(shù) n，使得 ka a k a a n n n n 1 11 或成立，則稱數(shù)列 n a為“緊密數(shù)列”，k稱為“緊密數(shù)列” n a的“緊密度”. 已知數(shù)列 n a的各項為正數(shù)，前n項和為 n S，且對任意正整數(shù)n，為常數(shù)）（CBACBaaS nnn , 2 恒成立. （1）當(dāng) 4 1 , 2 1 , 4 1 CBA時， 求數(shù)列 n a的通項公式； 證明數(shù)列 n a是“緊密度”為 3 的“緊密數(shù)列”； （2）當(dāng)0A時，已知數(shù)列 n a和數(shù)列 n S都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為 21,k k，且2 , 1, 21 kk， 求實數(shù)B的取值范圍. 20、已知函數(shù) , x f

9、xeax aR，其中e是自然對數(shù)的底數(shù). （1）當(dāng)1a 時，求曲線 yf x在1x 處的切線方程; （2）如果對任意xR，不等式 0f x 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； （3）討論函數(shù) x g xf xe的零點個數(shù). 高三數(shù)學(xué)答案 第 1 頁（共 8 頁） 鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)三?？荚嚧鸢讣霸u分標(biāo)準(zhǔn)鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)三模考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、一、填空題：每小題填空題：每小題 5 分分. 1. 1 2. 1 3. 充分不必要 4. 20 5. 5 6. 1 2 7. 2 8. 184 9. 3 10. 2 11. 144 229 12. 90 13. （ ，（ ，0 15 5 ) 1 e e 3 14.

10、 35 二、解答題二、解答題 15. 證明： （1）設(shè)AB 1 與AB1交于O，連接OD，在平行四邊形ABB A 11中，O為AB1中點， D為AC中點，則OD為ABC 1 的中位線，所以O(shè)DBC 1 ， OD平面ABD 1 ，因BC 1 平面ABD 1 ，所以BC 1 平面ABD 1 . （2） 因為ABBC. 在直三棱柱ABCABC 111中， C C 1 平面ABC， BD平面ABC，所以BDC C 1 . 又BDAC，AC平面ACC A 11， C C 1 平面ACC A 11， ACCCC 1 所以BD平面ACC A 11. 因為AC1平面ACC A 11，所以 BDAC1， 又AD

11、AC 11， BD平面ABD 1 ，AD 1 平面ABD 1 ，ADBDD 1 ， 所以AC1平面ABD 1 . 又AC1平面ABC 11， 所以平面 ABC 11 平面ABD 1 . 16.解：在ABC 中，ABC，A0，Asin0，因為A 5 cos 5 ， 得AA 55 sin1cos1() 52 5 22 . （1）因為CBACAC()sin()5cossinsin(ACACsincoscossin， 所以CCC 55 5coscossin 52 5 . 所以CCsin=3cos. 如果Ccos0，則Csin0與CCsincos1 22 矛盾，所以Ccos0 所以 C C C cos

12、tan3 sin . （2）因為C0，由Ctan30，得C 2 0 ，則Csin0，Ccos0. 將（1）中代入（1）中解得：C 10 sin 3 10 ，C 10 cos 10 . 于是BC 102 sin5cos5 102 . 不交代不交代Asin0和 平方和公式使用形 式的分別扣 1 分 和 平方和公式使用形 式的分別扣 1 分 要求寫出正切的公式！要求寫出正切的公式！ 無誘導(dǎo)公式、和差展開無誘導(dǎo)公式、和差展開 公式公式形式形式分別扣分別扣 1 1 分分 ，D為AC中點， 所以BD為ABC的底邊上的中位線， 得B DA C 高三數(shù)學(xué)答案 第 2 頁（共 8 頁） 將2 2a 及（1）代入

13、正弦定理 sinsin ac AC ， 2 2 2 53 10 510 c ，得3c . 所以ABC的面積 112 sin2 233 222 SacB . 17. 解： （1）設(shè)橢圓 C 的焦距為2c，因為因為離心率為離心率為 2 2 c a ， 兩準(zhǔn)線間距離為兩準(zhǔn)線間距離為 2 2=8 a c ，又 222 abc， 由解得2 22ab，. 則橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 84 xy （2） 【法一】 設(shè)切點 00 (,)T xy， 則 22 00 4xy,因 T 在第四象限， 所以 00 00 xy， 直線 OT 的斜率 0 0 OT y k x ，因為OTl，所以直線 l 的斜率 0

14、0 x k y ， 直線 l： 0 00 0 () x yyxx y ，由得： 00 4x xy y， 令0 x ，得 0 4 (0,)M y ， 因為OMON，OTMN，所以T為MN中點，所以 00 0 4 (2,2)Nxy y 代入（1）中得： 2 0 2 00 4 (2) (2) 1 84 y xy ，解得： 00 22xy ， 代入式得：直線 l 的方程為2 20 xy. 【法二】設(shè)(0)Mm，() NN N xy，則 22 28 NN xy，設(shè)直線 lykxm：， 因為切點 T 在第四象限，所以0 N x，00km，. 因 l 與O： 22 4xy相切，則圓心距 2 | 2 1 m

15、d k ， 22 44mk 因為OMON，則 22 OMON，所以 222 NN xym， 聯(lián)立解得： 2222 288 NN xmym， 因為0 N x，所以 22 288 NN xmym ， 則 0 N N ym k x ，由得 22 2 48 2 28 mmm m ，解得2 2m ，2m . 當(dāng)2m 時，0 N x，與0 N x矛盾. 則2 2m ，代入，得1k ， 所以直線 l 方程為2 20 xy. （3）因為因為到到 12 FF，距離之和為距離之和為4 2的所有點的集合為橢圓的所有點的集合為橢圓 C， 所以滿足題意的點為直線l與橢圓 C 的公共點， 不交代題目條不交代題目條 件，每

16、個扣件，每個扣 1 1 分分 不交代不交代 00 xy，符合且不說明舍去其符合且不說明舍去其 他解原因，扣他解原因，扣 1 1 分分. .下同下同. . 不 交 代不 交 代 題 目 條題 目 條 件， 每個件， 每個 扣扣 1 1 分分 高三數(shù)學(xué)答案 第 3 頁（共 8 頁） 聯(lián)立得： 22 2 20 1 84 xy xy ， ， 得 2 38 2 +80 xy，即 2 2 0 x y ， ， 或 2 2 3 4 2 3 x y ， ， 所以滿足條件的點的坐標(biāo)為(2 2,0)和 2 24 2 () 33 ，. 18. 解： （1） 由正四棱臺的定義， 平面 AEGC平面EFGH， 在平面 A

17、EGC 內(nèi)作AM EG， 交 EG 于M，平面 AEGC平面EFGHEG，則AM 平面EFGH， 則AEM為斜柱與地面所成的角，即AEM. 顯然 1 AAM， ，三點共線，在等腰梯形 AEGC 中，4 2AC ，8 2EG ， 則 2 2EM ， 2 2 tanAM ，立柱 1 122 2tanAA， 因為 1 3 38 0sinsin 19 AEM，所以 3 38 sin(0,) 19 . 答：塑像上半部分的高度(122 2tan )米,sin的范圍為 3 38 (0,) 19 . （2） 2 2 cos AE ，設(shè)總造價為y，則 1 434()2yAAAEAB， 2 2 4(122 2ta

18、n )34(4)2 cos y 8 2(23sin ) 16(23) cos ， 記 23sin ( ) cos f ，則 2 2sin3 ( ) cos f ， 令 ( )0f ，則 3 sin 2 3 38 (0) 19 ，所以 3 ， 列表： 所以當(dāng) 3 時，( )f有最小值 答：當(dāng) 3 時，塑像總造價最低 19. 解： （1）當(dāng) 111 424 ABC，時， 2 111 424 nnn Saa，當(dāng)n2 時， 2 111 111 424 nnn Saa ， 由-得： 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 4 1 nnnnn aaaaa， 整理得：)( 4 1 )( 2 1 111 nn

19、nnnn aaaaaa，因為0 n a，則0 1 nn aa， 即有2 1 nn aa， (0,) 3 3 0 (,) 3 ( )f 0 + ( )f 減函數(shù) 1 增函數(shù) 無 證 明無 證 明 過程，過程，或或 不交代不交代 扣扣 1 1 分分 高三數(shù)學(xué)答案 第 4 頁（共 8 頁） 當(dāng)1n時， 2 11111 111 = 424 Saaaa，則1 1 a. 則 n a是以首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，則12 nan. 由中12 nan，得 12 2 1 12 12 1 nn n a a n n 隨著n的增大而減小， 則對任意正整數(shù) n， 3 1 1 n n a a 1 3 恒成立， 且

20、存在1n，使得3 1 n n a a . 則數(shù)列 n a是“緊密度”為 3 的“緊密數(shù)列”. （2）當(dāng)0A時，CBaS nn ，CBaS nn 11 ， -得： 1 ) 1( nn aBBa， 若0B，則上式右端中0 1n a，與0 n a矛盾； 若1B，則上式左端0 n a，與0 n a矛盾，則10BB，. 則 1 1 n n aB aB 為常數(shù)，即 n a是以首項 1 0a ，公比 1 B q B 的等比數(shù)列 因為數(shù)列 n a為“緊密數(shù)列” ，則0 n a ，所以0 1 B q B ，又1 1 B B q. 1 當(dāng)1q時， q 1 n n a a 1 1 q，對任意正整數(shù) n 恒成立， 且

21、存在正整數(shù) n，使得q a a n n 1 ， 所以數(shù)列 n a的“緊密度”為21 1 ， kq，又1q，即q12 此時 q qa S n n 1 )1 ( 1 ， 1 1 11 11 n n nn n Sqq q Sqq 隨n的增大而減小， 所以 q1 1 n n S S 1 1 1q，對任意正整數(shù) n 恒成立， 且當(dāng)1n時， 1 1 n n S q S ，所以數(shù)列 n S的“緊密度”為21 1 2 ， qk， 則10 q，與式矛盾. 2 當(dāng)10 q時，q n n a a 1 1 1 q ，對任意正整數(shù) n 恒成立， 且存在正整數(shù) n，使得q a a n n 1 ， 則此時 n a的“緊密度

22、”為21 1 1 ， k q ，即 2 1 q1. 而 nn n n n n n q q q q qqq q q S S 1 1 1 1)1 ( 1 1 1 1 隨著n的增大而減小， 不交代說明等差數(shù)列，扣不交代說明等差數(shù)列，扣 1 1 分分 高三數(shù)學(xué)答案 第 5 頁（共 8 頁） 則 q1 1 n n n q q q S S 1 1 1 1 1q對任意正整數(shù) n 恒成立， 且當(dāng)1n時， 1 1 n n S q S ， 則 n S的 “緊密度”21 1 2 ， qk， 即10 q， 由，得 2 1 q1，即 2 1 1B B 1，解得：B1. 綜上：實數(shù) B 的取值范圍為(1 ，. 20. 解

23、： （1）當(dāng)1a時，xxf x e)(， 1e)( x xf，則有1e) 1 ( fk，1e) 1 (f， 則切線方程為xy) 1e ( . （2）axf x e)(. 當(dāng)0a時，0e)(axf x 恒成立， 則函數(shù))(xf在 R 上單增， 而 1 1 ( )e10 a f a ， 與)(xf0 恒成立矛盾，不合題意； 當(dāng)0a時，0e)( x xf恒成立，則符合題意； 當(dāng)0a時，由0e)(axf x 得：axln，則)(xf在)ln(a，上單減， 在)(ln，a上為增函數(shù)，則aaaafxfln)(ln)( min 0，解得a0e. 綜上：0ae. （3）因 xaxxfxg xxx ，eee)(

24、)(R， 當(dāng)a2 時，因為axg xx ee)(aa xx 2ee20 恒成立， 則)(xg在 R 上為增函數(shù)，而0)0(g，則此時函數(shù))(xg有唯一零點. 當(dāng)2a時，)(e)(xgaxexg xx ，則)(xg為奇函數(shù). 只需研究x0 情形. 由0 e 1ee ee)( 2 x xx xx a axg， 得：01ee2 xx a，則有 2 4 e 2 aa x ， 則0 4 2 ln 2 4 ln 2 2 1 aa aa x，0 2 4 ln 2 2 aa x， 則)(xg在)0( 2 x，上為減函數(shù)，在)( 2 ，x上為增函數(shù)， 則有0)0()( 2 gxg. 下證：當(dāng)2x時， 2 ex

25、x . 證明：令 2 e)(xxh x ，則xxh x 2e)(，02e2e)( 2 x xh，即函 數(shù))(x h 在），（2上為增函數(shù)，故有04e)2()( 2 hxh，則)(xh在 ），（2上為增函數(shù)，故有04e)2()( 2 hxh，則 2 ex x . 當(dāng)2x時，有e1 x ，則1ee)( 2 axxaxxg xx ， 高三數(shù)學(xué)答案 第 6 頁（共 8 頁） 取2 2 4 2 0 aa x， 則01ee)( 0 2 000 00 axxaxxg xx ， 因為( )g t 為連續(xù)函數(shù)，由零點存在性定理可得：存在唯一)( 02 xxt，使得0)(tg， 即當(dāng)0x時，函數(shù))(xg有唯一零點

26、，也即此時函數(shù))(xg有三個零點. 綜上：當(dāng)a2 時，函數(shù))(xg有一個零點；當(dāng)2a時，)(xg有三個零點 21A解：因為因為向量向量 1 1 是矩陣是矩陣 A 1 02 x 的屬于特征值的屬于特征值的一個特征向量的一個特征向量，1 分分 所以 111 0211 x ， 即 1 2= x ， ， 解得 =2 1x ， ， 所以 A 11 02 . 4 分分 【法一】設(shè) 1 ab cd A，則 1 1110 0201 ab cd AA， 6 分分 即 10 2201 acbd cd ，則10 20 21acbdcd，, 8 分分 所以 11 10 22 abcd ，所以 1 1 1 2 1 0

27、2 A. 9 分分 【法二】det( )1 21 020Aadbc . 6 分分 則 1 A db adbcadbc ca adbcadbc = 1 1 2 1 0 2 . 9 分分 綜上： 1 1 1 2 =2 1 0 2 ，A. 10 分分 21 B解：因為直線因為直線 l 的參數(shù)方程是：的參數(shù)方程是： 2 2 2 2 xmt yt ， （t 是參數(shù)是參數(shù)） ， 1 分分 所以直線 l 的普通方程為0 xym. 3 分分 又又因為曲線因為曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為=6cos，所以 2=6 cos ， 因為cosx ， 222 xy， 4 分分 所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程是得

28、22 6xyx，即 2 2 39xy. 6 分分 設(shè)圓心到直線 l 的距離為 2 2 3 372 2 m d . 8 分分 必須交代題目條必須交代題目條 件！件！否則每處扣否則每處扣 必須交代題目條件！必須交代題目條件！ 否則扣否則扣 1 1 分分 必須要有轉(zhuǎn)化過程！必須要有轉(zhuǎn)化過程！否則扣否則扣 1 1 分分 高三數(shù)學(xué)答案 第 7 頁（共 8 頁） 所以3=2m，即1m 或5m . 10 分分 21 C解：因為9abc，由柯西不等式： 222222222 11 (1 +( ) +1 )(2 )(121) =) =9 =81 22 abcabcabc （.6 分分 所以 222 436abc，

29、 7 分分 當(dāng)且僅當(dāng) 2 1 11 2 abc ，及414abc，時， 9 分分 222 4=36abc，所以 222 4abc的最小值為 36. 10 分分 22. 解：取AD中點 E，連結(jié)SE，因為SAD是正三角形，所以SE AD， 又平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD 平面 ABCDAD，SE 平面 SAD 所以SE 平面ABCD， 1 分分 過 E 點作/EG DC交 BC 于點 G，則EGAD.EG 平面 ABCD，所以SE EG. 以 E 為原點，分別以AD，EG，AE 所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸，建立如圖空間 直角坐標(biāo)系， 2 分分 則 0 0 0E， 01 0A，

30、 ， 210B， ，1 1 0C ， ，0 1 0D， ， 0 03S，. （1）因為 F 為 SB 的中點， 13 1 22 F ， ，所以 33 0 22 CF ， ，013SA， ，, 設(shè) SA 與 FC 所成角為，則cos cos0 CF SA CF SA CFSA ， ， 3 分分 又 0 2 ， ，得 = 2 ，即 SA 與 FC 所成角為 2 . 4 分分 （2）設(shè)平面 SAC 的法向量 1 xyz ， ， ， 則 1 0SA ， 1 0SC ，013SA， ，1 13SC ， ， 所以 30 30 yz xyz ， ， 取3y ，得 1 2 331 ， ， 6 分分 213SB ， ，設(shè) 23SQSB， ， 0,1, 32 ,32 ,1,33AQASAQ，1,2,0AC 設(shè)平面 QAC 的法向量 2= , ,x y z ，則 2 0AC ， 2 0AQ 20 21330 xyxyz，取33x， 得 2 2 32 333 15 ， 8 分分 設(shè)平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為， 9 分分 左邊左邊 6 6 個平方，右邊個平方，右邊 3 3 個乘號，少個乘號，少 1 1 個扣個扣 3 3 分分 高三數(shù)學(xué)答案 第 8 頁（共 8 頁） cos 12 12 12 cos, 2 20161 2 4 404016 ，解得