1、1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題答案 習(xí)題1 (a) 1. (1) = 紅,白; (2) = (,)1 , 6, = 1,2,3,4,5,63; (3)分別用1和0 分別表示正品與次品,則 = 00,010,0110,100,1010,1100,0111,1011,1101,1110,1111總共11種情況, 其中前6種情況表示連續(xù)出現(xiàn)2件次品(2 4)而中間 4種情況表示4件產(chǎn)品中只有1件次品(1 4), 最 后1總情況表示4件產(chǎn)品均為正品(0 4); (4) = 1,2,3; (5) = (,)0 , 1或 0,12或 0,1 0,1. 2. (1) ; (2) 或 + + ; (3) + +

2、. 3. (1)投擲兩枚硬幣至少一枚硬幣為反面; (2)射擊三次至少一次脫靶; (3)加工4件產(chǎn)品皆為次品. 4.顯然, = 2,4,6, = 4,5,6,于是 =2,4,5,6 = 1,3 =1,3,5 1,2,3 = 1,3 =4,6 = 1,2,3,5 =1,3,5 1,2,3 = 1,2,3,5 5. = = ( ) = ( ) ( ) = = ( ) = ( ) ( ) 右邊= ( ) = ( ) ( ) = = 6.設(shè)事件,分別表示喜歡逛街與喜歡吃冰淇淋,則 = 表示既不喜歡逛街又不喜歡 吃冰淇淋,由于() = 0.6,() = 0.7,() = 0.4,所以 ( ) = 1 (

3、) = 1 () () + () = 1 0.6 0.7 + 0.4 = 0.1 7.設(shè)出現(xiàn)2,4,6的概率均為而出現(xiàn)1,3,5的概率均為,則由題意可知 = 2 3( + ) = 1 容易解得: = 2 9, = 1 9, 于是 (1,2,3) = + 2 = 4 9 8.兩次投擲骰子總共出現(xiàn)62= 36種情況,而兩次點數(shù)之和為7的情況為(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1),于是兩次點數(shù)之和為7的概率為 = 6 36 = 1 6. 9. (1) = 2 5 2 7 = 10 21; (2) 2 2 2 7 = 1 21; (3) 1 5 1 2 2

4、7 = 10 21; (4) = 1 21 + 1 2 10 21 = 2 7. 10. 3個球隨即放入4個杯子中共有43種放法. (1)當(dāng)杯中球的個數(shù)最大為1時, 3個球放入了3個不同的杯子,共有3 433 = 3 4 種放法,因此 = 3 4 3 3 43 = 3 8; (2)當(dāng)杯中球的最大個數(shù)為2時, 3個球放入了2個不同的杯子,其中2個球放入了一個杯子1個球 放入了另一個杯子共有2 32422= 2324 種放法,因此 = 2 3 2 4 43 = 9 16; (3)當(dāng)杯中球的最大個數(shù)為3時, 3個球放入了同一個杯子共有1 4 種放法,因此 = 1 4 43 = 1 16. 11.從雙

5、鞋不同的鞋子中任取2只的取法共有2 2 種. (1)若沒有成雙的鞋子,則2只鞋子選自2雙不同的鞋子而每只鞋子的取法有兩種,共有2 22 種不同的取法,因此 = 2 22 2 2 ; (2)若只有一雙成雙的鞋子,則其余2 2只鞋子取自 1雙不同的鞋子共有1 22 1 222種不 同的取法,因此 = 1 22 1 222 2 2 ; (3)若所取的2只鞋子恰成雙,則 = 2 2 . 2 12. (1)由題意,設(shè)個朋友隨機繞桌就座時只要保持相對位置不變的情況為同一事件.在個座位 固定時,由于相對位置不變的就座方式為同一事件,于是共有 ! = (1)!種坐法(因為每一個就座方式 朝某一方向逐次旋轉(zhuǎn)共重

6、復(fù)了次). (a)當(dāng)甲乙二人坐在一起且乙在甲左邊時,由于繞圓桌圍成一圈就座,其余 2個人之間共形成 2個空隙,甲乙二人作為一個整體插入其中一個空隙,事件發(fā)生的方式共有 (2)! 2 1 1= ( 2)! 種,因此() = (2)! (1)! = 1 1; (b)當(dāng)甲乙丙三人坐在一起時,三人作為一個整體插入其余 3個人形成的 3個空隙且三人之 間可以任意調(diào)換順序,于是() = (3)! 3 1 33! (1)! = 6 (1)(2); (2)由題意可知, 個人并排就坐于長桌共有!種就座方式. (a)甲乙之外的 2人共形成 1個空隙,于是() = (2)!1 1 ! = 1 ; (b)甲乙丙之外的

7、 3人共形成 2個空隙,于是() = (3)!1 23! ! = 6 (1). 13.假設(shè)隨機取到的兩點為, 0,1,則 = 0,10,1.設(shè)事件表示0,1中兩點平方和小于 1的事件,即 = , 0,1?2+ 2 1,它可以由如圖1所示的線段,弧段與線段所圍 成的區(qū)域表示,因此有 = 區(qū)域 = 4 o(0,0) a(0,1)b(1,1) c(1,0) 圖1習(xí)題1(a)-13 o(5,5) a(5,5.5) b(5,6)c(5.5,6) d(6,6) e(6,5.5) f(6,5)g(5.5,5) 圖2習(xí)題1(a)-14 14.假設(shè)兩人到達時間分別為,則樣本空間為 = 5,6 5,6,一人至少等

8、另一人半個小時的事 件為 = , 5,6? 0.5,它可以由三角形與所圍成的區(qū)域表示,因此有 = + = 1 8 + 1 8 1 = 1 4 15. ( ) ( ) = ( ) = ,( ) ( ) = ( ) = () ( ) 又 ( ) ( ) = 左邊= ( ) + ( ) = () ( ) + () ( ) =右邊 16. (1)容易證明: 1 ( ) = () + () ( ) (2)歸納法:假設(shè)當(dāng) = 時結(jié)論成立,則 = + 1時,記0= 1 2 ,于是有 1 (0 +1) (0) + (+1) (0 +1) 3 因此 (1 2 +1) =(0 +1) (0) + (+1) 1 (

9、1) + (2) + + () ( 1) + (+1) 1 結(jié)論對于 = + 1也成立,結(jié)論得證. 17. (方法一)如圖所示,可將任意兩種顏色的球互換投入兩種對應(yīng)顏色的盒子中(2 4), 或者沒有兩 個球交換位置(1 3,這是因為一旦某顏色的球裝入其他任一顏色的盒子中,其它三球的投放模式就固定下 來.),因此有 = 2 4+ 1 3 4! = 3 8. (方法二)第一個球有3種投放模式,例如黑球可以放入白色,紅色與黃色盒子中,不妨假設(shè)黑球放入 了白色盒子中,則白色球可以投入黑色,紅色與黃色3個盒子任一盒中,但白色球一旦確定了投放模式, 另外兩球的投放模式就固定下來,因此有, = 1 3 1

10、3 4! = 3 8. (方法三)假設(shè)黑球,白球,紅球,黃球投入對應(yīng)顏色盒子中的事件分別記為1,2,3,4,則球與盒 子顏色都不一致的概率為 (1234) = (1 2 3 4) =1 4 =1 () 1=4 ( ) + 1=4 () 1=4 () =1 ( 1 4 3! 4! 2 4 2! 4! + 3 4 1! 4! 4 4 0! 4! ) =1 ( 1 1 2 + 1 6 1 24 ) = 3 8 18. (1)由于36個可能的結(jié)果中只有6個是兩次點數(shù)相同,因此 = 6 36 = 1 6; (2)點數(shù)之和小于4的可能結(jié)果為(1,3),(2,2),(3,1),因此 = 3 36 = 1 1

11、2; (3)將第一次與第二次擲出6點的事件分別記為1,2,則 (1 2) = (1) + (2) (1 2) = 6 36 + 6 36 1 36 = 11 36 (4)將兩次投擲點數(shù)不相同的事件記為,則有 (1 2) = (1 2) () = (1) + (2) 2(1 2) () = 6 36 + 6 36 2 1 36 366 36 = 1 3 或 (12) = (1)+(2)(12) = (1) + (2) (12) () = 5 36 + 5 36 0 366 36 = 1 3 (5)兩次投擲點數(shù)之和為7的所有可能結(jié)果為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6

12、,1),在此條件下至 少一次得到6點的概率為 = 2 6 = 1 3. 19. (1) () = () () = 0.85, () = 0.85(1 () = 0.068,因此有 ( ) = () + () () = () + () = 0.988 (2) () = () () = () () 1 () = () () () 1 () = 29 35 0.8286 4 20.設(shè)(,)表示拋擲的結(jié)果為而另一面為.顯然, (,)只可能出現(xiàn)4種情況: (正面,正面), (反面,反面), (正面,反面), (反面,正面);他們出現(xiàn)的概率分別為 1 3, 1 3, 1 6, 1 6. 因此,當(dāng)拋出正面朝

13、上時另一 面為反面的條件概率為 = 1 6 1 3+ 1 6 = 1 3. 21.將動物活到10歲與12歲分別記為事件與事件,顯然有 ,于是 () = () () = () () = 0.56 0.7 = 0.8 22.假設(shè)事件表示所取得2件產(chǎn)品中至少有1件不合格而事件表示2件產(chǎn)品都不合格,顯然, ,因此 () = () () = () () = () () + () = () () + () = 2 4 2 10 2 4 2 10 + 1 4 1 6 2 10 = 1 5 23.設(shè)表示第次未摔破的事件(i=1,2,3),則由題意可知 (123) =(1)(21)(312) =(1)(1 (2

14、1)(1 (312) =1 2 ( 1 7 10 )( 1 9 10 ) = 3 200 24.設(shè)1,2,3分別表示孩子,母親與父親得病的事件,則 (123) =(1)(21)(312) =(1)(21)(1 (312) =0.6 0.5 (1 0.4) = 0.18 25.設(shè)表示停機事件,則 () = () + () = ()() + ()() = 1 3 0.3 + 2 3 0.4 = 11 30 0.37 26.將甲乙丙抽到難簽的事件分別記作,由于三人依次抽簽,考慮后面的人抽到難簽的概率 要考慮前面的人有沒有抽到難簽.因此有 () = 1 4 1 10 = 0.4 () =() + ()

15、 = ()() + ()() = 0.4 1 3 1 9 + (1 0.4) 1 4 1 9 = 0.4 () =() + () + () + () =()()() + ()()() + ()()() + ()()() =0.4 1 3 1 9 1 2 1 8 + (1 0.4) 1 4 1 9 1 3 1 8 + 0.4 1 6 1 9 1 3 1 8 + (1 0.4) 1 5 1 9 1 4 1 8 = 0.4 27. (1)設(shè),分別表示從甲,乙兩袋中取出白球的事件,則表示從甲袋中取出了紅球的事件,因 此 () = () + () = ()() + ()() = 1 1 + 1 +1 1

16、 +1 + 1 1 + 1 1 +1 (2)設(shè)1,2,3分別表示從第一個盒子中取出兩個白球,一個白球一個紅球以及兩個紅球的事件, 表示從第二個盒子中取出白球的事件,則 () =(1) + (2) + (3) =(1)(1) + (2)(2) + (3)(3) = 2 4 2 9 1 7 111 + 1 415 2 9 1 6 111 + 2 5 2 9 1 5 111 = 53 99 5 28.設(shè)事件表示第一個取球者獲勝, 表示第一個取球者在第輪獲勝,即前2 2次的取球 顏色均為黑色而第一個取球者在第2 1次取得白球.因此 = =1 () = =1 () = =1 ( + )22 + = +

17、1 ( + )2= + + 2 29.不妨設(shè)該犯人為甲,將甲乙丙被釋放的事件分別記作,則只可能出現(xiàn), 三種情況,它們出現(xiàn)的概率均為 1 3, 對于第一種情況看守各以 1 6 的概率告訴甲犯人乙丙被釋放而第二,三 種情況下看守只能告訴甲犯人丙,乙被釋放.因此,看守告訴甲犯人乙,丙被釋放的概率均為 1 6 + 1 3 = 1 2. 于是,看守告訴甲犯人乙釋放后甲被釋放的概率為 () = () () = () () = 1 3 1 2 = 2 3 30.設(shè)鄰居會記得澆水的事件為,樹死去的事件為,則有() = 0.8,() = 0.15,() = 0.9. (1) () =1 () = 1 () ()

18、 = 1 ()() ()() =1 0.9 0.15 (1 0.9) 0.8 = 0.785 (2) () =() () = ()() ()() + ()() = (1 0.9) 0.8 0.9 0.15 + (1 0.9) 0.8 = 16 43 31.假設(shè)第一次與第二次取到白球的事件分別記作,則 () = () () = ()() ()() + ()() = 1 6 1 10 1 5 1 9 1 6 1 10 1 5 1 9 + 1 4 1 10 1 6 1 9 = 5 9 32.假設(shè),分別表示公民患肺癌與吸煙的事件,則() = 0.997,() = 0.958,() = 104, 于是

19、() =() () = ()() ()() + ()() = 104 0.997 104 0.997 + (1 104) 0.958 1.0407 104 () =() () = () () 1 () = ()(1 () 1 ()() ()() = 104 (1 0.997) 1 104 0.997 (1 104) 0.958 7.1438 106 33.因為() = ()(),所以 () =() () = () ()() = ()(1 () = ()() () =() () = () ()() = (1 ()() = ()() () =() () = 1 () () + () = 1 ()

20、() + ()() =(1 ()(1 () = ()() 34.由于0 1,矛盾.); (10) ( + ) = () = 1 () = 1.); (11) (當(dāng)樣本空間包含無窮多個點時去掉有限個點組成 + .); (12) ; (13) ( , ( ) = () = 0.); 7 (14) ; (15) ( , () = () () = () () ().); (16) (1 + 2) = (1+ 2) = ()(1+ 2) = ()(1) + (2) = (1) + (2).); (17) (只需驗證必要性,因為,兩兩獨立,則與獨立等價于() = ()() = ()()().); (18)

21、 (由() = 1可知() = (),因為 等價于 = ,因此,原 命題等價于由() = ()與() 0可以得出 = ,顯然是錯誤的.一個反例為, = 0,1, = 0,0.5, = 0,0.5),顯然() = () = 0.5但 .). 2. (1)編號為6, 8, 10 (注意到 + = .); (2) 0 () = () () = () () = 0.); (3) 0.6 () = 1 () = 1 () + () = 1 () + ( ) = 1 0.7 + 0.3 = 0.6.); (4) 0 (顯然( + )( + )( + )( + ) = = .); (5) 5 8 () =

22、( ) = 1( ) = 1()()()+()+()+ () () = 1 3 1 4 + 0 + 2 1 8 0 = 5 8.); (6) 4!7! 10! (將4本外文書放在一起共有4!種放法,再將其作為一個整體與6本中文書放在一起有7!種 放法.); (7) 5 36 (兩次之和為8的可能結(jié)果為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).); (8) 4 11 (藍球共有7+4=11個,藍色玻璃球共有4個.); (9) 37 64 (密碼被破譯的概率為1 (1 0.25)3= 1 27 64 = 37 64.); (10) 0.2 (所取產(chǎn)品一件不合格時另一件可能合格也可

23、能不合格,所有可能的結(jié)果有2 4+ 1416 = 30 或102 2 6 = 30種,兩件均為不合格產(chǎn)品的可能結(jié)果有2 4 = 6種.). 3. () = () () = () = 1 () = 1 . 4. (1)當(dāng)杯中至多有1球時,總共有3 43!種投放方式(選擇3個杯子, 3個球的投放順序形成一個全 排列.),于是有 = 3 43! 43 = 3 8; (2)當(dāng)杯中至多有兩球時,總共有43 1 4 種投放方式,因此有 = 1 1 4 43 = 15 16. 5.由于前面4人未摸到入場券,顯然,在剩余的6個券中第5個人只有 1 6 的機會摸得入場券.也可 用條件概率公式來計算此概率:假設(shè)代

24、表前4人沒摸到的事件, 代表第5人摸到的事件,則有 () = () () = 4 9 4 10 1 1 6 4 9 4 10 = 1 6 6.由于,相互獨立,所以 0.6 = ( + ) = () + () () = () + () ()() = 0.4 + 0.6() 于是 () = 1 3, () = () () = ()(1 () = 4 15 7.由題意可知 0.2 = () = () () = () () 1 () = 0.6 () 1 0.6 容易計算: () = 0.72,因此有() = () () = 0.9. 8.假設(shè)至少需要投擲次,每次不出現(xiàn)6點的概率為 5 6, 所以有

25、(5 6 ) 0.3 (5 6 ) 6.6036 9.當(dāng),滿足關(guān)系2 4時方程有實根,當(dāng),滿足關(guān)系2= 4時方程有重根,因此有 1= 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 36 = 19 36, 2 = 2 36 = 1 18 8 表1習(xí)題1(b)-9 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 1 4 1 9 4 4 25 4 9 11,21,2,3,4 10. () = 1 3 8 3 10 , () = 1 1 8 3 10 (或 3 9+ 39 39 3 10 ) = 14 15 11.分別將各個序號從小到大與英文大寫字母對應(yīng)起來. (1)系統(tǒng)i可表示為 + ( + ) 于是

26、 ( + ) =()() + () () = (2 )2 ( + ( + ) =() + ( + ) ()( + ) = + (2 )2 (2 )3= + 22 33+ 4 (2)系統(tǒng)ii可表示為 () + () + () + () 于是 () + () + () + () =() + () + () + () () () () () () () +() + () + () + () () =22+ 23 54+ 25 12. 1=0 100.65 10 + 1 100.65 90.35 + 2 100.65 80.352 + 3 100.65 70.353 0.5138 2=1 0 100.75 10 1 100.75 90.25 2 100.75 80.252 3 100.75 70.253 0.2241 13.事件表示所取的零件來自第批零件( = 1,2,3),事件表示從三批次