1、1,工 程 力 學(xué),授課教師： 韓志型 土建學(xué)院力學(xué)教研室,6.1 彎曲的概念和工程實例 了解 6.2 剪力與彎矩 掌握 6.3 剪力圖和彎矩圖 重點掌握 6.4 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系重點掌握 6.5 疊加法繪制彎矩圖 掌握,第 6 章 彎曲內(nèi)力 5學(xué)時,3,本章重點,（1）剪力和彎矩的計算 （2）剪力圖和彎矩圖 （3）剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系,重要概念,梁，彎曲變形、平面彎曲、剪力、彎矩,本章難點,（1）畫剪力圖和彎矩圖 （2）剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系,4,6.1 彎曲的概念和工程實例,一、 彎曲的概念,以彎曲變形為主的桿件！,？,梁,彎曲變形: 桿件受垂直于軸線

2、的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的外力偶作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲變形。,受力特點：桿件受到垂直于桿件軸線方向的外力作用或受到在桿軸線所在平面內(nèi)的外力偶的作用。,變形特點：桿件的軸線由直變彎。,5,橋式吊車,吊車橫梁,電葫蘆,二、工程實例,6,火車輪軸,7,橋梁 露臺,8,直立式反應(yīng)塔,合成塔,9,錐形齒輪的齒合力,蒸餾塔（高42m）,Me=Frr,10,三、常見梁的截面形狀,對稱面,圓形,矩形,工字形,它們都有對稱軸，梁橫截面的對稱軸和梁的軸線所組成的平面通常稱為縱向?qū)ΨQ平面 。,11,四、梁的計算簡圖,梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象

3、出計算簡圖。,1. 構(gòu)件本身的簡化 通常取梁的軸線來代替梁。,2. 載荷簡化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：,載荷類型,集中力,集中力偶,分布載荷,12,固定鉸支座 如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。,可動鉸支座 如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。,3. 支座簡化,固定端 如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。,13,4. 靜定梁的三種基本形式,梁的跨度：梁的兩支座之間的長度。,懸臂梁,簡支梁,外伸梁,14,5. 靜定梁與超靜定梁,靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本 形式的靜定梁。 超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。,靜定梁,

4、超靜定梁,15,例1如圖示結(jié)構(gòu)的計算簡圖為:,16,吊車橫梁簡化,均布載荷,集中力,17,火車輪軸簡化,18,露臺,19,直立式反應(yīng)塔,20,平面彎曲:作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線,這種彎曲稱為對稱彎曲或平面彎曲.,非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。,五、平面彎曲（對稱彎曲）,平面彎曲是彎曲問題中最簡單的形式。,21,6.2 梁的內(nèi)力剪力與彎矩,1、梁的內(nèi)力剪力與彎矩,已知：如圖，P，a，l。 求：距A端x處截面上內(nèi)力。,解：求支反力,解得：,22,求內(nèi)力截面法,FS,M,M,FS,

5、 彎曲構(gòu)件內(nèi)力,剪力FS,彎矩M,C,C,C,剪力和彎矩,彎矩M：垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩。,剪力FS：平行于橫截面的內(nèi)力系的合力。,23,2、剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定,剪力FS: 截面上的剪力對梁上任意一點的矩為順時針轉(zhuǎn)向時，剪力為正；反之為負(fù)。（左上右下為正，左下右上為負(fù)。）,24,2、剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定,彎矩M：彎矩使梁呈上凹下凸的變形為正；反之為負(fù)。 （左順右逆為正，左逆右順為負(fù)。）,25,3、用截面法求指定截面上的剪力和彎矩 截面法是求梁的內(nèi)力的最基本的方法。其步驟為 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面將梁從要求剪力和彎矩的位置截開。 (3) 取截面的任一側(cè)為隔離體，

6、作出其受力圖，列平衡方程求出剪力和彎矩。,26,例6.1：求圖示外伸梁1-1、22、3-3、4-4 截面上的內(nèi)力。,解：(1)求支座反力。,27,2、 A 求1-1截面的剪力和彎矩,B 求2-2截面的剪力和彎矩,28,C 求3-3截面的剪力和彎矩,D 求4-4截面的剪力和彎矩,29,(3) 討論,可見：1、在集中力偶作用處剪力無變化,而彎矩有變化，其變化值等于該截面上的集中力偶的大小。 2、在集中力作用處彎矩?zé)o變化，而剪力有變化,其變化值等于該截面上的集中力的大小。,30,(1) 求剪力的規(guī)律 梁內(nèi)任一截面上的剪力FS，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在平行于剪力方向投影的代數(shù)和。

7、,外力取正、負(fù)號的方法是： 左段梁:向上的外力產(chǎn)生正剪力，向下的外力產(chǎn)生負(fù)剪力； 右段梁:向下的外力產(chǎn)生正剪力，向上的外力產(chǎn)生負(fù)剪力。 即：左上右下-正，反之-負(fù)。 作用在梁上的力偶對剪力沒有影響。,或,4、剪力和彎矩的計算規(guī)律,31,(2) 求彎矩的規(guī)律 梁內(nèi)任一截面上的彎矩M，等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。,外力矩取正、負(fù)號的方法是： 左段梁：外力（包括外力偶）對截面形心的力矩為順時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，反之為負(fù)彎矩； 右段梁：外力（包括外力偶）對截面形心的力矩為逆時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，反之為負(fù)彎矩。 即：左順右逆-正，反之負(fù)。向上的力均產(chǎn)生正彎

8、矩，向下的力均產(chǎn)生負(fù)彎矩。,32,計算內(nèi)力要點：,1、對研究對象周圍的所有約束均以約束力代替。 2、計算未知約束力時可先假定其方向，由計算后所得結(jié)果的正負(fù)判斷所求力的實際方向，并要求在計算結(jié)果后的圓括號內(nèi)用箭線表示實際方向，并在力圖上標(biāo)出正確的方向。 3、計算截面的內(nèi)力時，截面兩側(cè)的隔離體可任取其一，一般按其上外力最簡原則選擇。在切開的截面上，未知的剪力和彎矩通常均按正方向假定。 4、在列梁段的靜力平衡方程時，要把剪力、彎矩當(dāng)作隔離體上的外力來看待，因此，平衡方程中剪力、彎矩的正負(fù)號應(yīng)按靜力計算的習(xí)慣而定，不要與剪力、彎矩本身的正、負(fù)號相混淆。,33,解：（1）支反力,例6.2 簡支梁受均布力

9、q和集中力偶Me=ql2/4的作用，求C截面的剪力和彎矩。,FRA,FRB,B,34,FRA,FRB,B,（2）求C截面剪力和彎矩,利用兩條規(guī)律直接用外力計算截面上的剪力和彎矩 A、求C截面稍左截面處的剪力和彎矩,B、求C截面稍右截面處的剪力和彎矩,35,一、剪力方程和彎矩方程 用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.,剪力方程,彎矩方程,6.3 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖,36,彎矩圖為正值畫在 x 軸上側(cè),負(fù)值畫在x 軸下側(cè),二、剪力圖和彎矩圖,剪力圖為正值畫在 x 軸上側(cè),負(fù)值畫在x 軸下側(cè),以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置,以縱坐

10、標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。,37,例6.3 求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。,解: 建立坐標(biāo)系,列出梁的剪力方程和彎矩方程,根據(jù)方程畫內(nèi)力圖,P,PL,（+）,（）,P,（a）,38,解：寫出內(nèi)力方程,根據(jù)方程畫內(nèi)力圖,L,q, qL,（）,（b）,39,例題6.4 圖示的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.,解： （1） 求支反力,（2）列剪力方程和彎矩方程,40,剪力圖為一傾斜直線,ql/2,彎矩圖為一條二次拋物線,令,得駐點,彎矩的極值,（2）繪剪力圖和彎矩圖.,ql/2,41,注意：一般情況下，梁全長上的剪力和彎矩

11、不能用一個函數(shù)表示，外力有突變時，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生變化，應(yīng)分段描述。 分段原則： 集中力作用點、集中力偶作用點 分布荷載起點和終點,42,例6.5 圖示簡支梁C點受集中力F作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。,解：1求約束反力,2寫出剪力和彎矩方程,AC：,CB：,43,剪力方程和彎矩方程,x,x,3、依方程畫出剪力圖和彎矩圖,(+),AC：,CB：,可見,在集中力作用處,剪力有突變，突變值等于該集中力的大小。彎矩在該處有折點。,44,剪力和彎矩突變處：,FS,x,45,例6.6圖示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。,解：1求約束反力

12、,2寫出剪力和彎矩方程,AC,CB,C,Me,b,A,B,46,剪力和彎矩方程,AC,CB,可見,在集中力偶作用處,彎矩有突變，突變值等于該集中力偶的大小。剪力在該處無變化。,3、畫剪力圖和彎矩圖,47,作剪力圖和彎矩圖的步驟 1. 確定支座反力 2. 建立坐標(biāo)系(一般以梁的左端點為原點) 3. 分段 在載荷變化處分段 4. 列出每一段的剪力方程和彎矩方程 5. 根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖,48,1、 剪力、彎矩與分布荷載q（x）間的關(guān)系,對dx 段進(jìn)行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+d FS(x),FS(x),M(x),dx,A,剪力圖上

13、某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。,6.4 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系,49,q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+dFS(x),FS(x),M(x),dx,A,彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。,彎矩與荷載集度的關(guān)系是：,略去二階微量得：,50,2、幾種常見荷載作用下梁內(nèi)力圖的特征,（1）梁上無荷載區(qū)段，q(x)=0,FS圖為一水平直線,增函數(shù) 減函數(shù) 常數(shù),彎矩圖為一斜直線或水平線,51,（2）梁上有均布荷載區(qū)段， q(x)=q,FS圖為斜直線 ，傾斜方向與q同,彎矩圖為一拋物線，其開口方向與荷載 q（x）指向相同。,52,討論：,（3）在FS（x）=0的

14、截面 彎矩的斜率為零，彎矩為極值。 （4）集中力作用點處，剪力圖有突變，突變量等于該集中力。彎矩圖的斜率也發(fā)生變化，彎矩圖上有尖角。 （5）集中力偶作用處，剪力圖無變化。彎矩圖在力偶作用處的兩側(cè)截面有突變，突變量為該力偶值。 （6）彎矩的極值，可能在FS（x）=0的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用處。,53,討論：,（7）利用上式可得：,兩截面上的剪力之差等于兩截面之間荷載圖的面積,兩截面上的彎矩之差等于兩截面之間剪力圖的面積,54,2、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系,外力,無外力段,均布載荷段,集中力,集中力偶,FS圖特征,M圖特征,水平直線,斜直線,自左向右突變,無變化,斜直線,拋物線,自左

15、向右折角,自左向右突變,55,利用剪力FS、彎矩M與分布荷載集度q之間的關(guān)系及特殊點的內(nèi)力值來作圖的方法。,3、簡易作圖法（利用微分關(guān)系作圖）,簡易作圖法的步驟： (1) 求支座反力。 (2) 確定控制截面，將梁進(jìn)行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷載的起止截面、駐點（導(dǎo)數(shù)為零的點、極值點）所在截面都是梁分段時的控制截面。 (3) 求控制截面的剪力值、彎矩值 。 (4) 由各梁段上的荷載情況，根據(jù)規(guī)律確定其對應(yīng)的剪力圖和彎矩圖的形狀，連線作圖。,56,例6.7 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。,解: 利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點的內(nèi)力值來作圖。,特殊點: 端點、分區(qū)點（外

16、力變化點）和駐點（導(dǎo)數(shù)為零的點、極值點）等。,57,a,a,左端點A：,線形：根據(jù)內(nèi)力與分布荷載的關(guān)系及集中載荷點的規(guī)律確定,分區(qū)點B：,M 的駐點：,右端點C：,A,C,58,例6.7 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。,解：求支反力,左端點A：,B點左：,B點右：,C點左：,M 的駐點：,C點右：,右端點D：,q,qa2,qa,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,a,a,a,59,例6.7 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。,M 的駐點：,q,qa2,qa,FRA,FRD,A,B,C,D,a,a,a,qa/

17、2,qa/2,qa/2,（）,qa2/2,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,（）,（）,（）,（）,60,剪力圖的簡便作圖方法： 從左往右作圖，走向與力的方向相同。,qa/2,qa/2,qa/2,qa,（）,61,1、疊加原理：在小變形條件下，梁橫截面的內(nèi)力為各荷載的線性函數(shù)。即梁在幾個荷載共同作用下產(chǎn)生的內(nèi)力等于各荷載單獨作用產(chǎn)生的內(nèi)力的代數(shù)和。,2、 利用疊加原理作梁的彎矩圖的步驟： （1）先分別作出梁在各荷載單獨作用下的彎矩圖； （2）將各彎矩圖相應(yīng)的縱坐標(biāo)代數(shù)疊加。,6.5 疊加法繪制彎矩圖,62,例6.8 繪制下列圖示梁的彎矩圖。,=,+,+,(1),63,(2),q,q,q,q

18、,=,+,=,+,qa2,64,(3),PL/2,=,+,=,+,Pa,65,(4),50kN,20kNm,=,+,=,+,20kNm,20kNm,20kNm,66,例題6.9 已知簡支梁的剪力圖,作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有集中力偶作用。,AB 段 沒有荷載，在B處有集中力,故：,F=FSB左FSB右=20kN 方向向下,BC 段 無荷載,CD 段 有均布荷載 q ( ),18kN,14kN,67,(2)彎矩圖,AB段 向右上傾斜的直線,BC段 向右下傾斜的直線.,CD段 向上凸的二次拋物線.該段內(nèi)彎矩沒有極值.,54,68,作業(yè)p138,6.1： a，d 6.2： a，e 6.3: a, c，d, e, h 6.4： c, d, f 6.7,69,1、彎曲變形的概念、平面彎曲的特征 2、彎矩與剪力、彎矩方程與剪力方程、彎矩圖與剪力圖 3、計算彎矩與剪力的兩條規(guī)律： （1）橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有橫向外力的代數(shù)和。 正負(fù)號：左上右下-正，反之-負(fù)